Approximationstheorie

106 5 APPROXIMATIONSORDNUNG
Nun differenzieren wir die Reihe auf der rechten Seite von (5.34) gliedweise und erhalten mit
Hilfe der Bernstein–Ungleichung (5.20), und wie im Beweis von Satz 5.17 daß
∞
t
j=0
(k)
2j+1 − t(k)
n 2jn
≤
∞ j+1 k
2 n t2j+1n − t2jn j=0
∞
∞
j+1 k j+1 k ∗
≤ 2 n (t2j+1n − f + f − t2jn) ≤ 2 2 n E2 j=0
j=0
jn (f)
=:E(2jn) ∞
= 2 2 jk n k E 2 j−1 n = 2 k
∞
2 (j−1)(k−1) n k E 2 j−1 n 2 j − 2 j−1
j=1
≤ 2 k n k
∞
≤ 2 k
∞
j=n
1
j=1
t k−1 E (nt) dt = 2 k k 1
n
(j + 1) k−1 E(j) = 2 k
∞
n n
∞
(j + 1) k−1 Ej(f),
j=n
k−1 t
E (t) dt = 2
n
k
∞
n
t k−1 E (t) dt
was für n → ∞ gegen 0 konvergiert; die abgeleitete Reihe auf der rechten Seite von (5.34)
konvergiert also auch gleichmäßig. Jetzt verwenden wir wieder mal ein bißchen Analysis 123
und erkennen so, daß f (k) ∈ C(T) existiert und daß die Ableitungen dagegen konvergieren. Mit
≤ 2 für j ∈ N ist.
M = 4 k folgt dann auch (5.33), da (j + 1)/j = 1 + 1
j
Korollar 5.21 Für f ∈ C(T) und 0 < α < 1 gilt:
sup
n∈N
n k+α E ∗ n(f) < ∞ =⇒ f ∈ C k (T) und sup n
n∈N
α E ∗ (k)
n f < ∞. (5.35)
Beweis: Sei Mf := sup n n k+α E ∗ n(f), dann ist
∞
n=1
n k−1 E ∗ n(f) ≤ Mf
∞
n=1
n k−1 n −k−α = Mf
weswegen f ∈ C k (T) ist. Und nach (5.33) ist außerdem
E ∗ n
f (k) ≤
∞
ℓ=n
ℓ k−1 E ∗ ℓ (f) ≤ Mf
∞
ℓ=n
1
≤ Mf
ℓ1+α ∞ 1
n
n=1
1+α