Approximationstheorie

102 5 APPROXIMATIONSORDNUNG
Satz 5.17 (Bernstein–Satz für Glättemodule) Es gibt Konstanten Mr, r ∈ N, so daß für jedes
f ∈ C(T) und δ > 0
ωr (f, δ) ≤ Mr δ r
⌊δ−1⌋
n=0
(n + 1) r−1 E ∗ n(f). (5.24)
Beweis: Für n ∈ N sei tn ∈ Tn das jeweilige Polynom bester Approximation an f. Für δ ≥ 1
wird (5.24) zu
ωr (f, δ) ≤ Mr δ r E ∗ 0(f),
was wegen
ωr (f, δ) = ωr (f − t0, δ) ≤ 2 r f − t0 = 2 r E ∗ 0(f)
mit Mr ≥ 2 r immer erfüllt werden kann. Interessant wird’s also für 0 < δ ≤ 1. Wegen der
Linearität der Differenzen erhalten wir, daß für x ∈ T, 0 < h ≤ δ und k ∈ N0
|∆ r hf(x)| = |∆ r h (f − t2k) (x) + ∆ r ht2k(x)| ≤ |∆ r h (f − t2k) (x)| + |∆ r ht2k(x)| ≤ h r
t (r)
2k
+ 2 r f − t2k = h
r
t (r)
2k
+ 2 r E ∗
2k(f). (5.25)
=E∗ 2k (f)
Wir müssen jetzt den Ausdruck t (r)
2k
abschätzen. Dazu verwenden wir die Abkürzung E(n) :=
E∗ n(f). Unter Verwendung der Bernstein–Ungleichung (5.20) erhalten wir jetzt für x ∈ T, daß
t (r)
2k
= t (r)
2k − t (r)
0 = 1 − t
(r)
k
0 + t (r)
2j − t (r)
2j−1
≤
Nun ist aber
t (r)
=0
1 − t (r)
0
+
t(r)
k
t (r)
2j − t (r)
j=1
= t1 − f + f − t0 +
≤ E(0) + E(1) +
≤2E(0)
k
j=1
k
j=1
2 j−1
j=1
≤ 1 r t1 − t0 +
2 jr t 2 j − f + f − t 2 j−1
k
j=1
2 jr E 2 j + E 2 j−1
≤2E(2j−1
≤ 2 E(0) + 2
)
r
k−1
2
j=0
rj E 2 j = 2 r
k−1
2
j=0
(r−1)(j−1) E 2 j 2 j − 2 j−1
=2j−1 ≤ 2 r
j=0
= 2 r
≤ 2 r
2k−1 t
1
r−1 E(t) dt = 2 r
2k
j=1
(j + 1) r−1 E(j).
2k−1 −1
j=0
j+1
j
k−1 2j t r−1
≤(j+1) r−1
2 jr t 2 j − t 2 j−1
2 j−1
k−1
j=0
t r−1
≥2 (r−1)(j−1)
E(t) dt
≤E(j)
2 jr E 2 j
.
E(t)
≥E(2j dt
)