Approximationstheorie

112 5 APPROXIMATIONSORDNUNG
Bemerkung 5.31 1. Wir werden nur Satz 5.28 beweisen. Der Beweis von Satz 5.30 ist von
der Grundidee her so ähnlich wie der des Bernstein–Satzes 5.17, nur eben in Details
wegen des Auftretens von δn(x) deutlich komplizierter. Der Beweis kann beispielsweise in
[47, Theorem 4, S. 73–75] nachgeschlagen werden.
2. Satz 5.28 hat natürlich auch wieder ein Gegenstück mit höheren Approximationsordnungen,
bei der, wie in Proposition 5.19, dem Jackson–Satz für differenzierbare Funktionen,
der Stetigkeitsmodul dann auf entsprechende Ableitungen von f angewandt wird, siehe
[47, Theorem 2, S. 66].
3. Es ist nicht so ganz unmittelbar offensichtlich, daß Satz 5.30 wirklich ein Gegenstück zum
Bernstein–Satz 5.13 ist, denn es taucht ja nirgendwo En(f) auf. Aber natürlich sollte
man die pn in (5.43) schon als Bestapproximationen sehen – ansonsten könnte man ja mit
einem “kleineren” Stetigkeitsmodul ein “besseres” Ergebnis erzielen.
4. Man kann es auch so sehen: En(f) als globale 130 Größe verträgt sich halt nicht mit dem
lokalen Charakter der Polynomapproximation.
Bringen wir’s also hinter uns . . .
Beweis von Satz 5.28: Wir setzen wieder f := f (cos ·), dann tn := Jn f = f ∗ Kn und wählen
schließlich pn so, daß tn = pn (cos ·). Also ist, für x = cos ξ
|f(x) − pn(x)| = |f (cos ξ) − (Kn ∗ f(cos ·)) (ξ)|
≤ |f (cos ξ) − f (cos(ξ + ϑ))| Kn(ϑ) dϑ ≤ ω (f, |cos(ξ + ϑ) − cos ξ|) Kn(ϑ) dϑ
≤
≤
T
T
|cos(ξ + ϑ) − cos ξ|
+ 1 ω (f, δn(x)) Kn(ϑ) dϑ
T δn(x)
|cos(ξ + ϑ) − cos ξ|
ω (f, δn(x))
+ 1 Kn(ϑ) dϑ .
T δn(x)
=:J
Wir müssen also noch zeigen, daß J unabhängig von n beschränkt ist. Nach den Additionstheoremen
und mit der inzwischen wohlvertrauten Abschätzung |sin t| ≤ |t| ist zuerst einmal
|cos(ξ + ϑ) − cos ξ| = 2
ϑ
sin 2 sin
ξ + ϑ
= 2
ϑ
2 sin sin ξ cos
2
ϑ
ϑ
+ cos ξ sin
2 2
≤ 2
ϑ
cos
ϑ
2 sin sin ξ
2 ϑ ϑ2
ϑ2
2 + 2 |cos ξ| sin ≤ + |ϑ| |sin ξ| ≤ + |ϑ| δn(x),
2 2 2
≤1
≤1
da ja
δn(x) = max
√1 1 1
1
− x2 , = max − cos2 ξ, = max |sin ξ| ,
n
n
1
≥ |sin ξ| .
n
130 Schließlich ist das ja die Norm der besten Abweichung!