Approximationstheorie

5.5 Trigonometrische Polynome IV: Differenzierbare Funktionen 105
Außerdem gibt es nach Satz 5.9 121 und Satz 5.13 122 Konstanten M und M ′ , so daß
f ′ − p = f ′ − Jnf ′ ≤ Mω
Nun definieren wir q ∈ Tn durch
n
q(x) :=
k=1
pk
k sin kx − p′ k
k
f ′ , 1
n
≤ M M ′ E ∗ n (f ′ ) . (5.31)
cos kx, x ∈ T,
also p = q ′ . Dann ist, mit Satz 5.9 und (5.23) aus Lemma 5.16, sowie unter Verwendung von
(5.31)
En (f) = En (f − q) ≤ M ω f − q, 1
≤ M n
n
−1 f ′ − q ′ = M n −1 f ′ − p
= M ′ n −1 En (f ′ ) ,
wobei M ′ eine geeignete Konstante ist, und das ist gerade (5.30), womit der Beweis komplett
ist.
Die Umkehrung basiert auf dem folgenden Resultat.
Proposition 5.20 Ist für ein k ∈ N
∞
n k−1 E ∗ n(f) < ∞, (5.32)
n=0
dann ist f ∈ C k (T) und es gibt eine Konstante M > 0, so daß
E ∗ n
f (k) ≤ M
∞
ℓ=n
ℓ k−1 E ∗ ℓ (f), n ∈ N. (5.33)
Beweis: Sei tn ∈ Tn die Bestapproximierende zu f, dann ist, da tn → f für n → ∞,
also
f(x) − tn(x) =
∞
j=0
f = tn +
(t 2 j+1 n − t 2 j n) (x), x ∈ T,
∞
j=0
(t 2 j+1 n − t 2 j n) , (5.34)
wobei die Reihe auf der rechten Seite gleichmäßig konvergiert:
m
f
− tn + (t2j+1n − t2j
n) = f − t2m+1n → 0, für m → ∞.
j=0
121 Genauer: dessen Beweis!
122 Beziehungsweise dessen Anwendung zum Beweis von Satz 5.8, “⇐”.