Aufgabe 9

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8 LM1A2.nb 1 2 3 4 0.643501 36.8699° 1 a6) z 4 3 »z» 5 2 3 Im z 4 3 z 4 2 H 3L 2 arccos J 4 N 5 0.643501 36.8699 ° 0.643501 wegen y 3 0 0.643501 z 5 5 Hcos H 0.643501L sin H 0.643501LL 5 HcosH0.643501L sinH0.643501LL 5 b) Falls bei der in kartesischer Dartsellung gegebenen komplexen Zahl z w n nent n klein ist, kann man die Binomische Formel benutzen z Hx yL n n ⁄ k 0 Re Hx yL n der Expo- n k xn k H yL k . Setzt man in der Summe für gleich 1 und fasst dann die die Summanden “ohne ” und die Summan- den “mit ” zusammen, so erhält man die Potenz in kartesischer Darstellung. Während sich in b1L diese Vorgehensweise bei der Potenz n 5 noch praktikabel erweist (probieren Sie es aus und lesen Sie dabei die Binomialkoeffizienten im Pascal’schen Dreieck ab), ist ihre Anwendung in b2L schier unmöglich. Ausweg: Man schreibt in z w n die komplexe Zahl w in Exponentialdarstellung: w w . Dann berech- net man die Potenz z w n I w M n gemäß der Formel I w M n w n n und wandelt dann die so berechnete Exponentialdarstellung der Potenz in die kartesische Darstellung um z w n w n cos n w n sin n . b1) z J 2 ê4 N 5 b2) z H1 iL 14 J1 3 iN 7 2 14 2 J 35 12 N 8192 3 8192 J 2 N 5 5 4 4 2 IcosI 5 4 2 14 2 J3 1 12 N J 2 4 N 14 Vorbemerkung : Lösungen der Gleichung z n w J2 14 2 3 2 þ 3 N 7 6 2 14 M sin I 5 4 J 2 N 14 MM 4 4 4 14 2 7 6 16 384 IcosI þ 3 7 2 7 2 7 M sinI 6 Mit z und vorgegebener fester komplexer Zahl w ∈ betrachten wir die Gleichung w mit n . Jede Lösung dieser Gleichung heißt eine n-te Wurzel von w bzw. eine Wurzel von zn = w. Wir werden sehen, dass es genau n Wurzeln der Gleichung zn = w gibt. Dazu schreiben wir sowohl z als auch w in Exponentialer Darstellung: z n z z und w w H Hk 1L 2 L mit k 1, 2, 3, ... Dabei nutzen wir ganz wesentlich die Tatsache, dass in der Exponentialer Darstellung von w das Argument α = arg HwL bis auf ein ganzahliges Vielfaches von 2 π eindeutig bestimmt ist. Wir setzen die Eponentiale Darstellungen von z und w in die Gleichung z n = w ein und erhalten n n n H Hk 1L 2 L 35 6 6 MM
werden sehen, dass es genau n Wurzeln der Gleichung z n = w gibt. Dazu schreiben wir sowohl z als auch w in Exponentialer Darstellung: z z und w w H Hk 1L 2 L mit k 1, 2, 3, ... Dabei nutzen wir ganz wesentlich die Tatsache, dass in der Exponentialer Darstellung von w das Argument α = arg HwL bis auf ein ganzahliges Vielfaches von 2 π eindeutig bestimmt ist. Wir setzen die Eponentiale Darstellungen von z und w in die Gleichung z n = w ein und erhalten I z M n z n n w H Hk 1L 2 L mit k 1, 2, 3, ... Nun sind zwei komplexe Zahlen genau dann gleich, wenn ihre Beträge und ihre Argumente übereinstimmen. Gleichsetzen der Beträge liefert: n Dabei ist z = w z n n = w bzw. z = w n die eindeutig festgelegte reelle Zahl mit I w M n = w . n Man kann diese reelle n-te Wurzel w = w 1ên mit dem Taschenrechner oder mit einem CA-System (Computer-Algebra-System) bestimmen. Man erkennt so, dass alle Wurzeln von zn = w denselben Betrag w 1ên besitzen. Das bedeutet, dass die Pfeilspitzen der zugehörigen Zeiger alle auf einem Kreis mit dem Radius w 1ên Gleichsetzen der Argumente liefert: liegen. n ⋅ ϕ = α + Hk − 1L 2 π mit k = 1, 2, 3. .. bzw. ϕ = α 2 π + Hk − 1L ⋅ mit k = 1, 2, 3. ... n n Setzen wir hier nacheinander k = 1, 2, 3, ... , so erhalten wir die Winkel ϕk = α 2 π + Hk − 1L ⋅ n n . Somit ergeben sich die Lösungen n zk = w I α n +Hk−1L⋅ 2 π n M mit k = 1, 2, 3. .., n, Hn + 1, n + 2, ...L n Da alle Lösungen denselben Betrag w besitzen, unterscheiden sie sich lediglich durch ihre Argumente. Wegen ϕn+1 = α n + 2 π = ϕ1 + 2 π, ϕn+2 = α n + 2 π + 2 π = ϕ2 + 2 π ,... wiederholen sich ab der Hausnummer k = n + 1 die bereits dagewesenen Lösungen. Die zu n + 1, n + 2, n + 3, ... gehörenden Lösungswinkel unterscheiden sich von bereits dagewesenen Lösungswinkel nur um ein ganzahliges Vielfaches von 2 π. Deshalb besitzt die Gleichung zn = w genau die n Lösungen: n zk = w I α n 2 π +Hk−1L⋅ n M n = w α 2 π Hk−1L⋅ n n mit k = 1, 2, 3. .., n Anschaulich konstruieren wir in der komplexen Zahlenebene die Zeiger, die zu diesen n-Lösungen gehören, wie folgt: Wir zeichnen zunächst die komplexe Zahl w ein. n da alle Lösungszeiger den Betrag w besitzen, liegen die Spitzen dieser Lösungszeiger auf einem Kreis mit dem Radius r = zeichnen diesen Kreis in die komplexe Ebene ein. Dann berechnen wir den Winkel α ê n und n w . Wir tragen unter diesem Winkel ϕ1 = α ê n den 1-ten Lösungszeiger z1 ein, d.h. wir zeichnen mit dem Argument ϕ1 einen Pfeil, dessen Anfang im Ursprung und dessen Spitze auf dem Kreis mit dem n Radius w liegt. Dann teilen wir den Winkel 2 π in n gleiche Teile ∆ϕ = 2 π ê n. LM1A2.nb 9 - Den zweiten Lösungszeiger z2, der das Argument ϕ2 = α ê n + 2 π ê n = α ê n + 1 ∆ϕ = ϕ1 + ∆ϕ besitzt, erhalten wir, indem wir den ersten Lösungszeiger um ∆ϕ linksrum weiterdrehen. - Den dritten Lösungszeiger z3, der das Argument ϕ3 = α ê n + 2 ⋅ 2 π ê n = α ê n + 2 ∆ϕ = ϕ2 + ∆ϕ
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Seite 7: ) b1) Polardarstellung bzw. Exponen
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