Approximationstheorie

122 6 APPROXIMATION MIT TRANSLATIONSINVARIANTEN RÄUMEN
6) erhalten wir, indem wir für h > 0 den Differenzenquotient
f (ξ + h) − f(ξ)
h
=
R
f(t) e−i(ξ+h)t − e −iξt
h
betrachten; das Integral existiert, weil xf ∈ L1(R) und da
e
lim
h→0
−iht − 1
h
dt =
= lim
h→0 (−it) e −iht = −it
R
f(t) e −iξt e−iht − 1
h
ist, folgt (6.14). Der Beweise von 7) ist ein klein wenig aufwendiger und verwendet die Fejér–
Kerne
Fλ := λF (λ·) , λ > 0, F (x) := 1
1
(1 − |t|) e
2π −1
ixt dt, x ∈ R,
auf R, die die Eigenschaft haben, daß für jedes f ∈ L1(R)
lim
λ→∞ f − f ∗ Fλ = 0, (6.16)
siehe [35, S. 124–126], also auch f ∗ Fλ → f punktweise fast überall147 x ∈ R
. Dann ist aber für
f ∗ Fλ(x) = 1
2π
1
f (t) λ (1 − |ϑ|) e i(x−t)λϑ
dϑ dt
= 1
2π
= 1
2π
R
R
λ
−λ
f (t)
λ
−λ
1 − |ϑ|
λ
−1
1 − |ϑ|
= 1
λ
1 −
2π −λ
|ϑ|
λ
1−1/ √ λ≤ · ≤1
→ 1
2π
λ
e i(x−t)ϑ dϑ dt
f (t) e
R
−itϑ dt
R
R b f(ϑ) e ixϑ dϑ
= b f(ϑ)
f(ϑ) e ixϑ dϑ
e ixϑ dϑ
= 1
2π |ϑ|≤ √
1 −
λ
|ϑ|
f(ϑ) e
λ
ixϑ dϑ +
1
2π |ϑ|≥ √
1 −
λ
|ϑ|
f(ϑ) e
λ
ixϑ dϑ,
→0
weil f ∈ L1(R).
Übung 6.4 Beweisen Sie ohne Verwendung von (6.13) die folgende Aussage: Sind f, f ′ ∈
L1(R), dann ist (f ′ ) ∧ (0) = 0.
Hinweis: Partielle Integration. ♦
147 Zumindest für eine Teilfolge, siehe [23, S. 96].
dt