Approximationstheorie

120 6 APPROXIMATION MIT TRANSLATIONSINVARIANTEN RÄUMEN
6. Die zwei bedeutendsten Gruppen- bzw Halbgruppenoperationen auf R sind die Translation
und die Skalierung die durch die beiden Operatoren τy und σh, definiert als
realisiert werden sollen.
τy f = f (· + y) und σh f = f (h·)
Als nächstes stellen wir ein paar einfache Eigenschaften der Fouriertransformierten zusammen
– daß die Fouriertransformierte linear in f bzw. c ist, das braucht ja wohl nicht mehr besonders
betont werden.
Satz 6.13 (Eigenschaften der Fouriertransformierten)
1. Für f ∈ L1(R) und y ∈ R ist
2. Für f ∈ L1(R) und h ∈ R ist
(τyf) ∧ (ξ) = e iyξ f(ξ), ξ ∈ R. (6.9)
(σhf) ∧ (ξ) = f (h−1ξ) , ξ ∈ R. (6.10)
h
3. Für f, g ∈ L1(R) bzw. c, d ∈ ℓ1(Z) ist f ∗ g ∈ L1(R) bzw. c ∗ d ∈ ℓ1(Z) und es gilt für
ξ ∈ R
(f ∗ g) ∧ (ξ) = f(ξ) g(ξ), bzw. (c ∗ d) ∧ (ξ) = c(ξ) d(ξ). (6.11)
4. Für f ∈ L1(R) und c ∈ ℓ1(Z) ist f ∗ c ∈ L1(R) und
(f ∗ c) ∧ (ξ) = f(ξ) c(ξ), ξ ∈ R. (6.12)
5. Sind f, f ′ ∈ L1(R), dann gilt
d
dx f
∧ (ξ) = iξ f(ξ), ξ ∈ R. (6.13)
6. Sind f, xf ∈ L1(R), dann ist f differenzierbar und es gilt
7. Sind f, f ∈ L1(R), dann ist
d
dξ f(ξ) = (−ix f) ∧ (ξ), ξ ∈ R. (6.14)
f(x) =
∨ f (x) := 1
2π R
f(ϑ) e ixϑ dϑ (6.15)
Die Operation f ↦→ f ∨ bezeichnet man als inverse Fouriertransformation 145 .
145 Die Gründe sind ja wohl offensichtlich.