Approximationstheorie

5.7 Algebraische Polynome 111
Um nun Proposition 5.25 so verschärfen zu können, daß wir auch die Chance einer Umkehrung
besitzen, brauchen wir noch ein klein wenig Notation.
Definition 5.27 Für n ∈ N und x ∈ I setzen wir
√1 1
δn(x) = max − x2 , .
n
Nun können wir das folgende Resultat angeben, das auf Timan [82] zurückgeht.
Satz 5.28 Es gibt eine Konstante M > 0, so daß für alle Funktionen f ∈ C(I) und n ∈ N ein
Polynom pn ∈ Πn existiert, das die Ungleichung
erfüllt.
|f(x) − pn(x)| ≤ M ω (f, δn(x)) , x ∈ I, (5.42)
Und Satz 5.28 hat nun wieder eine Umkehrung, die es ermöglicht, aus der Approximationsordnung
auf die Glattheit der Funktion zu schließen. Doch dafür brauchen wir noch den Begriff
des Stetigkeitsmoduls “per se”.
Definition 5.29 Eine Abbildung ω : R+ → R+ heißt Stetigkeitsmodul, wenn
1. ω monoton steigend ist,
2. ω(t) → 0 für t → 0 gilt,
3. ω subadditiv ist, das heißt
ω (t + t ′ ) ≤ ω(t) + ω(t ′ ), t, t ′ ∈ R+.
Übung 5.11 Zeigen Sie: Ist ω ein Stetigkeitsmodul, so existiert eine Funktion f, so daß ω(δ) =
ω(f, δ). ♦
Die Variante des Bernstein–Satzes für algebraische Polynome auf I kann man dann wie folgt
angeben.
Satz 5.30 Seien f ∈ C(I) und ω ein Stetigkeitsmodul. Gibt es Polynome pn ∈ Πn, so daß
dann ist für δ > 0
|f(x) − pn(x)| ≤ ω (δn(x)) , x ∈ I, (5.43)
ω (f, δ) ≤ M δ
⌊δ−1⌋
n=1
wobei die Konstante M von f und δ unabhängig ist.
ω
1
, (5.44)
n