FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...
FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...
FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
1 <strong><strong>Funktion</strong>en</strong><br />
<strong>1.1</strong> <strong>Begriff</strong> <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong>, Darstellung von <strong><strong>Funktion</strong>en</strong><br />
Definition (<strong>Funktion</strong>): X und Y seien nichtleere Mengen. f heißt <strong>Funktion</strong> (o<strong>der</strong><br />
Abbildung o<strong>der</strong> <strong>Funktion</strong>svorschrift) von X in (o<strong>der</strong> nach) Y, wenn jedem x ∈ X<br />
eindeutig ein y ∈ Y zugeordnet werden kann mit f(x) := y.<br />
X ist <strong>der</strong> Definitionsbereich (o<strong>der</strong> die Definitionsmenge) <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> f, Y ist <strong>der</strong><br />
Wertebereich (o<strong>der</strong> die Wertemenge) <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> f, x ist das Argument, y = f(x) ist<br />
<strong>der</strong> <strong>Funktion</strong>swert für das Element x.<br />
Schreibweise<br />
für: f ist <strong>Funktion</strong> von X in Y: f : X → Y,<br />
für: f(x) (bzw. y) ist <strong>Funktion</strong>swert von x : f : x a f(x) (bzw. f : x a y)<br />
Bemerkung: Manchmal wird statt <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong>svorschrift auch die Menge<br />
{ (x,y) | y = f(x) ∧ x ∈ X } als <strong>Funktion</strong> bezeichnet.<br />
Im weiteren Verlauf dieses Abschnitts werden nur <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> f: X → Y betrachtet, für<br />
die X ⊂ ⎟R und Y ⊂ ⎟R.<br />
Beispiel: f: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } → [-43,5) sei beschrieben durch folgende<br />
Wertetabellen:<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
X 0 1 2 3 4 5 6<br />
Y 2 3,76 3 -43 3 4 4,5<br />
f ist eine <strong>Funktion</strong>.<br />
X 0 1 2 3 4 5<br />
Y 2 3,76 3 -43 3 4<br />
f ist keine <strong>Funktion</strong>: Für x = 6 ist kein <strong>Funktion</strong>swert definiert.<br />
X 0 1 2 3 4 5 6 1<br />
Y 2 3,76 3 -43 3 4 4,5 0<br />
f ist keine <strong>Funktion</strong>: Für x = 1 ist kein eindeutiger Wert y definiert.<br />
Bemerkung: Eine allgemeine Zuordnung von Elementen zweier Mengen<br />
zueinan<strong>der</strong>, für die keinerlei Eindeutigkeit verlangt wird, heißt Relation. Eine<br />
<strong>Funktion</strong> ist also ein Spezialfall einer Relation.<br />
X 0 1 2 3 4 5 6<br />
Y 2 3,76 3 -43 3 4 50<br />
f ist keine <strong>Funktion</strong>: y = 50 ist kein Element des Wertebereiches.<br />
02.07.02, Seite 29
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
Darstellung von <strong><strong>Funktion</strong>en</strong>:<br />
• Wertetabelle (siehe oben)<br />
Vorteil: <strong>Funktion</strong>swerte mit großer Genauigkeit.<br />
Nachteile: nur begrenzte Anzahl von <strong>Funktion</strong>swerten darstellbar<br />
unanschaulich<br />
• graphische Darstellung: Auf <strong>der</strong> waagerechten Achse (x-Achse) eines<br />
Koordinatensystems werden die Elemente des Definitionsbereichs eingetragen, auf<br />
<strong>der</strong> senkrechten Achse (y-Achse) die Elemente des Wertebereichs. Die Menge <strong>der</strong><br />
Punkte (x,f(x)) wird Graph <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> f genannt.<br />
Je nach Größe <strong>der</strong> darzustellende Werte wählt man für x-Achse und y-Achse einen<br />
geeigneten Maßstab, <strong>der</strong> allerdings häufig für x-Achse und y-Achse verschieden ist.<br />
Bespiele: Graph <strong>der</strong> Sinus-<strong>Funktion</strong>:<br />
1,25<br />
1<br />
0,75<br />
0,5<br />
0,25<br />
0<br />
0 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93<br />
-0,25<br />
-0,5<br />
-0,75<br />
-1<br />
-1,25<br />
Der folgende Halbkreis ist nicht <strong>der</strong> Graph einer <strong>Funktion</strong>, da durch ihn keine<br />
eindeutige Relation abgebildet wird:<br />
02.07.02, Seite 30
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
1,50<br />
1,00<br />
0,50<br />
0,00<br />
0 0,25 0,50 0,75 1,00<br />
-0,50<br />
-1,00<br />
-1,50<br />
Vorteil: anschauliche Darstellung.<br />
Nachteile: begrenzte Genauigkeit<br />
nur für wenige Dimensionen möglich<br />
ggf. aufwendige Erstellung<br />
• Analytische Darstellungen:<br />
Die Zuordnung f: x a f(x) wird durch eine <strong>Funktion</strong>sgleichung hergestellt. dafür gibt<br />
es verschiedene Formen.<br />
• explizite Form: Auf einer Seite <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong>sgleichung steht y isoliert: y = f(x)<br />
Beispiele: y = - 2 3 x + 2 für x ∈ ⎟R<br />
y = 3 − x für x ∈ (-∞,3]<br />
⎧1 für x ∈ (-∞,0)<br />
y = ⎨ 1 2 x 2 für x ∈ [0,2]<br />
⎩-x + 4 für x ∈ (2,4]<br />
• implizite Form: Die allgemeine Form ist: F( x ; y ) = 0.<br />
Die explizite Form ist immer in eine implizite Form umformbar.<br />
Die implizite Form ist jedoch im allgemeinen nicht in eine explizite Form<br />
umformbar.<br />
02.07.02, Seite 31
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
Beispiele:<br />
♦ F( x ; y ) = 2x + 3y - 6 = 0<br />
Umformung führt zur expliziten Form y = - 2<br />
3 x + 2<br />
♦ F( x ; y ) = x 2 + y 2 - 25 = 0<br />
Auflösung nach y ergibt zwei <strong>Funktion</strong>sgleichungen:<br />
2<br />
f1 (x) = 25 − x mit f1 : [-5,5] → [0,5]<br />
2<br />
f2 (x) = - 25 − x mit f2 : [-5,5] → [-5,0]<br />
Der Graph <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> f 1 beschreibt den nach unten offenen Halbkreis mit<br />
Mittelpunkt (0,0) und Radius 5, <strong>der</strong> Graph <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> f 2 beschreibt den<br />
nach oben offenen Halbkreis mit Mittelpunkt (0,0) und Radius 5.<br />
Die implizite Form F ist also die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt (0,0)<br />
und Radius 5.<br />
Aus dem Beispiel ist insbeson<strong>der</strong>e ersichtlich: Nicht jede explizite Darstellung<br />
beschreibt eine <strong>Funktion</strong>. Diese ergibt sich in diesem Beispiel erst nach<br />
Festlegung des Vorzeichens bei <strong>der</strong> Auflösung.<br />
Einer impliziten Darstellung ist nicht immer sofort anzusehen, ob die<br />
Zuordnung x a y eindeutig ist (ob also überhaupt durch diese Darstellung<br />
eine <strong>Funktion</strong> definiert ist).<br />
♦ F( x ; y ) = y 5 - 3y 2 + 6x - 4 = 0<br />
Diese Gleichung kann nicht nach y aufgelöst werden. Die implizite<br />
<strong>Funktion</strong>sdarstellung kann also nicht in eine explizite Darstellung umgeformt<br />
werden.<br />
• Parameterdarstellung:<br />
Manchmal ist es notwendig o<strong>der</strong> sinnvoller, statt einer <strong>Funktion</strong>sgleichung F(x;y)<br />
= 0 zwei Gleichungen anzugeben, in denen x und y getrennt voneinan<strong>der</strong> in<br />
Abhängigkeit von einer Hilfsvariablen t ∈ T dargestellt werden:<br />
x = x(t) y = y(t)<br />
Die Hilfsvariable t heißt Parameter.<br />
Jedem Wert t ∈ T wird ein Zahlenpaar (x,y) zugeordnet. Durch das obige<br />
Gleichungssystem ist damit ein Parameterdarstellung definiert.<br />
Bemerkung: Diese Darstellung ist allgemein üblich in CAD/CAM-Systemen. Sie<br />
hat vor allem den Vorteil, daß sich bei gleichmäßiger Wahl von Werten für t in<br />
vielen Fällen eine graphische Darstellung mit höherer Genauigkeit ergibt.<br />
Der Übergang von <strong>der</strong> impliziten Darstellung F( x ; y ) = 0 und damit auch von <strong>der</strong><br />
02.07.02, Seite 32
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
expliziten Darstellung y = f(x) zur Parameterdarstellung ist immer möglich.<br />
Beispiele: Sei ∀ t ∈ ⎟R: x(t) := t + 2 y(t) := 5 - 1<br />
2 t 2<br />
Damit ergibt sich folgende Wertetabelle:<br />
t -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0<br />
x -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0<br />
y -3,0 0,5 3,0 4,5 5,0 4,5 3,0 0,5 -3,0<br />
und folgende graphische Darstellung:<br />
5,0<br />
4,0<br />
3,0<br />
2,0<br />
1,0<br />
0,0<br />
-1,0-2,0<br />
0,0 2,0 4,0 6,0<br />
-2,0<br />
-3,0<br />
In diesem Fall läßt sich die Parameterdarstellung leicht umformen in die<br />
explizite Darstellung:<br />
Indem man die erste Gleichung nach t auflöst, läßt sich in <strong>der</strong> zweiten<br />
Gleichung t durch x - 2 ersetzen:<br />
y = 5 - 1 2 (x - 2) 2 = - 1 2 x 2 + 2x + 3.<br />
Damit konnte also in diesem Fall die Parameterdarstellung leicht in die<br />
explizite Darstellung überführt werden. Da x in <strong>der</strong> ersten Gleichung <strong>der</strong><br />
Parameterdarstellung linear von t abhängt, ist auch die Genauigkeit <strong>der</strong><br />
graphischen Darstellung unabhängig davon, ob über t o<strong>der</strong> x variiert wird.<br />
Deshalb bringt in diesem Beispiel die Parameterdarstellung keine Vorteile.<br />
♦ Erheblich interessanter ist die Parameterdarstellung des nach unten offenen<br />
Halbkreises:<br />
Sei ∀ t ∈ [0, 2π]: x(t) := 5 cos t y(t) := 5 sin t<br />
In diesem Fall kann man sich den Parameter t als Drehwinkel vorstellen. Ein<br />
entscheiden<strong>der</strong> Vorteil <strong>der</strong> Parameterdarstellung gegenüber <strong>der</strong> expliziten<br />
Darstellung besteht in diesem Beispiel darin, daß bei <strong>der</strong> Wahl von<br />
Parameterwerten t in konstantem Abstand auch die sich ergebenden (x,y)-<br />
Werte konstanten Abstand haben. Dadurch läßt sich eine gleichmäßig gute<br />
graphische Darstellung erreichen.<br />
02.07.02, Seite 33
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
Nach Einführung <strong>der</strong> trigonometrischen <strong>Funktion</strong> wird dieses Beispiel noch<br />
genauer untersucht.<br />
Definition (verkettete <strong>Funktion</strong>):<br />
X, Y und Z seien nichtleere Mengen, f : X → Y, g: Y → Z seien <strong><strong>Funktion</strong>en</strong>. Die durch<br />
h(x) := g o f(x) := g(f(x)) = g(y)<br />
definierte <strong>Funktion</strong> X → Z ist eine verkettete (o<strong>der</strong> zusammengesetzte) <strong>Funktion</strong>.<br />
Dabei ist f die innere und g die äußere <strong>Funktion</strong>.<br />
Bemerkung: Damit diese Definition so gemacht werden kann, wäre korrekterweise<br />
zunächst einmal nachzuweisen gewesen, daß auf diese Weise mit h überhaupt eine<br />
<strong>Funktion</strong> definiert ist.<br />
Beispiel: Seien: f : [2,∞] → [0,∞) f : x a x - 2<br />
g : [0,∞) → ⎟R g : y a y<br />
Dann ergibt sich folgende Kettenfunktion h = g o f:<br />
h(x) = g o f(x) = g(f(x)) = g(x - 2) = x − 2 , wobei h: [2,∞) → ⎟R<br />
Achtung: Die Verkettung von <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> ist keine kommutative Operation. Im<br />
allgemeinen ist für zwei <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> f und g also g o f ≠ f o g<br />
Wichtige <strong>Funktion</strong>sverkettungen:<br />
f : X → Y und g: Y → Z mit X, Y, Z ⊂ ⎟R seien <strong><strong>Funktion</strong>en</strong>.<br />
Die <strong>Funktion</strong> g o f ist für:<br />
a) f : x a x + a für a ∈ ⎟R:<br />
eine Schiebung <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> g um -a parallel zur x-Achse.<br />
b) g : f(x) a f(x) + b für b∈ ⎟R:<br />
eine Schiebung <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> f um b parallel zur y-Achse.<br />
c) f : x a cx für c ∈ ⎟R:<br />
bei 0 < c < 1: eine Streckung <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> g in x-Richtung.<br />
bei c > 1: eine Stauchung <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> g in x-Richtung.<br />
bei c = −1: eine Spiegelung <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> g an <strong>der</strong> y-Achse.<br />
d) g : f(x) a df(x) für d ∈ ⎟R:<br />
bei 0 < d < 1: eine Stauchung <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> f in y-Richtung.<br />
bei d > 1: eine Streckung <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> f in y-Richtung.<br />
bei d = −1: eine Spiegelung <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> f an <strong>der</strong> x-Achse.<br />
02.07.02, Seite 34
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
1.2 Eigenschaften von <strong><strong>Funktion</strong>en</strong><br />
In diesem Kapitel sind alle Zahlen und Variablen reell und alle Definitions- und<br />
Wertebereiche reelle Teilmengen.<br />
Definition (Nullstelle): Die Menge M = { x | F(x ; 0) = 0 } ist die Menge <strong>der</strong> Nullstellen<br />
<strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> F(x ; y) = 0.<br />
Für die explizite Darstellung f(x) = y ist dann also M := { x | f(x) = 0 } die Menge <strong>der</strong><br />
Nullstellen.<br />
An<strong>der</strong>s ausgedrückt: Die Nullstellen einer <strong>Funktion</strong> f(x) = y sind die Lösungen x i <strong>der</strong><br />
Gleichung f(x) = 0.<br />
Eine <strong>der</strong> wichtigsten Aufgaben bei <strong>der</strong> Arbeit mit <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> ist die Bestimmung von<br />
Nullstellen.<br />
Beispiele: a) f(x) := x 2 + 4x + 4besitzt eine x = -2 Nullstelle.<br />
b) f(x) := sin x besitzt die Nullstellen { x | ∃ z ∈ ⎟Ζ: x = z π }<br />
(= alle ganzzahligen Vielfachen von π)<br />
Definition (Beschränktheit): Sei I ein Intervall. Eine <strong>Funktion</strong> f ist im Intervall I<br />
nach oben beschränkt, wenn gilt: ∃ a ∈ ⎟R , so daß ∀ x ∈ I: f(x) ≤ a<br />
nach unten beschränkt, wenn gilt: ∃ b ∈ ⎟R , so daß ∀ x ∈ I: f(x) ≥ b<br />
beschränkt, wenn sie in I nach oben und nach unten beschränkt ist<br />
Beispiele: a) f(x) := x 2 ist durch 0 nach unten, aber nicht nach oben beschränkt<br />
b) f(x) := sin x ist durch -1 nach unten und 1 nach oben beschränkt, also<br />
beschränkt.<br />
Definition (Minimum, Maximum): Eine <strong>Funktion</strong> f : X → Y hat im Punkt x e ∈ X ein<br />
(globales) Maximum, wenn gilt: ∀ x ∈ X : f(x) ≤ f(x e )<br />
(globales) Minimum, wenn gilt: ∀ x ∈ X : f(x) ≥ f(x e )<br />
lokales (o<strong>der</strong> relatives) Maximum, wenn gilt:<br />
∃ ε > 0 : ∀ x ∈ (x e -ε, x e +ε) ∩ X ist f(x) ≤ f(x e ) (<strong>der</strong> Schnitt mit X macht die<br />
Definition auch für Randpunkte des Definitionsbereiches sinnvoll)<br />
lokales (o<strong>der</strong> relatives) Minimum, wenn gilt:<br />
∃ ε > 0 : ∀ x ∈ (x e -ε, x e +ε) ∩ X ist f(x) ≥ f(x e )<br />
Beispiele: a) f(x) := x2 + 2 hat globales Minimum in x = 0<br />
3<br />
x<br />
b) f(x) := − + x<br />
12<br />
Graph <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong>:<br />
hat ein lokales Minimum in x = -2 und ein<br />
lokales Maximum in x = 2<br />
02.07.02, Seite 35
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1 -5<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
-4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00<br />
Definition (Monotonie): Sei I ein Intervall. Eine <strong>Funktion</strong> f ist im Intervall I<br />
monoton fallend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) ≥ f(x 2 )<br />
streng monoton fallend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) > f(x 2 )<br />
monoton steigend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) ≤ f(x 2 )<br />
streng monoton steigend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) < f(x 2 )<br />
Beispiele:<br />
a. f(x) := -2x + 1 ist streng monoton fallend in I = ⎟R<br />
b. f(x) := sin x ist streng monoton steigend in I 1 := [-π/2, π/2]<br />
und streng monoton steigend in I 2 := [π/2, 3/2π].<br />
c. f(x) := 5 ist zugleich monoton fallend und monoton steigend in<br />
I = ⎟R.<br />
Definition (gerade, ungerade <strong>Funktion</strong>): Sei X ⊂ ⎟R, so daß gilt: x ∈ X ⇒ -x ∈ X. Die<br />
<strong>Funktion</strong> f : X → ⎟R heißt<br />
gerade, wenn gilt: ∀ x, -x ∈ X: f(-x) = f(x)<br />
ungerade, wenn gilt: ∀ x, -x ∈ X: f(-x) = -f(x)<br />
Die Graphen gera<strong>der</strong> <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> sind axialsymmetrisch zur y-Achse, die Graphen<br />
ungera<strong>der</strong> <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> punktsymmetrisch zum Punkt (0,0).<br />
Beispiele: a) f(x) := cos x ist gerade<br />
b) g(x) := sin x ist ungerade<br />
Definition (Periodizität): Die <strong>Funktion</strong> f : X → ⎟R heißt periodisch, wenn gilt:<br />
∃ p ∈ ⎟R mit p > 0, so daß ∀ x ∈ X, ∀ k ∈ ⎟Ζ gilt:<br />
x + kp ∈ X und f(x) = f(x + kp).<br />
p heißt Periode <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> f. Die kleinste Periode p heißt primitive Periode.<br />
Beispiel: f(x) := sin x und g(x) := cos x haben die primitive Periode 2π und z. B. die<br />
Periode 10π<br />
02.07.02, Seite 36
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
Definition (Konvergenz): Gegeben sei die <strong>Funktion</strong> f : X → ⎟R:<br />
a. f ist konvergent gegen yl für x fi ¥, wenn gilt:<br />
∀ ε > 0 ∃ x0 ∈ X: (x0 ,∞) ⊂ X ∧ | f(x) - yl | < ε ∀ x > x0 Schreibweise: lim f(x) = yl x→∞<br />
b. f ist konvergent gegen yl für x fi - ¥, wenn gilt:<br />
∀ ε > 0 ∃ x0 ∈ X: (-∞,x0 ) ⊂ X ∧ | f(x) - yl | < ε ∀ x < x0 Schreibweise: lim f(x) = yl x→−∞<br />
Beispiele:<br />
a. f(x) := 1<br />
x<br />
∀ x > 0: Es gilt: limf(x)<br />
= 0<br />
x→∞<br />
b. f(x) := x 2 ∀ x ∈ ⎟R:<br />
f ist in ⎟R we<strong>der</strong> konvergent für x → ∞ noch für x → -∞<br />
c. f(x) := sin x ∀ x ∈ ⎟R:<br />
Da f periodisch und nicht konstant ist, ist f we<strong>der</strong> konvergent<br />
für x → ∞ noch für x → -∞<br />
Definition (Asymptote): Gegeben seien die <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> f, g: X → Y.<br />
Es gelte: ∃ a ∈ ⎟R mit (-∞,a] ⊂ X ∨ [a,∞) ⊂ X.<br />
g heißt Asymptote (o<strong>der</strong> asymptotische Kurve) von f, wenn gilt:<br />
f - g konvergiert gegen 0 für x → ∞ o<strong>der</strong> für x → -∞.<br />
Beispiele:<br />
a. f(x) :=<br />
b. f(x) :=<br />
x<br />
1 + x<br />
2<br />
3<br />
x<br />
2( x − 1)<br />
Zugehörige Graphen:<br />
Zugehörige Asymptote: g(x) = 0<br />
für x ∈ ⎟R \ {1}. Zugehörige Asymptote: g(x) := 1 2 (x 2 + x + 1)<br />
02.07.02, Seite 37
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
Definition (Stetigkeit):<br />
a. Die <strong>Funktion</strong> f : X → Y heißt stetig in x 0 ∈ X, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert,<br />
so daß gilt:<br />
| f(x) - f(x 0 ) | < ε ∀ x ∈ (x 0 -δ, x 0 +δ).<br />
b. Die <strong>Funktion</strong> f : X → Y heißt linksstetig in x 0 ∈ X, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0<br />
existiert, so daß gilt:<br />
| f(x) - f(x 0 ) | < ε ∀ x ∈ (x 0 -δ, x 0 ).<br />
c. Die <strong>Funktion</strong> f : X → Y heißt rechtsstetig in x 0 ∈ X, wenn zu jedem ε > 0 ein<br />
δ > 0 existiert, so daß gilt:<br />
| f(x) - f(x 0 ) | < ε ∀ x ∈ (x 0 , x 0 +δ).<br />
d. Die <strong>Funktion</strong> f : X → Y heißt stetig in x 0 ∈ X, wenn sie in x 0 links- und rechtsseitig<br />
stetig ist.<br />
Offenbar ist eine <strong>Funktion</strong> in x 0 ∈ X genau dann stetig, wenn sie in x 0 links- und<br />
rechtsseitig stetig ist.<br />
Insbeson<strong>der</strong>e gilt: Eine <strong>Funktion</strong> ist nicht (links- o<strong>der</strong> rechtsseitig) stetig in x 0 , falls x 0 ∉<br />
X. Das heißt: Eine <strong>Funktion</strong> ist außerhalb ihres Definitionsbereichs nicht stetig (da nicht<br />
definiert).<br />
Beispiele:<br />
a. f(x) := | x | ist stetig ∀ x ∈ ⎟R<br />
02.07.02, Seite 38
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
b. f(x) := sin x ist stetig ∀ x ∈ ⎟R<br />
c. ⎧ 0 x < 0<br />
f(x) := ⎨<br />
⎩ 1 x ≥ 0<br />
f ist nur rechtsseitig stetig in x = 0, also ist f in x = 0 nicht stetig.<br />
f hat in x = 0 eine Sprungstelle.<br />
d. f(x) := 1<br />
∀ ∈ x ⎟R \ {0}<br />
x<br />
f ist stetig ∀ x ≠ 0. f ist in x = 0 nicht stetig, da x = 0 nicht zum<br />
Definitionsbereich <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> gehört.<br />
Die <strong>Funktion</strong> f(x) := 1<br />
∀ x ∈ ⎟R \ {0} hat in x = 0 eine Polstelle. Die<br />
x<br />
Definitionslücke in x = 0 ist nicht hebbar, da es keine reelle Zahl y ∈ ⎟R gibt<br />
mit f(0) := y, so daß dadurch f in x = 0 stetig ist.<br />
Anschaulich: Bei Annäherung an die Stelle x = 0 nähert sich <strong>der</strong> Graph <strong>der</strong><br />
<strong>Funktion</strong> immer mehr <strong>der</strong> y-Achse. Man spricht in diesem Fall von einer<br />
Polgeraden.<br />
sin x<br />
Die <strong>Funktion</strong> f(x) := ist für x = 0 nicht definiert. Durch folgende<br />
x<br />
Festlegung läßt sich diese Definitionslücke schließen:<br />
sin x<br />
⎧<br />
x x ≠ 0<br />
f(x) := ⎨<br />
⎩ 1 x = 0<br />
Dadurch wird f außerdem stetig ∀ x ∈ ⎟R (auf Beweis wird hier verzichtet).<br />
In einem solchen Fall spricht man von einer hebbaren Definitionslücke.<br />
e. Die <strong>Funktion</strong> f(x) := sin 1 x ist für x = 0 nicht definiert und auf<br />
⎟R \ {0} stetig. Die <strong>Funktion</strong> nimmt in je<strong>der</strong> noch so kleinen Umgebung um x =<br />
0 alle Werte zwischen -1 und 1 an. Die <strong>Funktion</strong> oszilliert also. Die<br />
Definitionslücke ist nicht hebbar.<br />
Von großer Bedeutung sind die folgenden Stetigkeitssätze, <strong>der</strong>en Aussagen intuitiv<br />
einsichtig sind:<br />
Zwischenwertsatz: I sei ein Intervall, f : I → ⎟R stetig. Seien x1, x2 ∈ I mit x1 < x2 und<br />
f(x1) < f(x2) (bzw. f(x2) < f(x1)). Dann gilt:<br />
Für alle y ∈ [f(x 1 ),f(x 2 )] (bzw. ∀ y ∈ [f(x 2 ),f(x 1 )]) gibt es ein x ∈ [x 1 ,x 2 ], so daß y = f(x).<br />
Satz von Weierstraß: Sei I ein abgeschlossenes Intervall, f: I → ⎟R stetig.<br />
Dann gilt: f hat ein Maximum und ein Minimum. Insbeson<strong>der</strong>e ist f beschränkt.<br />
02.07.02, Seite 39
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
Definition (Umkehrfunktion): Die <strong>Funktion</strong> f : X → Y mit f(x) = y sei gegeben. Die<br />
<strong>Funktion</strong> g: Y → X mit g(y) = g o f(x) = x heißt Umkehrfunktion o<strong>der</strong> inverse <strong>Funktion</strong><br />
von f. Bezeichnung: f -1 := g.<br />
Wenn f -1 die Umkehrfunktion von f ist, ist f die Umkehrfunktion von f -1 :<br />
(f -1 ) -1 o f -1 (y) = f o f -1 (y) = y.<br />
Bemerkung: Es gibt nicht zu je<strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> eine Umkehrfunktion.<br />
In den Fällen, wo dieses möglich ist, erhält man die <strong>Funktion</strong>sgleichung von f -1 durch<br />
Auflösen <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong>sgleichung y = f(x) nach x (= f -1 (y)).<br />
Den Graphen <strong>der</strong> Umkehrfunktion f -1 erhält man durch „Spiegelung“ des Graphen von f<br />
an <strong>der</strong> Diagonale y = x (bei gleichem Maßstab für x- und y-Achse.)<br />
Beispiel:<br />
f : [0,∞) → [0,∞) f(x) = x 2<br />
g : [0,∞) → [0,∞) g(y) = y<br />
Dann ist: f -1 = g und g -1 = f.<br />
02.07.02, Seite 40
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
1.3 Algebraische <strong><strong>Funktion</strong>en</strong><br />
Seien m, n ∈ ⎟Ν 0 . Eine <strong>Funktion</strong>, die sich in <strong>der</strong> Form<br />
F(x ; y) = a ⋅ x ⋅ y<br />
m<br />
n<br />
∑∑ 0<br />
i=<br />
0 j =<br />
ij<br />
i j<br />
darstellen läßt, heißt algebraisch.<br />
= 0 (a ij ∈ ⎟R)<br />
Zu den algebraischen <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> gehören<br />
• die Polynome<br />
• die gebrochenrationalen <strong><strong>Funktion</strong>en</strong><br />
• die irrationalen <strong><strong>Funktion</strong>en</strong><br />
1.3.1 Polynome (ganzrationale <strong><strong>Funktion</strong>en</strong>):<br />
Sei n ∈ ⎟Ν 0 , a n ≠ 0. Eine <strong>Funktion</strong> <strong>der</strong> Form<br />
f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0<br />
heißt Polynom n-ten Grades o<strong>der</strong> ganzrationale <strong>Funktion</strong> n-ten Grades.<br />
Der Graph eines Polynoms n-ten Grades heißt Parabel n-ten Grades.<br />
Beispiel: f(x) := 2x 3 - 5x + 1 ist ein Polynom dritten Grades.<br />
wichtige Eigenschaften:<br />
a) Als Definitionsbereich von Polynomen kann die Menge ⎟R gewählt werden.<br />
b) Das Ergebnis von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Verkettung von<br />
Polynomen ergibt wie<strong>der</strong>um ein Polynom.<br />
(Dieses gilt im allgemeinen nicht für die Division - siehe gebrochenrationale<br />
<strong><strong>Funktion</strong>en</strong> !!!)<br />
c) Polynome sind überall stetig.<br />
d) Polynome sind in ⎟R nicht beschränkt und sind nicht konvergent.<br />
Polynome mit ungeradem Grad sind außerdem in ⎟R we<strong>der</strong> nach unten noch nach<br />
oben beschränkt.<br />
Hingegen sind Polynome mit geradem Grad in ⎟R entwe<strong>der</strong> nach unten<br />
beschränkt (falls a n > 0) o<strong>der</strong> nach oben beschränkt (falls a n < 0) .<br />
e) Ein Polynom ist gerade, wenn alle Polynomkoeffizienten a n mit ungeradem n gleich 0<br />
sind.<br />
02.07.02, Seite 41
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
Ein Polynom ist ungerade, wenn alle Polynomkoeffizienten a n mit geradem n gleich<br />
0 sind.<br />
f) Ein Polynom n-ten Grades besitzt genau n Nullstellen (die allerdings mehrfach<br />
auftreten o<strong>der</strong> komplex sein können). (Fundamentalsatz <strong>der</strong> Algebra). Für die reellen<br />
Nullstellen gilt folgendes (wobei mehrfache reelle Nullstellen mit entsprechen<strong>der</strong><br />
Häufigkeit gezählt werden):<br />
Polynomgrad Anzahl <strong>der</strong> reellen Nullstellen<br />
1 1<br />
2 0 o<strong>der</strong> 2<br />
3 1 o<strong>der</strong> 3<br />
4 0, 2 o<strong>der</strong> 4<br />
5 1, 3 o<strong>der</strong> 5<br />
6 0, 2, 4, o<strong>der</strong> 6<br />
7 1, 3, 5, o<strong>der</strong> 7<br />
. . . . . .<br />
g) Wenn ein Polynom n-ten Grades die Nullstellen x i (1 ≤ i ≤ n) besitzt, kann die<br />
entsprechende Gleichung als Produkt <strong>der</strong> Linearfaktoren (x - x i ) geschrieben werden<br />
(Produktdarstellung). Durch Abspaltung von Linearfaktoren kann die Bestimmung<br />
von weiteren Nullstellen auf die Bestimmung <strong>der</strong> Nullstellen eines Polynoms<br />
geringeren Grades zurückgeführt werden.<br />
h) Zu gegebenen n+1 Elementen (Punkten) (xi ,yi ) ∈ ⎟R × ⎟R mit xi ≠ xj für alle<br />
i ≠ j gibt es genau ein Polynom höchstens n-ten Grades Pn , so daß:<br />
Pn (xi ) = yi für alle i: 0 ≤ i ≤ n.<br />
Die Menge <strong>der</strong> xi ist die Menge <strong>der</strong> Stützstellen, die Menge <strong>der</strong> yi die Menge <strong>der</strong><br />
Stützwerte für das Polynom Pn .<br />
Berechnen läßt sich das Polynom Pn mit Hilfe des Newton'schen Interpolationspolynoms<br />
(Isaak Newton, 1643 - 1727):<br />
P(x) = b 0 + b 1 (x - x 0 ) + b 2 (x - x 0 ) (x - x 1 ) +<br />
b 3 (x - x 0 ) (x - x 1 ) (x - x 2 ) +<br />
b 4 (x - x 0 ) (x - x 1 ) (x - x 2 ) (x - x 3 ) +<br />
. . .<br />
b n (x - x 0 ) (x - x 1 ) (x - x 2 ) (x - x 3 ) . . . (x - x n-1 )<br />
Die noch zu bestimmenden Polynomkoeffizienten b i lassen sich leicht mit folgendem<br />
Differenzen- bzw. Steigungsschema berechnen:<br />
k x k y k I II III . . .<br />
0 x0 y0 (= b0 )<br />
[x0 ,x1 ] (= b1 )<br />
1 x1 y1 [x0 ,x1 ,x2 ] (= b2 )<br />
02.07.02, Seite 42
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
[x1 ,x2 ] [x0 ,x1 ,x2 ,x3 ] (= b3 )<br />
2 x2 y2 [x1 ,x2 ,x3 ]<br />
[x2 ,x3 ] . . .<br />
3 x3 y3 . . .<br />
. . . . . .<br />
n xn yn Die Größen [x i ,x i+i ], [x i ,x i+i ,x i+2 ], [x i ,x i+1 ,x i+2 ,x i+3 ] usw. sind die dividierten<br />
Differenzen 1., 2., 3. usw. Ordnung. Sie sind folgen<strong>der</strong>maßen definiert:<br />
Differenzen 1. Ordnung:<br />
[xi ,xi+1 ] :=<br />
yi − yi<br />
+ 1<br />
xi − xi+<br />
1<br />
Es gehen also 2 aufeinan<strong>der</strong> folgende Stützpunkte ein.<br />
Beispiel: [x 0 ,x 1 ] =<br />
y − y<br />
0 1<br />
x − x<br />
0 1<br />
Differenzen 2. Ordnung:<br />
[xi ,xi+i ,xi+2 ] :=<br />
[ xi , xi+ 1] −[<br />
xi + 1, xi<br />
+ 2 ]<br />
xi − xi<br />
+ 2<br />
Es gehen also 3 aufeinan<strong>der</strong> folgende Stützpunkte ein.<br />
Beispiel: [x 0 ,x 1 ,x 2 ] =<br />
[ x , x ] − [ x , x ]<br />
0 1 1 2<br />
x − x<br />
0 2<br />
Differenzen 3. Ordnung:<br />
[xi ,xi+i ,xi+2 ,xi+3 ] :=<br />
[ xi , xi+ 1, xi + 2 ] − [ xi+ 1, xi+ 2 , xi+<br />
3]<br />
xi − xi+<br />
3<br />
Es gehen also 4 aufeinan<strong>der</strong> folgende Stützpunkte ein.<br />
Beispiel: [x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ] =<br />
[ x , x , x ] − [ x , x , x ]<br />
0 1 2 1 2 3<br />
x − x<br />
0 3<br />
usw.<br />
Bemerkung: Für die Polynominterpolation gibt es auch noch an<strong>der</strong>e Verfahren<br />
(z.B.: Interpolationspolynom von Lagrange, Gauß'sche Interpolationsformel)<br />
Beispiele:<br />
• Durch folgende Punkte soll ein Polynom gelegt werden:<br />
(0,-12), (2,16), (5,28), (7,-54)<br />
zugehöriges Differenzenschema:<br />
02.07.02, Seite 43
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
k x k y k I II III<br />
0 0 -12 (= b 0 )<br />
14 =<br />
−12−16 0−2 (= b1 )<br />
1 2 16 -2 =<br />
14−4 0 5<br />
− (= b 2 )<br />
4 -1 =<br />
2 5 28 -9<br />
-41<br />
3 7 -54<br />
Also ergeben sich die Koeffizienten:<br />
b 0 = -12, b 1 = 14, b 2 = -2, b 3 = -1<br />
− 2+ 9<br />
0−7 (= b3 )<br />
Eingesetzt in das Interpolationspolynom ergibt sich:<br />
y = -12 + 14 (x - 0) - 2 (x - 0)(x - 2) - 1 (x - 0) (x - 2) (x - 5)<br />
= -x 3 + 5x 2 + 8x -12<br />
• Gegeben seien die Punkte (x 0 ,y 0 ), (x 1 ,y 1 ). Durch diese Punkte soll eine Gerade<br />
gelegt werden (lineare Interpolation durch 2 Punkte):<br />
P(x) = b 0 + b 1 (x - x 0 )<br />
mit<br />
b 0 = y 0<br />
b 1 = [x 0 ,x 1 ] =<br />
y − y<br />
0 1<br />
x − x<br />
0 1<br />
Durch Einsetzen ergibt sich:<br />
y = y0 + [x0 ,x1 ]⋅(x - x0 )<br />
x − x0<br />
= y0 + (y1 - y0 )⋅<br />
x1 − x0<br />
= y y 1 − 0<br />
y − y<br />
⋅x + y0 - x0⋅ x − x<br />
x − x<br />
1 0<br />
1 0<br />
1 0<br />
Entsprechend läßt sich z.B. eine Formel ableiten für die quadratische<br />
Interpolation durch drei Punkte usw.<br />
Eine einfache, aber wichtige Anwendung <strong>der</strong> linearen Interpolation (und damit <strong>der</strong><br />
Anwendung obiger Formel) ist die Regula Falsi zur näherungsweisen<br />
Bestimmung von Nullstellen einer <strong>Funktion</strong> f(x):<br />
Man ermittelt durch "Probieren" zwei Werte x 1 und x 2 des Definitionbereiches von<br />
f, so daß f(x 1 ) ⋅ f(x 2 ) < 0 (d.h.: einer <strong>der</strong> beiden <strong>Funktion</strong>swerte ist größer, <strong>der</strong><br />
an<strong>der</strong>e kleiner als 0). Wenn die <strong>Funktion</strong> auf dem Intervall [x 1 ,x 2 ] stetig ist, besitzt<br />
sie in diesem Intervall eine Nullstelle (Zwischenwertsatz). Eine Näherung dieser<br />
02.07.02, Seite 44
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
Nullstelle erhält man, wenn man durch die Punkte (x 1 ,f(x 1 )) und (x 2 ,f(x 2 )) eine<br />
Gerade legt und <strong>der</strong>en Nullstelle berechnet. Die Qualität des Ergebnisses hängt<br />
natürlich wesentlich von <strong>der</strong> Wahl <strong>der</strong> Werte x 1 und x 2 ab.<br />
Für die Berechnung <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong>swerte von Polynomen ist das folgende sogenannte<br />
Horner-Schema (William George Horner, 1786 - 1837) hilfreich. Dadurch wird die<br />
Anzahl <strong>der</strong> Multiplikationen minimiert:<br />
Berechnet werden soll <strong>der</strong> Wert des Polynoms f an <strong>der</strong> Stelle x 0 :<br />
f(x 0 ) = a n x 0 n + an-1 x 0 n-1 + an-2 x 0 n-2 ... + a1 x 0 + a 0<br />
Durch Ausklammern erhält man:<br />
f(x 0 ) = ( ... ((a n x 0 + a n-1 ) x 0 + a n-2 ) x 0 ... + a 1 ) x 0 + a 0<br />
Also: a n wird mit x 0 multipliziert, zum Produkt wird dann a n-1 addiert, die Summe<br />
anschließend mit x 0 multipliziert usw.<br />
Dieses Verfahren läßt sich in folgendem Schema darstellen:<br />
a n a n-1 a n-2 ... a 1 a 0<br />
a n x 0 (a n x 0 + a n-1 ) x 0 ... ... ...<br />
x= x 0 a n a n x 0 + a n-1 ... ... ... f(x 0 )<br />
In <strong>der</strong> 1. Zeile des Horner-Schemas stehen die Polynomkoeffizienten.<br />
In <strong>der</strong> 2. Zeile steht das Produkt von x 0 und dem Term, <strong>der</strong> in <strong>der</strong> vorherigen Spalte in<br />
<strong>der</strong> 3. Zeile steht. In <strong>der</strong> 3. Zeile steht die Summe <strong>der</strong> Terme aus <strong>der</strong> 1. und <strong>der</strong> 2.<br />
Zeile. In <strong>der</strong> letzten Spalte <strong>der</strong> 3. Zeile steht <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong>swert.<br />
Beispiel: f(x) := x 4 - 5x 3 + 7x 2 + 3x -10. Gesucht ist f(3).<br />
Berechnung mit Horner-Schema für x 0 = 3:<br />
1 -5 7 3 -10<br />
3 -6 3 18<br />
x=3 1 -2 1 6 8=f(3)<br />
Es gilt: f sei ein Polynom n-ten Grades. Wenn x = x 0 eine Nullstelle des Polynoms ist,<br />
läßt sich das Polynom darstellen als Produkt des Linearfaktors (x-x 0 ) und eines<br />
Polynoms (n-1)-ten Grades. Die Polynomkoeffizienten dieses reduzierten Polynoms<br />
ergeben sich sofort aus <strong>der</strong> dritten Zeile des Horner-Schemas, das für x = x 0 aufgestellt<br />
02.07.02, Seite 45
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
wurde (eine an<strong>der</strong>e Lösung, um die Koeffizienten des reduzierten Polynoms zu<br />
ermitteln, ist die Partialdivision).<br />
1.3.2 gebrochenrationale <strong><strong>Funktion</strong>en</strong>:<br />
Seien m, n ∈ ⎟Ν0 , N sei ein Polynom vom Grad m, Z sei ein Polynom vom Grad n mit:<br />
Z(x) := anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 N(x) := bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0 Die <strong>Funktion</strong><br />
f(x)<br />
Z( x)<br />
:=<br />
N ( x)<br />
ist eine gebrochenrationale <strong>Funktion</strong>.<br />
Eine gebrochenrationale <strong>Funktion</strong> heißt<br />
echt gebrochenrational, wenn m > n<br />
unecht gebrochenrational, wenn m ≤ n.<br />
2<br />
x + 1<br />
Beispiel: f(x) := 2 ist unecht gebrochenrational.<br />
2x − x − 5<br />
wichtige Eigenschaften:<br />
a) Als Definitionsbereich von gebrochenrationalen <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> kann die Menge<br />
⎟R \ { x | N(x) = 0 } gewählt werden.<br />
Das heißt:<br />
In den Nullstellen des Nennerpolynoms ist eine gebrochenrationale <strong>Funktion</strong> nicht<br />
definiert. Sie gehören also nicht zum Definitionsbereich <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong>.<br />
b) Das Ergebnis von Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Verkettung<br />
von gebrochenrationalen <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> ergibt wie<strong>der</strong>um eine gebrochenrationale<br />
<strong>Funktion</strong>.<br />
c) Gebrochenrationalen <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> sind im gesamten Definitionsbereich stetig (aber<br />
nicht in den Nullstellen des Nennerpolynoms !!!).<br />
d) Die Nullstellen einer gebrochenrationalen <strong>Funktion</strong> sind die Elemente des<br />
Definitionsbereiches <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> (und damit nicht die Nullstellen des<br />
Nennerpolynoms !!!), die Nullstellen des Zählerpolynoms sind.<br />
e) Eine echt gebrochenrationale <strong>Funktion</strong> hat die Asymptote A(x) = 0.<br />
Beispiel: f(x) := 1<br />
x<br />
An den Stellen, die zugleich Nullstelle von Zähler- und Nennerpolynom sind, liegt<br />
eine hebbare Lücke vor.<br />
An den Stellen, wo nur das Nennerpolynom eine Nullstelle hat, besitzt die <strong>Funktion</strong><br />
eine Polgerade.<br />
02.07.02, Seite 46
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
f) Eine unecht gebrochenrationale <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> mit m = n (also gleichem Grad von<br />
Zähler- und Nennerpolynom) hat die Asymptote A(x) = an<br />
.<br />
b<br />
Beispiel: f(x) :=<br />
2<br />
x + 5x + 3<br />
2<br />
4x + 2<br />
hat die Asymptote A(x) = 1<br />
4 .<br />
g) Eine unecht gebrochenrationale <strong>Funktion</strong> f mit m < n (Grad von Nennerpolynom<br />
kleiner als Grad von Zählerpolynom) läßt sich zerlegen in:<br />
f(x) = p(x) + r(x),<br />
wobei p ein Polynom und r (= Rest nach Partialdivison) eine echt gebrochenrationale<br />
<strong>Funktion</strong> ist.<br />
Dann hat die <strong>Funktion</strong> f die Asymptote A(x) = p(x).<br />
3<br />
x<br />
Beispiel: f(x) :=<br />
2 ⋅ ( x − 1)<br />
= 1 2<br />
1<br />
2 ⋅ ( x + x + 1)<br />
+ hat die<br />
2 ⋅( x − 1)<br />
Asymptote A(x) = 1 2 ⋅(x 2 + x + 1).<br />
h) Das Verhalten unecht gebrochenrationaler <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> an ihren Unstetigkeitsstellen<br />
ergibt sich aus dem Verhalten des echt gebrochenrationalen Restes r, <strong>der</strong> nach<br />
Partialdivision übrigbleibt.<br />
1.3.3 irrationale <strong><strong>Funktion</strong>en</strong>:<br />
Eine <strong>Funktion</strong> heißt irrational, wenn<br />
• entwe<strong>der</strong> die Variable x in einem Wurzelterm steht<br />
Beispiel:<br />
• o<strong>der</strong> sich die Gleichung<br />
5 − x<br />
f(x) := 3<br />
2<br />
1+<br />
x<br />
implizite Darstellung F(x ; y) = (1+x2 ) y3 + x - 5 = 0<br />
m n<br />
∑∑ i=<br />
0 j = 0<br />
F(x ; y) = a ⋅ x ⋅ y<br />
ij<br />
i j<br />
= 0 (a ij ∈ ⎟R)<br />
nicht nach y auflösen läßt (es also für eine <strong>Funktion</strong> obiger Form keine explizite<br />
Darstellungsform gibt).<br />
Auf eine weitergehende Erörterung irrationaler <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> wird hier verzichtet.<br />
n<br />
02.07.02, Seite 47
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
1.4 Transzendente <strong><strong>Funktion</strong>en</strong><br />
<strong><strong>Funktion</strong>en</strong>, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent.<br />
Wichtige transzendente <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> sind:<br />
• Trigonometrische <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> (Winkel- bzw. Kreisfunktionen)<br />
• Zyklometrische <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> (Arcusfunktionen)<br />
• Exponentialfunktionen<br />
• Logarithmusfunktionen<br />
• Hyperbelfunktionen<br />
• Area-<strong><strong>Funktion</strong>en</strong><br />
Die <strong>Funktion</strong>swerte dieser transzendenten <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> lassen sich durch unendliche<br />
Reihen bestimmen (Mathematik II)<br />
1.4.1 Trigonometrische <strong><strong>Funktion</strong>en</strong>:<br />
Das wohl bekannteste Maß zur Angabe <strong>der</strong> Größe eines Winkels ist das Grad<br />
(Zeichen: °), wobei <strong>der</strong> Vollkreis 360° besitzt. Ein Grad wird in 60 Minuten zu je 60<br />
Sekunden o<strong>der</strong> dezimal unterteilt. Winkel werden gemessen durch mathematisch<br />
positive Drehung (d.h.: entgegen dem Uhrzeigersinn).<br />
Also ergeben sich in dem üblichen rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem<br />
(positive x-Achse nach rechts, positive y-Achse nach oben zeigend) z.B. folgende<br />
Werte:<br />
• Winkel zwischen positiver x- und y-Achse: 90°<br />
• Winkel zwischen positiver und negativer x-Achse: 180°<br />
• Winkel zwischen positiver x- und negativer y-Achse: 270°<br />
• Winkel zwischen positiver x-Achse und positiver x-Achse: 360° bzw. 0°<br />
• Winkel zwischen positiver x-Achse und Graph <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> y = x (x ≥ 0): 45°<br />
• Winkel zwischen positiver x-Achse und Graph <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> y = x (x ≤ 0): 225°<br />
Insbeson<strong>der</strong>e gilt für Winkel mit mehr als 360°, daß sie gleich dem Winkel von <strong>der</strong><br />
Gradzahl sind, die als Rest bei ganzzahliger Division durch 360 übrigbleibt:<br />
Beispiel:<br />
Winkel von 930° = Winkel von (930 mod 360)° = Winkel von 210°<br />
(denn: 930<br />
360 = 2 Rest 210)<br />
Üblicher als das Winkelmaß in Grad ist in <strong>der</strong> höheren Mathematik allerdings die<br />
02.07.02, Seite 48
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
Winkelmessung in Bogenmaß:<br />
Bekanntlich beträgt <strong>der</strong> Umfang eines Kreises mit Radius r (r > 0): 2πr (mit <strong>der</strong><br />
irrationalen Zahl π ≈ 3,141592653589). Der Umfang des Kreises ist also linear abhängig<br />
von r. Das Verhältnis <strong>der</strong> Länge b⋅2πr (0 ≤ b ≤ 1) eines beliebigen Kreisbogens zum<br />
Radius r des Kreises ist demnach unabhängig von r und ist deshalb als Basis für ein<br />
b ⋅2π r<br />
Winkelmaß sehr geeignet:<br />
= b 2π.<br />
r<br />
Somit ist es naheliegend, das Verhältnis von Kreisbogen zum Radius des Kreises<br />
2πb (0 ≤ b ≤ 1) als Winkelmaß zu definieren. Diese Maßzahl heißt Bogenmaß des<br />
entsprechenden Winkels (Einheit Radiant, Abkürzung rad, wird aber oft weggelassen).<br />
Damit ergeben sich folgende Beziehungen zwischen Grad und Bogenmaß:<br />
360° = 2π 180° = π 90° = π<br />
2<br />
270° = 3<br />
π<br />
2<br />
45°<br />
1<br />
= π<br />
4<br />
1°<br />
1<br />
=<br />
180 π<br />
Im folgenden wird in erster Linie mit Bogenmaß gerechnet.<br />
Anhand <strong>der</strong> folgenden Darstellungen lassen sich die vier trigonometrischen<br />
<strong><strong>Funktion</strong>en</strong> (bzw. Kreis- o<strong>der</strong> Winkelfunktionen) anschaulich erklären:<br />
v<br />
0<br />
v<br />
p<br />
I. Quadrant<br />
x<br />
u<br />
r<br />
u<br />
r<br />
v<br />
p<br />
v<br />
0<br />
u<br />
x<br />
p<br />
v<br />
II. Quadrant<br />
III. Quadrant<br />
IV. Quadrant<br />
Definition <strong>der</strong> trigonometrischen <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> anhand <strong>der</strong> obigen Zeichnungen:<br />
• y = sin x := v<br />
r<br />
• y = cos x := u<br />
r<br />
• y = tan x := v<br />
u<br />
Gegenkathete<br />
Hypotenuse<br />
Ankathete<br />
Hypotenuse<br />
Gegenkathete<br />
Ankathete<br />
x v<br />
0<br />
u<br />
r<br />
r<br />
u<br />
p<br />
v<br />
x<br />
0<br />
v<br />
u<br />
(Sinus-<strong>Funktion</strong>)<br />
(Cosinus-<strong>Funktion</strong>)<br />
(Tangens-<strong>Funktion</strong>)<br />
02.07.02, Seite 49
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
• y = cot x := u<br />
v<br />
Ankathete<br />
Gegenkathete<br />
(Cotangens-<strong>Funktion</strong>)<br />
"Eselsbrücke" zum Merken <strong>der</strong> <strong><strong>Funktion</strong>en</strong>: GAGA<br />
HHAG :<br />
Die jeweils übereinan<strong>der</strong> stehenden Buchstaben ergeben von links nach rechts den<br />
Anfangsbuchstaben <strong>der</strong> Definition von sin, cos, tan , cot im rechtwinkligen Dreieck.<br />
Wichtige Eigenschaften:<br />
a) Die <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> sin und cos sind auf ganz ⎟R definiert und stetig.<br />
b) Die <strong>Funktion</strong> tan ist definiert auf ⎟R \ { x | es gibt ein k ∈ ⎟Ζ: x = (2k+1) π<br />
2 }<br />
(ist also nicht definiert für die ungeraden Vielfachen von π<br />
2 ).<br />
An diesen Stellen ist tan also auch nicht stetig. Die <strong>Funktion</strong> tan besitzt in ihren<br />
Unstetigkeitsstellen jeweils einen Pol.<br />
c) Die <strong>Funktion</strong> cot ist definiert auf ⎟R \ { x | es gibt ein k ∈ ⎟Ζ: x = kπ }<br />
(ist also nicht definiert für die Vielfachen von p).<br />
An diesen Stellen ist cot also auch nicht stetig. Die <strong>Funktion</strong> cot besitzt in ihren<br />
Unstetigkeitsstellen jeweils einen Pol.<br />
d) Die <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> sin und cos sind beschränkt und nehmen nur Werte aus dem Intervall<br />
[-1,1] an. Die <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> tan und cot sind unbeschränkt.<br />
e) Die trigonometrischen <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> nehmen auf [0,2π] folgende Werte/Vorzeichen an:<br />
Quadrant I II<br />
x =0 ∈(0, π<br />
2<br />
) = π<br />
2<br />
π ∈( 2 ,π)<br />
sin x =0 >0 =1 >0<br />
cos x =1 >0 =0 0 +/−∞ 0 =0
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
cot (x + kπ) = cot x (primitive Periode π)<br />
g) graphische Darstellung:<br />
1,00<br />
0,50<br />
0,00<br />
0,00 1,57 3,14 4,71 6,28<br />
-0,50<br />
-1,00<br />
5,00<br />
3,00<br />
1,00<br />
-3,00<br />
-5,00<br />
sin cos<br />
-1,00<br />
0,00 1,57 3,14 4,71 6,28<br />
tan cot tan cot tan<br />
a) Es gilt:<br />
sin (-x) = -sin x (ungerade <strong>Funktion</strong>)<br />
cos (-x) = cos x (gerade <strong>Funktion</strong>)<br />
tan (-x) = -tan x (ungerade <strong>Funktion</strong>)<br />
cot (-x) = -cot x (ungerade <strong>Funktion</strong>)<br />
b) Zwischen <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong>swerten <strong>der</strong> verschiedenen trigonometrischen <strong><strong>Funktion</strong>en</strong><br />
bestehen folgende Zusammenhänge:<br />
• Aus <strong>der</strong> Definition von sin x = v r und cos x = u r und dem Satz von Pythagoras über<br />
die Seitenlängen rechtwinkliger Dreiecke (u 2 + v 2 = r 2 ) folgt:<br />
sin 2 x + cos 2 x = 1<br />
• Aus <strong>der</strong> Definition von tan x = v u und cot x = u v folgt sofort<br />
tan x = 1<br />
cot x<br />
und durch Erweitern des Bruches mit 1<br />
r : tan x = sin x<br />
cos x<br />
cot x = cos x<br />
sin x<br />
02.07.02, Seite 51
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
• Sehr häufig werden die sogenannten Additionstheoreme genutzt:<br />
sin (x + y) = sin x ⋅ cos y + cos x ⋅ sin y<br />
cos (x + y) = cos x ⋅ cos y - sin x ⋅ sin y<br />
Mit dem folgenden Bild ist dieser Zusammenhang schnell ersichtlich:<br />
0<br />
y<br />
x<br />
sin (x + y) = AE<br />
OE<br />
cos (x + y) = OA<br />
OE<br />
C<br />
E<br />
x<br />
A B<br />
D<br />
90-x<br />
BD + CE BD CE BD OD CE ED<br />
= = + = ⋅ + ⋅<br />
OE OE OE OD OE ED OE<br />
= sin x cos y + cos x sin y<br />
OB − CD OB CD OB OD CD ED<br />
= = − = ⋅ − ⋅<br />
OE OE OE OD OE ED OE<br />
= cos x cos y - sin x sin y<br />
Daraus ergibt sich sofort (weil sin(-x) = -sin(x)):<br />
sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y<br />
cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y<br />
tan (x + y) =<br />
sin( x + y)<br />
cos( x + y)<br />
(nach Kürzen durch cos x cos y).<br />
= sin cos cos sin<br />
x ⋅ y + x ⋅ y<br />
cos x ⋅ cos y − sin x ⋅ sin y<br />
Formeln für doppelte Winkel: sin 2x = 2 sin x cos x<br />
=<br />
tan x + tan y<br />
1−<br />
tan x ⋅ tan y<br />
cos 2x= cos2 x - sin2 x = 1 - 2 sin2 x = 2 cos2 x - 1<br />
tan 2x = 2 tan x<br />
2<br />
1−<br />
tan x<br />
Weitere Formeln für ähnliche Zusammenhänge findet man zuhauf in<br />
02.07.02, Seite 52
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
Formelsammlungen.<br />
Verallgemeinerte Sinus-<strong>Funktion</strong> (harmonische Schwingung): Die <strong>Funktion</strong> sin<br />
spielt eine wichtige Rolle für die Darstellung von harmonischen Schwingungen (z.B. in<br />
<strong>der</strong> Elektrotechnik, Mechanik, Optik, Akustik usw.). Dazu wird die <strong>Funktion</strong><br />
verallgemeinert zur folgenden Form:<br />
y = f(t) := A sin (wt + j)<br />
Üblicherweise wird als Bezeichnung für die Variable t (für Zeit) verwendet. Wie bereits<br />
bekannt bzw. leicht zu sehen ist, bewirken<br />
• A (Amplitude) eine Spiegelung an <strong>der</strong> t-Achse, Dehnung o<strong>der</strong> Stauchung an <strong>der</strong> y-<br />
Achse<br />
• ω eine Spiegelung an <strong>der</strong> y-Achse, Dehnung o<strong>der</strong> Stauchung an <strong>der</strong> t-Achse und<br />
eine Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> primitiven Periode in 2π<br />
| ω|<br />
• ϕ eine Phasenverschiebung in Richtung <strong>der</strong> t-Achse um − ϕ<br />
ω<br />
Bemerkung: Auch cos x ist eine harmonische Schwingung: cos x = sin (x + π 2 )<br />
1.4.2 Zyklometrische <strong><strong>Funktion</strong>en</strong>:<br />
Die Umkehrfunktionen <strong>der</strong> trigonometrischen <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> sind die zyklometrischen<br />
<strong><strong>Funktion</strong>en</strong>:<br />
• arcsin y := sin -1 y = { x | sin x = y } ∩ [− π 2 , π 2 ]<br />
Damit arcsin eine <strong>Funktion</strong> ist, also die Menge auf <strong>der</strong> rechten Seite <strong>der</strong> Gleichung<br />
für ein festes gewähltes y nur aus jeweils einem Element besteht, wird <strong>der</strong><br />
Wertebereich <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> auf [ − π 2 , π 2 ] beschränkt. Dadurch ist mit arcsin: [-1,1] →<br />
[ − π 2 , π 2 ] eine umkehrbare, stetige <strong>Funktion</strong> definiert.<br />
• arccos y := cos -1 y = { x | cos x = y } ∩ [0,π]<br />
Analog zu arcsin wird mit arccos: [-1,1] → [0,π] eine umkehrbare, stetige <strong>Funktion</strong><br />
definiert.<br />
• arctan y := tan -1 y = { x | tan x = y } ∩ ( − π 2 , π 2 )<br />
Damit arctan eine <strong>Funktion</strong> ist, also die Menge auf <strong>der</strong> rechten Seite <strong>der</strong> Gleichung<br />
für ein festes gewähltes y nur aus jeweils einem Element besteht, wird <strong>der</strong><br />
Wertebereich <strong>der</strong> <strong>Funktion</strong> wie bei arcsin auf ( − π 2 , π 2 ) beschränkt.<br />
Dadurch ist mit arctan: ⎟R → (− π 2 , π 2 ) eine umkehrbare, stetige <strong>Funktion</strong> definiert.<br />
• arccot y := cot -1 y = { x | cot x = y } ∩ [0,π]<br />
Analog zu arctan wird mit arccot: ⎟R → (0,π) eine umkehrbare, stetige <strong>Funktion</strong> definiert.<br />
02.07.02, Seite 53
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
Graphische Darstellung <strong>der</strong> zyklometrischen <strong><strong>Funktion</strong>en</strong>:<br />
3,5<br />
3<br />
2,5<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
-0,5 -1 -0,5 0 0,5 1<br />
-1<br />
-1,5<br />
-2<br />
arcsin arccos<br />
3<br />
2,5<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
-0,5-2,5<br />
-1<br />
-1,5<br />
-1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5<br />
arctan arccot<br />
Zwischen <strong>der</strong> Werten <strong>der</strong> zyklometrischen <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> bestehen z. B. folgende<br />
Beziehungen:<br />
• arcsin x + arccos x = π 2<br />
• arctan x + arccot x = π 2<br />
• arccos(-x) = π - arccos x<br />
• arccot (-x) = π - arccot x<br />
Weitere Identitäten sind den gängigen Formelsammlungen zu entnehmen.<br />
1.4.3 Exponentialfunktionen:<br />
Eine <strong>Funktion</strong> <strong>der</strong> Form f(x) = b x , b > 0, b ≠ 1 heißt Exponentialfunktion.<br />
Die bekannteste Exponentialfunktion ist f(x) = e x .<br />
02.07.02, Seite 54
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
Wichtige Eigenschaften einer Exponentialfunktion <strong>der</strong> Form f(x) = b x für b > 1 sind:<br />
Die <strong>Funktion</strong> besitzt den Definitionsbereich ⎟R und den Wertebereich (0,∞)<br />
• Die <strong>Funktion</strong> ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend und<br />
damit umkehrbar (bezogen auf ihren Wertebereich 0,∞)).<br />
• Die <strong>Funktion</strong> konvergiert für x → -∞ gegen 0 und steigt für x → ∞ „sehr schnell“ an.<br />
1.4.4 Logarithmusfunktionen:<br />
Eine <strong>Funktion</strong> <strong>der</strong> Form f(x) = log b x, b > 0, b ≠ 1 heißt Logarithmusfunktion.<br />
Die bekannteste Logarithmusfunktion ist f(x) = ln x.<br />
Wichtige Eigenschaften einer Exponentialfunktion <strong>der</strong> Form f(x) = log b x für b > 1 sind:<br />
• Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion <strong>der</strong> entsprechenden<br />
Exponentialfunktion (also f(x) = b x ).<br />
• Die <strong>Funktion</strong> besitzt den Definitionsbereich (0,∞) und den Wertebereich ⎟R.<br />
• Die <strong>Funktion</strong> ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend und<br />
damit umkehrbar.<br />
• Die <strong>Funktion</strong> fällt für x → 0 „sehr schnell“ gegen -∞ und steigt für x → ∞ „sehr<br />
langsam“ an, konvergiert aber nicht gegen eine reelle Zahl.<br />
1.4.5 Hyperbelfunktionen:<br />
Die Hyperbelfunktionen sind so benannt, weil sie in vielen Punkten Eigenschaften<br />
aufweisen, die sich zur Hyperbel analog verhalten wie entsprechende Eigenschaften<br />
<strong>der</strong> trigonometrischen <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> zum Einheitskreis (Kreis mit Radius 1 um den<br />
Nullpunkt).<br />
Die Hyperbelfunktionen sind definiert:<br />
• y = sinh x := 1 2 (e x - e -x ) (sinus hyperbolicus)<br />
• y = cosh x := 1 2 (e x + e -x ) (cosinus hyperbolicus)<br />
• y = tanh x := sinh x<br />
cosh x<br />
• y = coth x := cosh x<br />
sinh x<br />
Wichtige Eigenschaften:<br />
e<br />
=<br />
e<br />
− e<br />
+ e<br />
e<br />
=<br />
e<br />
−<br />
+ e<br />
−<br />
− e<br />
x −x<br />
x − x<br />
x x<br />
x x<br />
(tangens hyperbolicus)<br />
(cotangens hyperbolicus)<br />
• Die <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> sinh, cosh und tanh besitzen den Definitionsbereich ⎟R und sind auf<br />
dem gesamten Definitionsbereich stetig.<br />
02.07.02, Seite 55
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
• Die <strong>Funktion</strong> coth ist auf ⎟R \ {0} definiert und auf dem gesamten Definitionsbereich<br />
stetig. Im Wert 0 besitzt coth eine senkrechte Asymptote (Pol).<br />
• Die <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> sinh, tanh und coth sind ungerade, cosh ist gerade.<br />
(also genau wie bei den analogen trigonometrischen <strong><strong>Funktion</strong>en</strong>)<br />
• sinh und cosh besitzen für x → ∞ die Asymptote y = 1<br />
2 e x , tanh und coth besitzen für<br />
x → ∞ die Asymptote y = 1.<br />
• Additionstheoreme<br />
(Man beachte die Analogien zu den trigonometrischen <strong><strong>Funktion</strong>en</strong>):<br />
sinh (x + y) = sinh x ⋅ cosh y + cosh x ⋅ sinh y<br />
cosh (x + y) = cosh x ⋅ cosh y + sinh x ⋅ sinh y<br />
tanh x + tanh y<br />
tanh (x + y) =<br />
1+<br />
tanh x ⋅ tanh y<br />
• Zwischen den <strong><strong>Funktion</strong>en</strong> bestehen folgende Zusammenhänge:<br />
cosh x + sinh x = e x<br />
cosh x - sinh x = e -x<br />
cosh 2 x - sinh 2 x = 1<br />
(cosh x ± sinh x) n = cosh (nx) ± sinh (nx) = e ±nx (Moivre'sche Formel)<br />
tanh x ⋅ coth x = 1<br />
Graphische Darstellungen:<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
-2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5<br />
-4<br />
-6<br />
-8<br />
sinh cosh<br />
02.07.02, Seite 56
<strong>FB</strong> <strong>Ingenieurwissenschaften</strong><br />
Bereich Maschinenbau<br />
Mathematik I<br />
Prof. Kortendieck<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-2,5<br />
-1<br />
-1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5<br />
-2<br />
-3<br />
tanh coth coth<br />
Weitere Zusammenhänge sind allen gängigen Formelsammlungen zu entnehmen und<br />
leicht herzuleiten.<br />
1.4.6 Area-<strong><strong>Funktion</strong>en</strong>:<br />
Die Area-<strong><strong>Funktion</strong>en</strong> sind die Umkehrfunktionen <strong>der</strong> Hyperbelfunktionen:<br />
• y = ar sinh x := sinh -1 x = ln (x + x 2<br />
• y = ar cosh x := cosh -1 x = ln (x ± x 2<br />
• y = ar tanh x := tanh -1 x = 1 2 ln 1<br />
• y = ar coth x := coth -1 x = 1 2 ln x<br />
+ x<br />
1 − x<br />
+ 1<br />
x − 1<br />
+ 1 ) x ∈ ⎟R<br />
− 1 ) (x ≥ 1)<br />
(|x| < 1)<br />
(|x| > 1)<br />
Zusammenhänge zwischen den Areafunktionen, Additionstheoreme usw. sind allen<br />
gängigen Formelsammlungen zu entnehmen und leicht herzuleiten.<br />
02.07.02, Seite 57