Approximationstheorie

108 5 APPROXIMATIONSORDNUNG
2. Auch der Name “glatt” für die “o”–Zygmund–Klasse C 1,2
0 (T) ist durchaus nicht unbe-
rechtigt, denn diese Funktionen sind an einer dichten Menge von Punkten differenzierbar,
siehe Übung 5.8. Allerdings ist das nicht allzu viel, denn es gibt Funktionen in C 1,2
0 (T),
die nur an einer Menge vom Lebesgueschen Maß 0 differenzierbar sind.
Übung 5.7 Gegeben seien die Funktionen
Zeigen Sie:
1. f, g ∈ C 1,2 (T).
2. g ∈ C 1,1 (T).
f(x) =
∞
k=1
cos kx
k 2 und g(x) =
∞
k=1
sin kx
k 2 .
Übung 5.8 Zeigen Sie: Ist f ∈ C 1,2
0 (T), dann gibt es im Inneren jedes nichttrivialen Intervalls
I ⊂ T einen Punkt x, an dem f differenzierbar ist.
Hinweis: Ist [a, b] ein nichttriviales kompaktes Intervall und ℓ ∈ Π1 diejenige affine Funktion,
die ℓ(a) = f(a) und ℓ(b) = f(b) erfüllt, dann besitzt f − ℓ an einem Punkt x ∗ ∈ (a, b) ein
Extremum. Dort ist f differenzierbar. ♦
Und tatsächlich beantwortet die Zygmund–Klasse die Frage nach den Konvergenzordnungen
mit ganzzahligen Exponenten.
Satz 5.24 Für f ∈ C(T) und k ∈ N gilt
sup n
n∈N
k E ∗ n(f) < ∞ ⇐⇒ f ∈ C k−1 (T) und f (k−1) ∈ C 1,2 (T). (5.38)
5.7 Algebraische Polynome
Jetzt aber zu den algebraischen Polynomen und deren Approximationsgüte auf dem Intervall
I = [−1, 1]. Die grundlegende Idee ist die Transformation x = cos ξ, die T auf [−1, 1] abbil-
det 127 , aber die Supremumsnorm nicht verändert: Für f ∈ C(I) und p ∈ Πn ist
f − p I = max
x∈[−1,1]
|f(x) − p(x)| = max |f (cos ξ) − p (cos ξ)| =
ξ∈T
wobei f ∈ C(T) und p ∈ Tn gerade Funktionen sind.
Übung 5.9 Zeigen Sie:
127 Zwar nicht eineindeutig, aber das stört nicht wirklich
f − p
T
♦