Approximationstheorie

100 5 APPROXIMATIONSORDNUNG
5.4 Trigonometrische Polynome III: Bernstein–Sätze
Jetzt aber endlich zur Umkehrung. Das Gegenstück zu dem Jackson–Satz, der sogenannte
Bernstein–Satz schätzt jetzt den Stetigkeitsmodul über die Approximationsgüte ab, allerdings
erhalten wir keine Umkehrungen der Form ω f, 1
∗ ≤ ME n
n(f), die man auch gerne als “Umkehrsätze
vom starken Typ” bezeichnet, sondern nur “schwache” Umkehrungen – die aber für
unsere Zwecke immer noch stark genug sein werden.
Satz 5.13 (Bernstein–Satz)
Es gibt eine Konstante M > 0, so daß für f ∈ C(T) und δ > 0
ist.
ω (f, δ) ≤ M δ
⌊δ−1⌋
n=0
E ∗ n(f) (5.19)
Auch für Satz 5.13 brauchen wir Hilfsmittel. Wir beginnen mit einem Resultat, das die Norm
der Ableitung eines trigonometrischen Polynoms mit der Norm des Polynoms verknüpft.
Proposition 5.14 Für p ∈ Tn gilt die Bernsteinsche Ungleichung
p ′ ≤ n p . (5.20)
Beweis: Wäre (5.20) falsch, dann gäbe es ein p ∈ Tn und x ∗ ∈ T mit
|p ′ (x ∗ )| = p ′ = nM > n p , M > p ,
und wir können annehmen, daß p ′ (x ∗ ) = nM ist. Weil p ′ an x ∗ ein Maximum hat, muß
p ′′ (x ∗ ) = 0 sein. Die Funktion
q(x) = M sin n (x − x ∗ ) − p(x), x ∈ T,
hat nun die Eigenschaft, daß für k = 0, . . . , 2n − 1
q (xk) := q x ∗ 2k + 1
+
2n π
2k + 1
= M sin n
2n π
−p (xk) = (−1) k µk,
=sin(k+ 1
2)π=(−1) k
wobei µk > 0 ist, also hat q mindestens 2n Nullstellen 117 . Nach dem Satz von Rolle hat auch q ′
mindestens 2n Nullstellen und da
117 Rund um den Einheitskreis!
q ′ (x ∗ ) = nM cos n (x ∗ − x ∗ ) − p ′ (x ∗ ) = nM − nM = 0