Approximationstheorie

8 1 WAS IST APPROXIMATIONSTHEORIE
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
25
20
15
10
5
0
-5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Abbildung 1.1: Die beiden Dirichletkerne D3 und D10. Man sieht sehr schön, daß diese
Kerne stetig sind und ihr Maximum an der Stelle t = 0 annehmen.
Jetzt beginnen wir mit einem modernen Beweis von Satz 1.5, der auf Funktionalanalysis,
genauer, auf dem Uniform Boundedness Principle 9 beruht.
Beweis von Satz 1.5: Wir werden zeigen, daß die Operatornorm
σn(f)
σn = sup
f=0 f
divergiert, das heißt, daß
lim
n→∞ σn = ∞ (1.9)
ist. Daraus folgt sofort mit dem Uniform Boundedness Principle, siehe [43, 4.7-3, p. 249], daß
es eine Funktion f ∈ C (T) geben muß, so daß
lim
n→∞ σn(f) = ∞
und somit folgt, da f < ∞, die Gültigkeit von (1.6).
Um (1.9) zu beweisen, bemerken wir zuerst, daß der Dirichletkern als
Dn(t) = 1 sin
2π
n + 1
t 2 , n ∈ N0, (1.10)
sin 1
2 t
geschrieben werden kann, was übrigens auch zeigt, daß Dn ∈ C(T) ist. Da Dn obendrein
symmetrisch ist, ist für beliebiges f ∈ C(T)
π
π
σn(f) ≥ |σn(f)(0)| = |f ∗ Dn(0)| = f(t) Dn (0 − t) dt
=
f(t) Dn(t) dt
−π
=Dn(t)
−π
9 Ist eine Folge Tn von linearen Operatoren punktweise beschränkt, das heißt, ist sup n Tnf < ∞ für alle f,
dann ist die Folge auch global beschränkt: sup n Tn < ∞.