Aufgabe 9

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4 LM1A2.nb Basislösungen: x 21 ê6 und x 22 x 1 L 21 8 ê6 2 k k < L 22 9 5 6 5 6 2 k k = L 2 L 21 ‹ L 22 L L 1 ‹ L 2 9 x Ix ê2 2 k Ó x ê2 2 k Ó x ê6 2 k Í x c) sinHx 2 L sinHxL cosH2 L cosHx 2 L cosHxL cosH2 L tanHx L <strong>Aufgabe</strong> 11 cos x, sin 2 x 1.0 0.5 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 0.5 1.0 cos x, 1 2 sin x 3 2 1 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 1 sinHx L cosHx L 1 1 1 sinHxL cos H L cosHxL cos H L cosHxL sinH2 L 1 0 sinHxL sinH2 L 0 0 cosHxL sin HxL sinHxL sin H L 0 sinHxL cosHxL sinHxL cosHxL tanHxL x x 5 6 2 k MÔ k = Gegeben sind die komplexen Zahlen z 1 3 2 i , z 2 1 3 i und z 3 2 2 i a) Skizzieren Sie z 1, z 2 und z 3 in der Gauss’schen Zahlenebene und geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung an : a1) z1 z2 a2) z2 z1 a3) z1 z2 a4) z1 z2 b) Geben Sie z3 und z1 z2 auch in Polardarstellung bzw. Exponentialdarstellung an. Vorbemerkung : kartesische Darstellung z x y Polardarstellung z HcosH L sinH LL z x iy »z»HcosH L i sinH LL Re HzL x »z» cosH L Betrag z von z x y : z : x 2 »z» Im cosH L sinH L Im HzL y »z» sinH L Re Exponentialdarstellung y 2 Länge des Zeigers von z Argument arg HzL von z z HcosH L sinH LL z : Winkel den der Zeiger von z mit der positiven Realteil-Achse einschliesst. Dabei hat der Winkel postives Vorzeichen, falls man beim Drehen der positiven Realteil-Achse in die Richtung des Zeigers von z “links-rum” (im mathematisch positivem Sinne oder gegen den Uhrzeiger) drehen muss, ansonsten negatives Vorzeichen (Drehung im Uhrzeigersinn) Realteil ReHzL von z x y : ReHzL x Imaginärteil ImHzL von z x y : ImHzL y Achtung: Im HzL y ist eine reelle Zahl konjugiert komplexe Zahl z z zu z x y : z z x y z
Argument arg HzL von z z HcosH L sinH LL z : Winkel den der Zeiger von z mit der positiven Realteil-Achse einschliesst. Dabei hat der Winkel postives Vorzeichen, falls man beim Drehen der positiven Realteil-Achse in die Richtung des Zeigers von z “links-rum” (im mathematisch positivem Sinne oder gegen den Uhrzeiger) drehen muss, ansonsten negatives Vorzeichen (Drehung im Uhrzeigersinn) Realteil ReHzL von z x y : ReHzL x Imaginärteil ImHzL von z x y : ImHzL y Achtung: Im HzL y ist eine reelle Zahl konjugiert komplexe Zahl z z zu z x y : z z x y Anschauliche Interpretation der Addition zweier komplexer Zahlen als Vektoraddition (Zeigeraddition) Wir wählen die Kartesische Darstellung der beiden komplexen Zahlen z 1 ReHz 1L ImHz 1L und z 2 ReHz 2L ImHz 2L z1 z2 ReHz1 z2L ImHz1 z2L HReHz1L ReHz2LL HImHz1L ImHz2LL Im ImHz1 z2L Re Hz1 z2L Re Hz1L Re Hz2L Im Hz1 z2L Im Hz1L Im Hz2L ReHz1 z2L z1 ReHz1L z1 z2 z2 ReHz2L ImHz2L ImHz1L Anschauliche Interpretation der Multiplikation zweier komplexer Zahlen Wir wählen jetzt die Polardarstellung bzw. die Exponentialdarstellung der komplexen Zahlen z 1 z 1 HcosH 1L sinH 1LL z 1 z z 1 z 2 z 1 1 z2 2 z 1 z 2 Re 1 und z2 z 2 HcosH 2L sinH 2LL z 2 1 2 z 1 z 2 H 1 2L Die komplexe Zahl z 1 z 2 z hat also den Betrag z 1 z 2 z z 1 z 2 und z1z2 »z1z2» »z1»»z2» das Argument argHz 1 z 2L 1 2 Im Merkregel: Zwei komplexe Zahlen werden addiert indem man ihre Realteile addiert und ihre Imaginärteile addiert Zwei komplexe Zahlen werden multiplizeirt indem man ihre Beträge miteinander multipliziert und ihre Argumente addiert. Es gilt z 0 z z x 2 y y 2 1 z2 z1 1 1 2 0 . Hieraus folgt z z J x z N z z Hcos sin L z cos z sin x y • Falls z in Polardarstellung bzw. in Exponentialdarstellung vorliegt, also |z| und bekannt ist, so erhält man durch Einsetzen dieser beiden Größen (letztes Gleichheitszeichen) den Realteil x z cos und den Imaginärteil y z sin , also die kartesische Darstellung z x y • Falls andereseits z in kartesischer Darstellung vorliegt, also x und y bekannt ist, so erhält man z gemäß z x 2 y 2 . Für das unbekannte Argument ergeben sich die beiden folgenden Bestimmungsgleichungen (zweites Gleichheitszeichen). x y y 2 Re 2 LM1A2.nb 5
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Seite 9 und 10: werden sehen, dass es genau n Wurze
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