Approximationstheorie

6.2 Ein bißchen Fourieranalysis 121
Beweis: Für 1) berechnen wir
(τyf) ∧
(ξ) = f (t + y) e −iξt
dt =
R
= e iyξ f(ξ),
während 2) ganz ähnlich mit
(σhf) ∧
(ξ) =
R
f (ht) e −iξt dt = 1
h
bewiesen wird. Die erste Aussage von 3) folgt aus
f ∗ g1 =
f(t)g(s − t) dt
ds ≤
bzw.
R
R
c ∗ d1 =
c(k) d(j − k) ≤
j∈Z
k∈Z
f (t) e
R
−iξ(t−y) dt = e iyξ
R
R
j,k∈Z
der zweite, etwas interessantere Teil hingegen aus
(f ∗ g) ∧
(ξ) = f(s)g(t − s) ds e
R R
−iξt
dt =
= f(ξ) g(ξ),
bzw.
(c ∗ d) ∧ (ξ) =
c(k) d(j − k) e −ijξ =
j∈Z
k∈Z
= f(ξ) g(ξ).
4) folgt aus Lemma 6.4 und
(f ∗ c) ∧ (ξ) =
f (t − k) c(k)e −iξt
dt =
R
k∈Z
= f(ξ) c(ξ).
R
f(t) e −i(ξ/h)t dt =
R
f (t) e −iξt dt
f ξ
h
h
|f(t)g(s)| dt ds = f1 g1 R
|c(k) d(j)| = c 1 c 1 ,
R
j,k∈Z
f(s) e
R
iξs g(t − s) e iξ(t−s) dsdt
c(k) e −ikξ d(j − k) e −i(j−k)ξ
f (t − k) e
R
k∈Z
−iξ(t−k) c(k) e −ikξ
oder auch direkt unter Verwendung von (6.9). Für 5 verwenden wir partielle Integration146 , um
(f ′ ) ∧
(ξ) =
df
dt (t)e−iξt
dt = − f(t) d
dt e−iξt
dt = iξ f(t)e −iξt dt = iξ f(ξ).
R
146 Daß dies gerechtfertigt ist, liegt an der Tatsache, daß für f ∈ L1(R) immer limx→±∞ |f(x)| = 0 sein muß
und daß die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger bezüglich der Norm · 1 dicht in L1(R) sind. Deswegen
muß man sich um “Randwerte” hier nicht kümmern.
R