Approximationstheorie

5.7 Algebraische Polynome 109
1. Ist p ∈ Πn, dann ist
p(ξ) = p (cos ξ) = p0
2 +
n
pk cos kξ, ξ ∈ T.
2. Ist p ∈ Tn ein gerades trigonometrisches Polynom, dann gibt es ein Polynom p ∈ Πn, so
daß p(ξ) = p (cos ξ).
k=1
Proposition 5.25 (Jackson–Satz für algebraische Polynome)
Es gibt eine Konstante M > 0, so daß 128
En(f) := inf f − p ≤ M ω f,
p∈Πn
1
, f ∈ C(I). (5.39)
n
Beweis: Sei p ∈ Tn die Bestapproximierende zu f = f (cos ·), dann ist p eine gerade Funktion
und es gibt, siehe Übung 5.9, ein p ∈ Πn, so daß p = p (cos ·). Damit ist
En(f) ≤ f − pI =
f − p ≤ M ω f,
T
1
≤ M ω f,
n
1
,
n
da für h > 0 die Ungleichung cos(ξ + h) − cos ξ ≤ h gilt und somit für ξ ∈ T
sup f(cos (ξ + h)) − f(cos ξ)
≤ sup |f (x + (cos(ξ + h) − cos ξ)) − f(x)|
0