Aufgabe 9

6 LM1A2.nb
Es gilt z 0 z z x 2
y
y 2
0 . Hieraus folgt
z z J x
z
N
z
z Hcos sin L z cos z sin x y
• Falls z in Polardarstellung bzw. in Exponentialdarstellung vorliegt, also |z| und bekannt ist, so
erhält man durch Einsetzen dieser beiden Größen (letztes Gleichheitszeichen) den Realteil
x z cos und den Imaginärteil y z sin , also die kartesische Darstellung z x y
• Falls andereseits z in kartesischer Darstellung vorliegt, also x und y bekannt ist, so erhält man
z gemäß z x 2
y 2 .
Für das unbekannte Argument ergeben sich die beiden folgenden Bestimmungsgleichungen
(zweites Gleichheitszeichen).
x x
y y
cos
und sin
z
z
x 2 y 2
Das Argument ist durch diese beiden Gleichungen bis auf Addition ganzzahliger Vielfache von
2 eindeutig bestimmt:
z liefert dieselbe komplexe Zahl wie z
Praktisch kann man wie folgt bestimmen:
x 2 y 2
k 2 mit k
Man berechnet mit dem Taschenrechner mit der ersten Gleichung arccos
dann die beiden Lösungen und möglich (Basislösungen, vgl. Aufgabe 9).
Anschaulich ist klar:
falls y 0
falls y 0
x
x 2 y 2
. Für sind
a) Der Vorteil der komplexen Zahlen in der kartesichen Darstellung liegt darin, dass man mit den
Zahlen der Form z x i y nach denselben formalen Regeln addieren und multiplizieren kann
wie man es von den reellen Zahlen her gewohnt ist, wenn man nur jeweils 2 = −1 beachtet.
a1)
z3 4 4
4
z2 1 3
2
4 2 2 4
a1) z 1 z 2 H3 2 L H 1 3 L 3 2 1 3 H3 1L H 2 3 L 2
a2) z 2 z 1 1 3 H3 2 L 4 5
a3) z 1 z 2 H3 2 L H 1 3 L 3 H 1L 3 3 H 2 L H 1L H 2 L 3 3 9 2 6 2
2
4
Im
z1 3 2
Re
1
3 11
a4) Beseitigung der komplexen Zahl z 2 im Nenner des Bruches: Multiplikation des Bruches mit der
zu z 2 1 3 konjugiert komplexen Zahl z 3 1 3 . Im neuen Nenner steht dann der Betrag
von z 2 zum Quadrat, also z 2 2 :
z 1
z 2
3 2
1 3
H3 2 L H 1 3 L
H 1 3 L H 1 3 L
3 9 2 6 2
H 1L 2 H3L 2
b)
b1) Polardarstellung bzw. Exponentialdarstellung von z z 1 z 2 2
z 2 2 1 2
5 arccosJ 2
5
9 7
10
9
10
7
10
N 0.463648 0.463648 , da y 1 0
( 62.565 °L
z 5 HcosH0.463648L sinH0.463648LL 5
0.463648
b2) Polardarstellung bzw. Exponentialdarstellung von z3 4 4
Lösung: z 3 4 2 (cos(−
3 π
4
3 π
)+ sin(− )) 4 2
4
3
4