Approximationstheorie

6.1 Translationsinvariante Räume 115
I. Im letzteren Fall gilt beispielsweise immer, daß Lp(I) ⊂ L1(I), 1 < p ≤ ∞, ist 137 , auf R
gehört aber zur Integrierbarkeit immer noch ein gewisses Abklingen von |f(x)| p für x → ±∞,
was mit fallendem Exponenten p nicht mehr der Fall sein muß.
6.1 Translationsinvariante Räume
Wir nennen einen Teilraum V ⊂ L2(R) translationsinvariant 138 , englisch “shift invariant”,
wenn
f ∈ V ⇐⇒ f (· ± k) ∈ V, k ∈ Z.
Demnach sind die einfachsten translationsinvarianten Räume also Räume der Form139
V = span {ϕ (· − k) : k ∈ Z} = ck ϕ (· − k) : ck ∈ R, k ∈ Z , (6.2)
die von den Translaten einer Funktion ϕ erzeugt werden. Solche Räume werden gern als principal
140 shift invariant spaces (“PSI”) bezeichnet. Die nächste Stufe wären dann “FSI”–Räume 141 ,
die von den (ganzzahligen) Translaten von endlich vielen Funktionen aufgespannt werden. Wir
bleiben aber einfach und werden uns daher nur mit Räumen der Form 6.2 befassen.
k∈Z
Definition 6.2 Mit ℓ(Z) = {c : Z → R} bezeichnen wir den Vektorraum aller doppeltunendlichen
Folgen, die wir bequemerweise als diskrete Funktionen c : Z → R schreiben werden und mit
ℓp(Z), 1 ≤ p < ∞, den Vektorraum derjenigen Folgen c ∈ ℓ(Z), die
cp := |c(j)| p
1/p < ∞
erfüllen. Entsprechend ist
ℓ∞(Z) =
j∈Z
c ∈ ℓ(Z) : c∞ := sup |c(j)| < ∞
j∈Z
Zwischen den Folgenräumen ℓ(Z), bzw. ℓp(Z), 1 ≤ p ≤ ∞ und der Funktion ϕ kann man nun
Faltung definieren, indem man das Integral im kontinuierlichen Gegenstück
f ∗ g := f(· − t) g(t) dt
R
137 Das einzige was passieren kann ist, daß eine Funktion irgendwo “gegen Unendlich geht” und das ist mit
Exponent 1 immer langsamer als mit Exponent > 1
138 Nach dem, was wir gerade gesagt haben, wäre “ganzzahlig translationsinvariant” wohl der korrektere Begriff,
aber man muß ja nicht unnötig mit Worten um sich werfen.
139 Ob wir hier nun “+k” oder “−k” schreiben, das ist offensichtlich irrelevant. Warum wir’s nun gerade so und
nicht anders machen, wird aber hoffentlich bald klar werden.
140 Das Wort “principal” wurde wohl im Anklang an “principal ideals”, auf Deutsch “Hauptideale” gewählt, das
sind (polynomiale) Ideale, die von einem einzigen Polynom erzeugt werden. Und nun übersetze man das mal ins
Deutsche . . .
141 Finitely generated Shift Invariant spaces
.