Aufgabe 9

Argument arg HzL von z z HcosH L sinH LL z : Winkel den der Zeiger von z mit der
positiven Realteil-Achse einschliesst. Dabei hat der Winkel postives Vorzeichen, falls man beim
Drehen der positiven Realteil-Achse in die Richtung des Zeigers von z “links-rum” (im mathematisch
positivem Sinne oder gegen den Uhrzeiger) drehen muss, ansonsten negatives Vorzeichen
(Drehung im Uhrzeigersinn)
Realteil ReHzL von z x y : ReHzL x
Imaginärteil ImHzL von z x y : ImHzL y Achtung: Im HzL y ist eine reelle Zahl
konjugiert komplexe Zahl z z zu z x y : z z x y
Anschauliche Interpretation der Addition zweier komplexer Zahlen als Vektoraddition
(Zeigeraddition)
Wir wählen die Kartesische Darstellung der beiden komplexen Zahlen
z 1 ReHz 1L ImHz 1L und z 2 ReHz 2L ImHz 2L
z1 z2 ReHz1 z2L ImHz1 z2L
HReHz1L ReHz2LL HImHz1L ImHz2LL
Im
ImHz1 z2L
Re Hz1 z2L Re Hz1L Re Hz2L
Im Hz1 z2L Im Hz1L Im Hz2L
ReHz1 z2L
z1
ReHz1L
z1 z2
z2
ReHz2L
ImHz2L ImHz1L Anschauliche Interpretation der Multiplikation zweier komplexer Zahlen
Wir wählen jetzt die Polardarstellung bzw. die Exponentialdarstellung der komplexen Zahlen
z 1 z 1 HcosH 1L sinH 1LL z 1
z z 1 z 2 z 1
1 z2
2 z 1 z 2
Re
1 und z2 z 2 HcosH 2L sinH 2LL z 2
1 2 z 1 z 2
H 1 2L
Die komplexe Zahl z 1 z 2 z hat also den Betrag z 1 z 2 z z 1 z 2 und
z1z2
»z1z2» »z1»»z2»
das Argument argHz 1 z 2L 1 2
Im
Merkregel:
Zwei komplexe Zahlen werden addiert indem man ihre Realteile addiert und ihre Imaginärteile
addiert
Zwei komplexe Zahlen werden multiplizeirt indem man ihre Beträge miteinander multipliziert und
ihre Argumente addiert.
Es gilt z 0 z z x 2
y
y 2
1
z2
z1
1
1 2
0 . Hieraus folgt
z z J x
z
N
z
z Hcos sin L z cos z sin x y
• Falls z in Polardarstellung bzw. in Exponentialdarstellung vorliegt, also |z| und bekannt ist, so
erhält man durch Einsetzen dieser beiden Größen (letztes Gleichheitszeichen) den Realteil
x z cos und den Imaginärteil y z sin , also die kartesische Darstellung z x y
• Falls andereseits z in kartesischer Darstellung vorliegt, also x und y bekannt ist, so erhält man
z gemäß z x 2
y 2 .
Für das unbekannte Argument ergeben sich die beiden folgenden Bestimmungsgleichungen
(zweites Gleichheitszeichen).
x y y
2
Re
2
LM1A2.nb 5