Approximationstheorie

104 5 APPROXIMATIONSORDNUNG
5.5 Trigonometrische Polynome IV: Differenzierbare Funktionen
Bisher haben wir die Approximationsgüte stetiger Funktionen auf T durch trigonometrische
Polynome über eine Glattheitseigenschaft der Funktionen beschrieben – allerdings nur für Exponenten
echt zwischen 0 und 1. In diesem Abschnitt übertragen wir dies nun auf alle nichtganzzahligen
rellen Exponenten und erhalten so die folgende Aussage.
Satz 5.18 Für k ∈ N0, 0 < α < 1 und f ∈ C(T) ist
f ∈ C k+α (T) ⇐⇒ sup n
n∈N
k+α E ∗ n(f) < ∞. (5.28)
Eine Richtung von Satz 5.18 folgt wieder recht unmittelbar aus der folgenden Verallgemeinerung
des Jackson–Satzes, Satz 5.9.
Proposition 5.19 (Jackson–Satz für differenzierbare Funktionen)
Für jedes k ∈ N gibt es eine Konstante Mk, so daß für alle f ∈ C k (T) und n ∈ N0 die
Ungleichung
gilt.
E ∗ n(f) ≤ Mk n −k
ω f (k) , 1
n
Beweis: Wir werden zeigen, daß es eine Konstante M gibt, mit der die Ungleichung
gilt, woraus durch Iteration und Satz 5.9 für n ≥ k
(5.29)
E ∗ n(f) ≤ M n −1 E ∗ n (f ′ ) , f ∈ C 1 (T), (5.30)
E ∗ n(f) ≤ M n −1 E ∗ n (f ′ ) ≤ M 2 n −2 E ∗ n (f ′′ ) ≤ · · · ≤ M k n −k E ∗ n
≤ M k M
n
=:Mk
−k
ω f (k) , 1
n
f (k)
folgt. Und auch (5.30) ist eine eher einfache119 Angelegenkeit! Dazu sei p ∈ Tn definiert als
n
f ′ ∗ Kn(x) =: p(x) =: p0
2 +
k=1
pk cos kx + p ′ k sin kx, x ∈ T,
wobei Kn wieder den Jackson–Kern aus (5.13) bezeichnet. Wegen der Normierung 1 ∗ Kn = 1,
n ∈ N, ist120
π p0 = p(t) dt = f
T
T
′
∗ Kn(t) dt = f
T T
′ (s) Kn (t − s) ds dt
= f
T T
′
(s) Kn(t) dt ds = f
T
′
(s) ds Kn(t) dt = 0.
T
=f(π)−f(−π)=0
=1∗Kn=1
119 Aber bekanntlich ist ja alles relativ . . .
120 Wenn man genau hinschaut, dann verbirgt sich in dieser Rechnung das “Prinzip” daß die Fouriertransformierte
der Faltung zweier Funktionen das Produkt der individuellen Fouriertransformationen ist (siehe Satz 6.13) – das
wiederum ist von kaum zu überschätzender Bedeutung in der Signalverarbeitung.