Approximationstheorie

5.6 Trigonometrische Polynome V: Die Zygmund–Klasse 107
Beweis von Satz 5.18: Ist f ∈ Ck+α (T), dann ist nach Satz 5.19 für n ∈ N
n k+α E ∗ n(f) ≤ Mk n α
ω f (k) , 1
< ∞,
n
0
−α ωr (f, δ) < ∞
Die verallgemeinerte Lipschitz–Klasse C1,2 (T) heißt Zygmund–Klasse und mit
C 1,2
0 (T) :=
bezeichnen wir die “glatten” Funktionen 126
f ∈ C(T) : lim
δ→0 δ −1 ω2 (f, δ) = 0
Bemerkung 5.23 Hier ein paar Informationen über die verallgemeinerten Lipschitz–Klassen.
1. So verallgemeinert sind die Lipschitz–Klassen eigentlich gar nicht: es gilt nämlich
aber, und darauf kommt es an,
siehe Übung 5.7
C α,1 (T) = C α,2 (T), 0 < α < 1,
C 1,1 (T) ⊂ C 1,2 (T), (5.37)
125 Antoni Zygmund, 1900–1992, (harmonischer) Analytiker, baute in Chicago eine der stärksten Analysis–
Schulen auf. Außerdem, wen wundert’s, Beiträge zur Fourier–Analysis und deren Anwendung auf partielle Differentialgleichungen.
126 Englisch: “smooth”, siehe auch den Titel von [87].