Approximationstheorie

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112 5 APPROXIMATIONSORDNUNG Bemerkung 5.31 1. Wir werden nur Satz 5.28 beweisen. Der Beweis von Satz 5.30 ist von der Grundidee her so ähnlich wie der des Bernstein–Satzes 5.17, nur eben in Details wegen des Auftretens von δn(x) deutlich komplizierter. Der Beweis kann beispielsweise in [47, Theorem 4, S. 73–75] nachgeschlagen werden. 2. Satz 5.28 hat natürlich auch wieder ein Gegenstück mit höheren Approximationsordnungen, bei der, wie in Proposition 5.19, dem Jackson–Satz für differenzierbare Funktionen, der Stetigkeitsmodul dann auf entsprechende Ableitungen von f angewandt wird, siehe [47, Theorem 2, S. 66]. 3. Es ist nicht so ganz unmittelbar offensichtlich, daß Satz 5.30 wirklich ein Gegenstück zum Bernstein–Satz 5.13 ist, denn es taucht ja nirgendwo En(f) auf. Aber natürlich sollte man die pn in (5.43) schon als Bestapproximationen sehen – ansonsten könnte man ja mit einem “kleineren” Stetigkeitsmodul ein “besseres” Ergebnis erzielen. 4. Man kann es auch so sehen: En(f) als globale 130 Größe verträgt sich halt nicht mit dem lokalen Charakter der Polynomapproximation. Bringen wir’s also hinter uns . . . Beweis von Satz 5.28: Wir setzen wieder f := f (cos ·), dann tn := Jn f = f ∗ Kn und wählen schließlich pn so, daß tn = pn (cos ·). Also ist, für x = cos ξ |f(x) − pn(x)| = |f (cos ξ) − (Kn ∗ f(cos ·)) (ξ)| ≤ |f (cos ξ) − f (cos(ξ + ϑ))| Kn(ϑ) dϑ ≤ ω (f, |cos(ξ + ϑ) − cos ξ|) Kn(ϑ) dϑ ≤ ≤ T T |cos(ξ + ϑ) − cos ξ| + 1 ω (f, δn(x)) Kn(ϑ) dϑ T δn(x) |cos(ξ + ϑ) − cos ξ| ω (f, δn(x)) + 1 Kn(ϑ) dϑ . T δn(x) =:J Wir müssen also noch zeigen, daß J unabhängig von n beschränkt ist. Nach den Additionstheoremen und mit der inzwischen wohlvertrauten Abschätzung |sin t| ≤ |t| ist zuerst einmal |cos(ξ + ϑ) − cos ξ| = 2 ϑ sin 2 sin ξ + ϑ = 2 ϑ 2 sin sin ξ cos 2 ϑ ϑ + cos ξ sin 2 2 ≤ 2 ϑ cos ϑ 2 sin sin ξ 2 ϑ ϑ2 ϑ2 2 + 2 |cos ξ| sin ≤ + |ϑ| |sin ξ| ≤ + |ϑ| δn(x), 2 2 2 ≤1 ≤1 da ja δn(x) = max √1 1 1 1 − x2 , = max − cos2 ξ, = max |sin ξ| , n n 1 ≥ |sin ξ| . n 130 Schließlich ist das ja die Norm der besten Abweichung!
5.7 Algebraische Polynome 113 Also ist, unter Verwendung von Lemma 5.10 131 2 ϑ J = + |ϑ| + 1 Kn(ϑ) dϑ T δn(x) 1 = ϑ δn(x) T 2 Kn(ϑ) dϑ + |ϑ| Kn(ϑ) dϑ + Kn(ϑ) dϑ T T = M2 n 2 1 δn(x) ≤1/n ≤M2n −2 ≤M1n −1 + M1 n + 1 ≤ 1 + M1 + M2 n =1 ≤ 1 + M1 + M2 =: M, was unseren Beweis auch schon komplettiert. 131 Hurrah, wir recyclen schon wieder! Und zwar schlampig, denn eigentlich ist ja Kn = J ⌊n/2⌋+1, aber diesen “Fehler” stecken wir in die Konstanten M1 und M2.
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10 8 6 4 2 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
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INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeic
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And first, so that all may understa
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1.2 Ein historisches Beispiel: Summ
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1.3 Fazit 13 und somit Fn(t) ≤ 1
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Sunt qui quicquid in libris scriptu
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2.1 Der Satz von Weierstraß 17 Mit
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2.2 Der Satz von Stone 19 Satz 2.7
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2.2 Der Satz von Stone 21 und werde
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2.3 Der Satz von Bishop 23 Satz 2.1
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2.4 Müntz-Sätze 25 und da f −
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2.4 Müntz-Sätze 27 “·” das k
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2.4 Müntz-Sätze 29 Übung 2.7 Zei
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2.4 Müntz-Sätze 31 schreiben kön
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2.4 Müntz-Sätze 33 und somit cn c
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2.4 Müntz-Sätze 35 2. limj→∞
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3.1 Approximation durch lineare Rä
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3.1 Approximation durch lineare Rä
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3.2 Das Kolmogoroff-Kriterium und e
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3.3 Haar-Räume und Alternanten 49
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3.4 Der Remez-Algorithmus 59 φ ∗
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Seite 65 und 66: 3.4 Der Remez-Algorithmus 63 Was al
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Seite 71 und 72: 4.2 Simultanapproximation 69 was pe
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Seite 95 und 96: 5.1 Ein Satz von Bernstein 93 Bemer
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8.2 Von Würfeln und Intervallen 16
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8.3 Der Beweis 167 ist. Der Grund h
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8.3 Der Beweis 171 ε > 0, so daß
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8.3 Der Beweis 175 Bemerkung 8.12 D
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8.4 Neuronale Netze 177 w = (w0, .
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8.4 Neuronale Netze 179 1 2 3 . . .
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LITERATUR 181 Uns ist in alten mær
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LITERATUR 183 [29] H. Heuser. Lehrb
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LITERATUR 185 [62] T. J. Ransford.
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Abschluß, 19 Abstand, 37 Algebra,
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INDEX 189 Identität approximative,
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INDEX 191 Stammfunktion, 155 Standa
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