Approximationstheorie

118 6 APPROXIMATION MIT TRANSLATIONSINVARIANTEN RÄUMEN
Sieht man sich den Beweis von Proposition 6.5 etwas genauer an, so stellt man fest, daß der
kompakte Träger von ϕ bereits die ganze Geschichte nach L1 verlagert.
Korollar 6.7 Hat ϕ ∈ Lp(R) kompakten Träger, dann ist ϕ ∈ L1(R).
Beweis: Sei wieder [0, N] der Träger von ϕ, dann lifert die Höldersche Ungleichung fg1 ≤
fpgg für Funktionen, daß
ϕ1 = χ[0,N] · ϕ ≤ 1
χ[0,N] ϕ q p = N 1/q ϕp .
Beispiel 6.8 Uns fehlt noch ein griffiges Beispiel für eine “gute” Funktion ϕ, die S(ϕ) erzeugt.
Dazu bezeichnen wir mit χ = χ[0,1] die charakteristische Funktion von [0, 1] und definieren als
N0 = χ, Nj+1 = χ ∗ Nj =
R
χ(t) Nj (· − t) dt =
1
0
Nj (· − t) dt, j ∈ N0,
den kardinalen B–Spline Nj der Ordnung j ∈ N0. Diese Funktionen haben Träger [0, j], sind
j − 1–mal stetig differenzierbar 143 und stückweise Polynome vom Grad j auf jedem Intervall
der Form (k, k + 1).
Übung 6.3 Beweisen Sie die in Beispiel 6.8 aufgeführten Eigenschaften der kardinalen B–
Splines. ♦
Das Approximationsproblem mit dem wir uns hier beschäftigen wollen, soll aber nicht nur einen
Raum S(ϕ) oder Sp(ϕ) verwenden, denn das wäre einfach zu wenig Flexibilität, wir wollen
vielmehr auch noch die Skalierung σh, definiert durch σhf = f (h·), f : R → R, h ∈ R+, der
Funktion ϕ zulassen. Mit anderen Worten, für h > 0 sollen die Räume
Vh = σh S (ϕ) = (ϕ ∗ c) (h·) =
ϕ(h · −j) c(j) : c ∈ ℓ(Z)
zur Approximation zugelassen werden. Auch zur Konstruktion eines Elements dieser Räume
genügt es immer noch, einzig die Funktion ϕ zu kennen.
Bemerkung 6.9 Hat ϕ den kompakten Träger [0, N], dann ist genau dann ϕ(hx − j) = 0,
wenn hx ∈ j + [0, N] = [j, j + N], also genau dann, wenn x ∈ h −1 j + [0, h −1 N]. Mit anderen
Worten: Die Funktion ϕ wird um den Faktor h gestaucht und um j/h verschoben.
Beispiel 6.10 Ist ϕ = N0, dann ist V1 = S(ϕ) gerade die Menge aller Funktionen, die auf den
ganzzahligen Intervallen [j, j + 1], j ∈ Z, konstant sind, wohingegen Vh gerade aus denjenigen
Funktionen besteht, die auf [j/h, (j + 1)/h] konstant sind.
143 Eine −1–mal stetig differenzierbare Funktion darf sogar unstetig sein, wohingegen 0–malige stetige Differen-
zierbarkeit einfach Stetigkeit ist.
j∈Z