Approximationstheorie

6.2 Ein bißchen Fourieranalysis 123
Beispiel 6.14 Berechnen wir doch mal zu Übungszwecken so eine Fouriertransformierte, und
zwar die der kardinalen B–Splines Nj = χ ∗ · · · ∗ χ. Insbesondere ist also
N0(ξ) = χ(ξ) =
und somit, nach (6.11),
R
χ(t) e −iξt dt =
1
0
e −iξt dt = e−iξt
−iξ
Nj(ξ) = (χ(ξ)) j+1 −iξ 1 − e
=
iξ
j+1
.
Übung 6.5 Die zentrierten B–Splines Mj, j ∈ N0, sind definiert als
Zeigen Sie:
Mj = χ[−1/2,1/2] ∗ · · · ∗ χ[−1/2,1/2] .
j+1
1. Diese Funktionen sind gerade: Mj(−x) = Mj(x), x ∈ R.
2. Für j ∈ N0 ist
Ist f ∈ L1(R), dann ist für ξ, η ∈ R
f (ξ + η) −
f(ξ) ≤
j+1 Mj(ξ)
sin ξ/2
=
, ξ ∈ R.
ξ/2
R
1
t=0
= 1 − e−iξ
|f(t)| −iξt
e
−iηt
e − 1 dt,
=1
iξ
was auf der rechten Seite unabhängig von ξ ist und mit η → 0 gegen Null konvergiert, denn für
jedes ε > 0 gibt es ein N > 0, so daß
|f(t)| dt < ε
|t|>N
ist, während wir, durch Wahl eines hinreichend kleinen Wertes von η, die Funktion |e −iηt − 1|
auf [−N, N] so klein machen können, wie wir wollen. Der langen Rede kurzer Sinn:
Ist f ∈ L1(R), so ist f ∈ Cu(R), dem Vektorraum der gleichmäßig stetigen und
gleichmäßig beschränkten 148 Funktionen auf R.
Außerdem kann man sogar sagen, wie sich die Fouriertransformierte für |ξ| → ∞ benimmt.
148 Siehe (6.8).
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