Approximationstheorie

10 1 WAS IST APPROXIMATIONSTHEORIE
konvergenten Approximationsprozess “basteln”, indem man die Fejérschen Mittel
ϕn(f) := 1
n + 1
n
σk(f), n ∈ N0,
k=0
als Mittelwert der Partialsummen einführt; den zugehörigen Fejér–Kern bezeichnen wir mit Fn.
Diese trigonometrischen Polynome konvergieren nun gleichmäßig gegen f und wir erhalten das
folgende Resultat, aus dem Satz 1.7 unmittelbar folgt.
Satz 1.9 (Konvergenz der Fejérschen Mittel)
Für f ∈ C(T) ist
lim
n→∞ f − ϕn(f) = 0. (1.12)
Der Beweis von Satz 1.9 ist wieder eine Konsequenz aus einem allgemeineren Prinzip, das
wir gleich kennenlernen werden. Zuerst bemerken wir, daß auch die Fejérkerne eine explizite
Darstellung 11 haben, nämlich
Fn(t) = 1
n+1
1 sin 2
2π n + 1
t
sin 1
2t 2
. (1.13)
Übung 1.3 Beweisen Sie die Formel (1.13), möglicherweise unter Verwendung von Übung 1.2.
♦
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
10
8
6
4
2
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Abbildung 1.2: Die beiden Fejérkerne F3 und F10. Diese Kerne klingen sehr viel schöner
ab als die Dirichletkerne aus Abb. 1.1, haben aber ansonsten auch ihr Maximum an der
Stelle t = 0.
11 Die Theorie der speziellen Funktionen und, spezieller, die Summationstheorie beschäftigt sich oftmals mit der
Herleitung von geschlossenen Formen solcher Kerne, nur treten dabei oftmals nicht nur trigonometrische, sondern
auch hypergeometrische Funktionen auf.