Approximationstheorie

6.1 Translationsinvariante Räume 117
Beweis: Der etwas sorgfältigere Beweis basiert auf der Hölder–Ungleichung
c · d 1 ≤ c p d q , c ∈ ℓp(Z), d ∈ ℓq(Z),
1 1
+
p q
= 1, (6.4)
für Folgen. Da wir bei der Bildung von Sp(ϕ) außerdem immer ϕ durch ϕ (· − j) für beliebiges
j ∈ Z ersetzen können, können wir annehmen, daß ϕ(x) = 0, x ∈ [0, N], für ein N > 0. Nun
ist
ϕ ∗ c p
p =
p
ϕ (t − j) c(j) dt ≤
R
j∈Z
p k+1
|ϕ (t − j) c(j)| dt
k∈Z
k
j∈Z
=
p 1
|ϕ (t + k − j) c(j)| dt =
p 1
|ϕ (t − j) c(j + k)| dt
k∈Z
0
1
=
k∈Z
0
j∈Z
N−1
j=0
|ϕ (t − j) c(j + k)|
p
dt =
k∈Z
0
1
k∈Z
0
j∈Z
χ[0,N−1] · ϕ(t − ·)c(· + k) 1
p dt,
wobei χ[0,N−1] die charakteristische Funktion des Intervalls [0, N − 1] ist142 . Nun liefert (6.4),
daß
also
ϕ ∗ c p
p
= N
1
≤ χ[0,N−1]
k∈Z
0
p
q
=N p/q =N p−1
ϕ(t + ·)c(k − ·) p
p dt
1
p−1
|ϕ(t − j)|
k∈Z
0
j∈Z
p |c(j + k)| p
p−1
dt = N
j∈Z
|ϕ(t − j)| p
|c(k)| p
,
=ϕ p
p
k∈Z
=c p
ϕ ∗ c p ≤ N 1/q ϕ p c p , (6.5)
was unsere Behauptung beweist.
Übung 6.2 Beweisen Sie Proposition 6.5 für p = ∞. ♦
Bemerkung 6.6 1. Wenigstens einmal sollte man so einen Beweis gesehen haben, denn die
Abschätzungen sind durchaus typisch für die Arbeit mit translationsinvarianten Räumen
und Wavelets in Lp(R). Im Falle p = 2 wird of unmittelbar über die Fouriertransformierte
argumentiert, dazu gleich mehr.
2. Gleichung (6.5) sagt uns auch, warum der Fall p = 1 so einfach war: Ist p = 1, dann ist
1/q = 0 und somit spielt die Größe des Trägers in diesem Fall und nur in diesem Fall
schlichtweg keine Rolle. Und dann können wir auch getrost darauf verzichten.
142 Ein schöner Nebeneffekt unserer Notation ist, daß wir auch Funktionen jederzeit als Folgen auffassen können
– die Umkehrung geht natürlich aus guten Gründen nicht.