Approximationstheorie

114 6 APPROXIMATION MIT TRANSLATIONSINVARIANTEN RÄUMEN
I disapprove of certainties [. . .] They
limit one’s range of vision. Doubt is one
aspect of width.
S. Rushdie, Grimus
Approximation mit
translationsinvarianten
Räumen 6
In diesem Kapitel behandeln wir die Approximation von Funktionen auf R, also wieder einem
Bereich ohne Rand. Eine bzw. die Gruppenoperation auf R sind Addition und Subtraktion und
diese Invarianz sollte sich dann auch auf “vernünftige” Maße auf R übertragen, zumindest,
wenn man R nach wie vor als additive132 Gruppe betrachten möchte133 . Insbesondere sind die
Räume C(R) oder
Lp(R) :=
f : R → R : f p :=
|f(t)|
R
p dt
1/p
< ∞
den wir hier vor allem betrachten wollen 134 , ebenso translationsinvariant
, 1 ≤ p < ∞,
f ∈ Lp(R) ⇐⇒ τyf := f (· + y) ∈ Lp(R), y ∈ R, (6.1)
wie die Norm selbst: f p = τy f p , y ∈ R. Für “praktische” Zwecke sind solche Räume, die
invariant unter beliebigen Verschiebungen sind, aber zu groß 135 , weswegen man sich gerne auf
Räume beschränkt, die nur unter einer “diskreten” Menge von Translationen invariant sind –
hier bieten sich natürlich die ganzzahligen Translationen f (· + k), k ∈ Z, an.
Bemerkung 6.1 Wegen des unendlichen Trägers des Lebesgue 136 –Maßes auf R verhalten sich
die Räume Lp(R) schon ein wenig anders als die Räume Lp(I) zu einem kompakten Intervall
132Als multiplikative Gruppe nimmt man besser R+ – warum eigentlich nicht R−?
133Maße, die invariant unter einer Gruppenoperation des Integrationsbereichs sind, werden als Haar-Maße bezeichnet
und stellen die Grundlage der abstrakten harmonischen Analysis dar, siehe [35].
134Wir erweitern so ganz nebenbei einmal unseren Horizont und untersuchen Approximationsprozesse in einer
p–Norm.
135Wenn man vielleicht einmal von C(R) und Lp(R) absieht, aber beispielsweise die Approximation von Elementen
von Lp(R) durch Lp(R) ist nicht sonderlich interessant.
136Henri Léon Lebesgue, 1875–1941, (Mit-)Begründer der Maßtheorie, Erfinder des Lebesgue–Integrals (was
nun nicht so sehr überrascht), wichtige Beiträge zur Fourier–Analysis. Von ihm stammt das bemerkenswerte antibourbakistische
Zitat:
Reduced to general theories, mathematics would be a beautiful form without content. It would quickly
die.
(gefunden auf der “History of Mathematics”–Website)