Approximationstheorie

124 6 APPROXIMATION MIT TRANSLATIONSINVARIANTEN RÄUMEN
Proposition 6.15 (Riemann–Lebesgue–Lemma)
Ist f ∈ L1(R), so ist
lim f(ξ) = 0. (6.17)
ξ→±∞
Beweis: Ist auch f ′ ∈ L1(R) so folgt (6.17) sofort mittels (6.13) und (6.8):
f ′ 1 ≥ ′ ∧
(f ) (ξ)
= |ξ|
f(ξ) , ξ ∈ R,
also
f(ξ) ≤ f ′ 1 /|ξ| → 0 für |ξ| → ∞. Für beliebiges f ∈ L1(R) und differenzierbares
g ∈ L1(R) mit 149 mit f − g 1 ≤ ε ist
also
f − g1 ≥
f(ξ) − g(ξ) ≥
f(ξ) − |g(ξ)| ,
lim
|ξ|→∞
f(ξ) ≤ lim
|ξ|→∞ |g(ξ)| + f − g 1
und da man ε beliebig klein wählen kann, folgt die Behauptung.
Wie sieht es nun auf anderen Lp–Räumen, p = 1, insbesondere mit L2(R) aus 150 ? Hier nutzt
man aus, daß L1(R) ∩ Lp(R) eine dichte Teilmenge von Lp(R) ist. Für L2 gibt es nun noch eine
besonders schöne Eigenschaft.
Satz 6.16 (Parseval 151 /Plancherel)
Für f, g ∈ L1(R) ∩ L2(R) ist
also insbesondere, mit f = g,
R
f(t) g(t) dt = 1
2π
R
f2 = 1
√
2π
f
≤ ε
f(ϑ) g(ϑ) dϑ, (6.18)
2
. (6.19)
Diese Aussage hilft uns nun, die Definition der Fouriertransformierten auf L2(R) zu übertragen:
Zu f ∈ L2(R) betrachtet man eine Folge
fn := χ[−n,n] · f ∈ L1(R) ∩ L2(R), n ∈ N,
149Man beachte, daß sogar die unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger eine
dichte Teilmenge von L1(R) bilden.
150L2(R) spielt in der Signalverarbeitung schon deswegen so eine wesentliche Rolle, weil das gerade die Signale
(und die sind normalerweise nicht unbedingt stetig) mit endlicher Energie sind – eine ziemlich realistische
Annahmen, oder nicht?
151Marc–Antoine Parseval des Chênes, 1755–1836, Zeitgenosse von Fourier, der ziemlich heftig in die Wirren
der franzßischen Revolution verwickelt wurde, publizierte überhaupt nur 5 (in Worten: “fünf”) Arbeiten, die er
aber allesamt der Académie des Sciences vorlegte.