Aufgabe 9

werden sehen, dass es genau n Wurzeln der Gleichung z n = w gibt. Dazu schreiben wir sowohl z
als auch w in Exponentialer Darstellung:
z z und w w H Hk 1L 2 L mit k 1, 2, 3, ...
Dabei nutzen wir ganz wesentlich die Tatsache, dass in der Exponentialer Darstellung von w das
Argument α = arg HwL
bis auf ein ganzahliges Vielfaches von 2 π eindeutig bestimmt ist. Wir setzen die Eponentiale
Darstellungen von z und w in die Gleichung z n = w ein und erhalten
I z M n
z n n w H Hk 1L 2 L mit k 1, 2, 3, ...
Nun sind zwei komplexe Zahlen genau dann gleich, wenn ihre Beträge und ihre Argumente übereinstimmen.
Gleichsetzen der Beträge liefert:
n
Dabei ist z = w
z n n
= w bzw. z = w
n
die eindeutig festgelegte reelle Zahl mit I w
M n = w .
n
Man kann diese reelle n-te Wurzel w = w 1ên mit dem Taschenrechner oder mit einem
CA-System (Computer-Algebra-System) bestimmen.
Man erkennt so, dass alle Wurzeln von zn = w denselben Betrag w 1ên besitzen. Das bedeutet,
dass die Pfeilspitzen der zugehörigen Zeiger alle auf einem Kreis mit dem Radius w 1ên Gleichsetzen der Argumente liefert:
liegen.
n ⋅ ϕ = α + Hk − 1L 2 π mit k = 1, 2, 3. ..
bzw. ϕ = α
2 π
+ Hk − 1L ⋅ mit k = 1, 2, 3. ...
n n
Setzen wir hier nacheinander k = 1, 2, 3, ... , so erhalten wir die Winkel ϕk = α
2 π
+ Hk − 1L ⋅
n n .
Somit ergeben sich die Lösungen
n
zk = w
I α
n
+Hk−1L⋅ 2 π
n M mit k = 1, 2, 3. .., n, Hn + 1, n + 2, ...L
n
Da alle Lösungen denselben Betrag w besitzen, unterscheiden sie sich lediglich durch ihre
Argumente. Wegen ϕn+1 = α
n + 2 π = ϕ1 + 2 π, ϕn+2 = α
n + 2 π + 2 π = ϕ2 + 2 π ,... wiederholen
sich ab der Hausnummer k = n + 1 die bereits dagewesenen Lösungen. Die zu
n + 1, n + 2, n + 3, ... gehörenden Lösungswinkel unterscheiden sich von bereits dagewesenen
Lösungswinkel nur um ein ganzahliges Vielfaches von 2 π.
Deshalb besitzt die Gleichung
zn = w
genau die n Lösungen:
n
zk = w
I α
n
2 π
+Hk−1L⋅
n M n
= w
α
2 π
Hk−1L⋅
n n
mit k = 1, 2, 3. .., n
Anschaulich konstruieren wir in der komplexen Zahlenebene die Zeiger, die zu diesen n-Lösungen
gehören, wie folgt:
Wir zeichnen zunächst die komplexe Zahl w ein.
n
da alle Lösungszeiger den Betrag w
besitzen, liegen die Spitzen dieser Lösungszeiger auf einem Kreis mit dem Radius r =
zeichnen diesen Kreis in die komplexe Ebene ein.
Dann berechnen wir den Winkel α ê n und
n
w . Wir
tragen unter diesem Winkel ϕ1 = α ê n den 1-ten Lösungszeiger z1 ein, d.h. wir zeichnen mit dem
Argument ϕ1 einen Pfeil, dessen Anfang im Ursprung und dessen Spitze auf dem Kreis mit dem
n
Radius w liegt.
Dann teilen wir den Winkel 2 π in n gleiche Teile ∆ϕ = 2 π ê n.
LM1A2.nb 9
- Den zweiten Lösungszeiger z2, der das Argument ϕ2 = α ê n + 2 π ê n = α ê n + 1 ∆ϕ = ϕ1 + ∆ϕ
besitzt, erhalten wir, indem wir den ersten Lösungszeiger um ∆ϕ linksrum weiterdrehen.
- Den dritten Lösungszeiger z3, der das Argument ϕ3 = α ê n + 2 ⋅ 2 π ê n = α ê n + 2 ∆ϕ = ϕ2 + ∆ϕ