Approximationstheorie

1.2 Ein historisches Beispiel: Summation von Fourierreihen 9
Man sieht sofort aus (1.10), daß
Dn(t) = 0 ⇐⇒ t ∈
± kπ
n + 1
2
: k = 1, . . . , n ,
was es nahelegt, Funktionen fh ∈ C(T), h > 0, zu definieren, die die Forderungen fh = 1
und
k π
fh(t) = sgn Dn(t), t ∈
n + 1
(k + 1) π
+ h,
n + 2
1
− h , k = −n, . . . , n − 1,
2
erfüllt. Für diese Funktionen ist dann
woraus also
|σn (fh) (0)| =
π
−π
σn (fh)
σn ≥ lim
h→0 fh
|Dn(t)| dt + g(h), |g(h)| ≤ 4 (2n + 1) h Dn ,
= lim
h→0 σn
π
(fh) ≥ lim |σn (fh) (0)| =
h→0
−π
|Dn(t)| dt (1.11)
folgt; es gilt sogar Gleichheit, aber das soll uns hier nicht interessieren. Unter Verwendung der
Identität |sin t| < t, t ∈ (0, 2π], erhalten wir jetzt nämlich nach Einsetzen von (1.10) in (1.11),
daß
σn ≥
π
−π
= 2
= 4
π
|Dn(t) dt| =
(2n+1)π
0
2n
k=0
|sin v|
v
1
k + 1
2π
0
sin
n + 1
t
2
dt > 2
dv = 2
sin 1
2 t
2n
k=0
(k+1)π
kπ
|sin v|
v
2π
0
sin
n + 1
t
2
t dt
dv ≥ 2
2n
k=0
1
(k + 1)π
(k+1)π
|sin v| dv
kπ
=|cos(k+1)π−cos kπ|=2
und das divergiert natürlich für n → ∞, womit (1.9) und damit Satz 1.5 bewiesen ist.
Übung 1.2 Beweisen Sie die Formel (1.10). ♦
Für den Beweis von Satz 1.7 greifen wir sogar auf eine konstruktive Idee zurück, die auf
Fejér 10 [21] zurückgeht, der übrigens auch in [22] Beispiele für stetige Funktionen mit divergenter
Fourierreihe gab. Denn man kann aus den Partialsummen auf relativ einfache Art einen
10 Lipót Fejér, 1880–1959, geboren als Leopold Weiss, hungarisierte seinen Namen um 1900. Nach dem Studium
der Mathematik in Berlin und Budapest leistete er wesentliche Beiträge zur Funktionalanalysis und Fourieranalysis.