Approximationstheorie

116 6 APPROXIMATION MIT TRANSLATIONSINVARIANTEN RÄUMEN
von (1.8) durch eine Summe ersetzt und so
ϕ ∗ c :=
ϕ (· − j) c(j) (6.3)
j∈Z
erhält, vorausgesetzt, die Reihe auf der rechten Seite konvergiert. Mit dieser Notation, die auch
manchmal als semidiskrete Faltung bezeichnet wird, siehe z.B. [34], können wir dann unsere
translationsinvarianten Räume besonders einfach schreiben.
Definition 6.3 Für eine Funktion ϕ : R → R bezeichnen wir mit
S (ϕ) := {ϕ ∗ c : c ∈ ℓ(Z)}
den algebraischen Span von ϕ und definieren außerdem
Übung 6.1 Zeigen Sie:
Sp (ϕ) := {ϕ ∗ c : c ∈ ℓp(Z)} , 1 ≤ p ≤ ∞.
1. Die Faltung ϕ ∗ c ist linear in ϕ und c.
2. Die Räume S(ϕ) und Sp(ϕ), 1 ≤ p ≤ ∞, sind (ganzzahlig) translationsinvariant.
Zum “Aufwärmen” und vor allem um ein Gefühl für die verwendeten Begriffe zu bekommen,
jetzt erst einmal eine einfache Beobachtung.
Lemma 6.4 Ist ϕ ∈ L1(R), dann ist S1(ϕ) ⊂ L1(R).
Beweis: Es ist
ϕ ∗ c1 =
=
ϕ (t − j) c(j) dt ≤
R
j∈Z
|c(j)| |ϕ (t − j)| dt
j∈Z
R
=c 1
=ϕ 1
|ϕ (t − j) c(j)| dt
R
j∈Z
= ϕ 1 c 1 .
Für p > 1 ist die Sache leider nicht mehr so einfach! Am leichtesten sieht man das im Fall p =
∞ mit ϕ ≡ 1 und c ≡ 1, denn dann divergiert ϕ ∗ c überall und die Norm ist in keinster Weise
beschränkt. Die einfachste Zusatzbedingung an ϕ besteht darin, zu fordern, daß ϕ kompakten
Träger hat.
Proposition 6.5 Hat ϕ ∈ Lp(R) kompakten Träger, dann ist Sp(ϕ) ⊂ Lp(R).
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