Approximationstheorie

5.4 Trigonometrische Polynome III: Bernstein–Sätze 101
ist, ist x ∗ eine davon. Nochmalige Anwendung des Satzes von Rolle ergibt dann, daß q ′′ ebenfalls
mindestens 2n Nullstellen zwischen den Nullstellen von q ′ hat, also mindestens 2n Nullstellen
verschieden von x ∗ und da, nach obiger Überlegung
q ′′ (x ∗ ) = −n 2 M sin n (x ∗ − x ∗ )
=0
− p ′′ (x ∗ ) = 0
=0
ist, hat q ′′ mindestens 2n+1 Nullstellen, weswegen q konstant sein müßte – aber eine konstante
Funktion mit so vielen echten Vorzeichenwechseln, die muß erst noch erfunden werden. Also
haben wir den gewünschten Widerspruch.
Übung 5.5 Beweisen Sie, daß die Ungleichung (5.20) scharf ist, das heißt, es gibt (mindestens)
ein p, so daß Gleichheit angenommen wird. ♦
Übung 5.6 Zeigen Sie: Ist p ein trigonometrischen Polynom und ist p (k) = 0 für ein k ∈ N,
dann ist p konstant. ♦
Um Satz 5.13 in allgemeinerer Form beweisen zu können, brauchen wir noch etwas mehr Terminologie,
nämlich Stetigkeitsmodule höherer Ordnung.
Definition 5.15 Zu f ∈ C(T) und r ∈ N ist der r–te Glättemodul ωr (f, δ) definiert als
wobei natürlich ω = ω1 gilt.
Lemma 5.16 (Einfache Eigenschaften des Glättemoduls)
1. Für f ∈ C(T) und r ∈ N ist
2. Für f ∈ C r (T) ist
Beweis: Da
∆ r hf = r−1
∆h f (· + h) − ∆r−1
h f
≤ ∆r−1 ωr (f, δ) := sup ∆
0