Approximationstheorie

6.2 Ein bißchen Fourieranalysis 119
6.2 Ein bißchen Fourieranalysis
Ein wichtiges Hilfsmittel bei der Betrachtung von Wavelets, aber auch in der Signalverarbeitung
generell ist, vor allem in L2 die Fouriertransformierte einer Funktion. Wir werden hier im wesentlichen
den Kalkül bereitstellen und uns weniger um die theoretischen Konzepte der Fourieranalysis
kümmern; für diese sei auf [35] verwiesen. Bei der Definition werden wir f ∈ L1(R)
voraussetzen, was in unserem Kontext von Funktionen mit kompaktem Träger 144 völlig ausreichend
ist, denn dann ist, siehe Corollar 6.7, f auch schon eine L1–Funktion.
Definition 6.11 Für f ∈ L1(R) definieren wir die Fouriertransformierte f : R → C als
f(ξ) := f ∧
(ξ) := f(t) e −iξt dt, ξ ∈ R, (6.6)
R
und die Fouriertransformierte einer Folge c ∈ ℓ1(Z) als diskretes Gegenstück, die trigonometrische
Reihe
c(ξ) := c ∧ (ξ) :=
c(k) e −ikξ , ξ ∈ R. (6.7)
k∈Z
Bemerkung 6.12 1. In ihrer physikalischen oder technischen Interpretation liefert die Fouriertransformierte
eines “Signals” (das man als Aplitudenfunktion der Zeit ansieht), den
Anteil der entsprechenden Frequenz an diesem Signal.
2. Die Bedingung f ∈ L1(R) garantiert, daß die f(ξ) für alle ξ ∈ R existiert:
f(ξ) ≤ |f(t)|
R
−iξt
e dt = f1 . (6.8)
=1
Allerdings ist das “nur” hinreichend, aber eben nicht notwendig für die Existenz der
Fouriertransformierten.
3. Manchmal wird die Fouriertransformierte auch noch mit dem Vorfaktor (2π) 1/2 versehen,
wir werden bald sehen, warum. Man sollte also bei der Verwendung von Literatur immer
gut aufpassen, welche Normierung dort gewählt ist, sonst kann so ein konstanter Faktor
für üble Fehler sorgen.
4. Man kann die Fouriertransformierte auch für allgemeinere “Funktionen”klassen als L1
definieren, beispielsweise für temperierte Distributionen, siehe z.B. [35, 86].
5. Außerdem gibt es die Fouriertransformation nicht nur auf R oder R n sondern auf lokal
kompakten abelschen Gruppen unter Verwendung des Haar–Maßes; dann sieht man, daß
die Fouriertransformierte auf der dualen Gruppe definiert ist. Das soll uns aber hier nicht
stören, in unserem einfachen aber bedeutenden Spezialfall spielt R beide Rollen.
144 Die einen “schönen” translationsinvarianten Raum erzeugen.