Approximationstheorie

6.2 Ein bißchen Fourieranalysis 125
die für n → ∞ in der Norm ·2 gegen f konvergiert. Da
fn+k −
fn = (fn+k − f) ∧ = fn+k − fn 2 2 , k, n ∈ N,
2
ist fn eine Cauchyfolge und konvergiert gegen eine Funktion in L2(R), die wir f nennen wollen.
Beweis von Satz 6.16: Wir definieren
h(x) = f(t) g (t − x) dt = (f ∗ g(−·)) (x), x ∈ R,
und erhalten, daß h(0) = fg. Außerdem ist
R
h(ξ) = f(ξ) (g(−·)) ∧ (ξ)
=bg(ξ)
= f(ξ) g(ξ), ξ ∈ R.
Sind nun f und g so “brav”, daß f, g ∈ L2(R) ist152 , dann ist mit (6.15)
1
2π
f(ϑ) g(ϑ) dϑ = 1
2π
i0θ
h(ϑ) e dϑ = h(0) = f(t) g(t) dt,
R
R
was (6.18) liefert. Und die Plancherel–Identität (6.19) ist dann eine unmittelbare Konsequenz
aus der Parseval–Formel (6.18).
Eine wichtige Identität haben wir aber noch – und auf ihr werden die wesentlichen Resultate
der folgenden Abschnitte beruhen; außerdem werden wir sehen, daß sie auf sehr interessante
Art die Fouriertransformierte und die Fourierreihe miteinander verbindet.
Satz 6.17 (Poisson153 –Summenformel)
Für f ∈ L1(R) ist
f (2kπ) = 1
f (k)
2π
k∈Z
und
f(k) =
k∈Z
f (2kπ) .
k∈Z
(6.20)
k∈Z
Beweis: Wir setzen
g(x) =
f (x + 2kπ) , x ∈ R, (6.21)
k∈Z
und bemerken, daß g (x + 2π) = g(x), also g eine 2π–periodische Funktion ist, und wegen
gT,1 =
2π
|g(t)| dt = f (t + 2kπ) dt ≤ |f (t + 2kπ)| dt
T
T
k∈Z
k∈Z
0
= |f (t)| dt = fR,1 R
152Das ist beispielsweise der Fall, wenn f und g differenzierbar sind; dies folgt aus (6.13) und dem Riemann–
Lebesgue–Lemma, Proposition 6.15.
153Siméon Denis Poisson, 1781–1840, studierte bei Laplace und Legendre, Beiträge zur Fourier–Analysis und
Wahrscheinlichkeitstheorie (“Poisson–Verteilung”), schrieb zwischen 300 und 400 Arbeiten, auch über Elektrizität,
Magnetismus und Astronomie.
R