Approximationstheorie

110 5 APPROXIMATIONSORDNUNG
wobei zwei Folgen an, bn, n ∈ N, die asymptotische Relation an ∼ bn erfüllen, wenn es Konstanten
m, M > 0 gibt, so daß
m |an| ≤ |bn| ≤ M |an| , n ∈ N,
gilt. Gemäß Übung 5.10 und Lemma 5.16 ist
ω f, δ = ω (|sin ·| , δ) ≤ ω (sin ·, δ) ≤ δ cos · = δ
sowie, wegen der Konkavität des Cosinus,
also ist mit (5.40)
∆h
f(0) =
h
0
cos t dt ≥ h cos h ≥ 2
En(f) ∼ ω
f, 1
n
h(1 − h)
,
π
∼ 1
. (5.41)
n
Andererseits ist aber, für δ < 1
ω (f, δ) ≥
|∆δf(−1)| = 1 − (−1 + δ) 2 − 1 − (−1) 2
= √ 2δ − δ2
= √ δ √ 2 − δ
≥ √ δ.
Somit ist also ω f, 1
1 ∼ n n , weswegen En(f) ∼ ω f, 1
wie im Fall der trigonometrischen
n
Polynome offensichtlich unmöglich ist.
Übung 5.10 Zeigen Sie: Für f ∈ C(T) und δ > 0 ist ω (|f| , δ) ≤ ω(f, δ). ♦
Irgendwas funktioniert also nicht so ganz mit unserer schönen Substitution und es muß wohl
irgendwas mit dem Rand zu tun haben. Einen ersten Hinweis, woran es liegen könnte, bekommen
wir, wenn wir einmal annehmen, daß f ∈ C1 (I) ist, denn dann ist ja, unter Verwendung
von129 (5.30)
En(f) = E ∗ n
Mit anderen Worten:
= M
= M
n
f ≤ M 1
n E∗
f ′
n ≤ M
n
n |sin ·| f ′ (cos ·)T = M
n
(1 + ·)(1 − ·) f ′
I
.
f ′
=
T
M
d
n f (cos ξ)
dξ
T
√ 1 − cos2 · f ′
(cos ·)
T
Es muß also etwas mit dem “Abstand” √ 1 − x 2 = (1 − x)(1 + x) des Punktes
x von den Randpunkten ±1 von I zu tun haben, die Approximationsgüte wird also
am Rand besser.
129 Manchmal kann man einen Beweis ja irgendwann nochmals recyclen.