Approximationstheorie

98 5 APPROXIMATIONSORDNUNG
sowie
t
T
k ∞
−k 2k sin
Jn(t) dt ≥ n
M 0
4 t
dt
t4−k
>0
woraus (5.14) unmittelbar folgt.
Ein kleiner “Fehler” des Operators Jn ist, daß er ein trigonometrisches Polynom vom Grad
2n − 2 ist und somit auch liefert, siehe Übung 5.2, und wir hätten halt nun doch gerne ein trigonometrisches
Polynom vom Grad ≤ n. Also setzen wir Kn = J⌊n/2⌋+1, n ∈ N und definieren
den Jackson–Operator Jn als
Jnf := Kn ∗ f, n ∈ N. (5.17)
Und obwohl die Bestapproximation nicht linear von f abhängt, siehe Übung 5.3 hat trotzdem
dieser lineare Faltungsoperator bereits dieselbe Approximationsgüte.
Übung 5.2 Zeigen Sie, daß Jn ∈ T2n−2 ist. ♦
Übung 5.3 Seien t ∗ n(f) ∈ Tn, n ∈ N0, die trigonometrische Polynome bester Approximation
zu f ∈ C(T). Zeigen Sie, daß die Operatoren Tn : f ↦→ t ∗ n(f), n ∈ N0, nicht linear sind. ♦
Schließlich brauchen wir noch eine einfache Aussage über Stetigkeitsmodule.
Lemma 5.11 Für f ∈ C(T), δ > 0 und λ ∈ R+ ist
ω (f, λ δ) ≤ (⌊λ⌋ + 1) ω (f, δ) . (5.18)
Beweis: Für λ ∈ N und |h| ≤ δ ist
λ−1
|∆λhf(x)| = ∆hf (x + jh)
≤
λ−1
|∆hf (x + jh)| ≤ λ ω (f, δ)
j=0
und Übergang zum Supremum liefert (5.18) für λ ∈ N; für beliebiges λ ∈ R+ folgt das Ganze
wegen λ ≤ ⌊λ⌋ + 1 und der Monotonie des Steigkeitsmoduls.
Beweis von Satz 5.9: Für x ∈ T und n ∈ N ist, wegen der Normierung von Kn und da Kn
gerade ist,
f(x) − Jnf(x) = f(x) (Kn ∗ 1) − (Kn ∗ f) (x) =
=1
(f(x) − f(x − t)) Kn(t) dt
T
=
=
0
−π
π
0
π
= −
= −
j=0
(f(x) − f(x − t)) Kn(t) dt +
(f(x) − f(x + t)) Kn(−t)
0 π
0
=Kn(t)
dt +
π
0
π
(f(x + t) − 2f(x) + f(x − t)) Kn(t) dt
(∆tf(x) + ∆−tf(x)) Kn(t) dt.
0
,
(f(x) − f(x − t)) Kn(t) dt
(f(x) − f(x − t)) Kn(t) dt