Aufgabe 9
Aufgabe 9 Aufgabe 9
2 LM1A2.nb (ein mal ganz rum) . Für r mit - < r < + erhält man zwei Lösungen x1 und x2, die sogenannten Basislösungen (Einheitskreis). Dabei erhält man die Lösung x1 durch einsetzen von r in die Umkehrfunktion der Tangens-Funktion: x1 arctanHrL. Dies ist die Lösung, die der Taschenrechner liefert. Die zweite Lösung x2 erhält man aus x1 gemäß der Gleichung x2 x1 (Einheitskreis). Hier ist die zur Basislösung x1gehörende Lösungsmenge L1 8x1 k k < gleich der zur Basislösung x2 gehörenden Lösungsmenge L 2 8x 2 k k
käl 3 2 x2 x1 2 3 1 L 2 : Ermitteln der beiden Basislösungen: x 1 x2 x1 L21 9 1 4 5 4 k k = L 22 9 Vervollständigen Sie die folgende Grafik: 1 5 4 arctanH 1L 1 4 x2 1 (Taschenrechnerlösung) k k = L 2 L 21 L 22 3 2 2 3 1 Aufgabe 10 a) Zeigen Sie, dass für alle gilt: a1) sin 2 2 sin cos (Hinweis: Additionstheorem für sin) a2) 1 H1 2 cos 2 L cos2 (Hinweis: Additionstheorem für cos) b) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionsteoreme der Sinusfunktion bzw. der Cosinusfunktion, dass die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion die Periode 2 und die Tangensfunktion die Periode besitzt c) Bestimmen Sie die Menge L 8x sin 2 x cos x < (Hinweis: sin H2 xL sin Hx xL , siehe Teil a) dieser Aufgabe) a) a1) sin 2 a2) sinH L sin cos cos sin 2 sin cos cos 2 cosH L cos cos sin sin cos 2 sin 2 also: 1 2 Hcos 2 1L cos 2 cos 2 b) cos x sin 2 x 2 sin x cos x cos x H1 2 sin xL 0 • (erster Faktor wird 0 gesetzt): cos x 0 Basislösungen: x11 ê2 und x12 x1 ê2 L11 8 ê2 2 k k < L12 8 ê2 2 k k < L1 L11 ‹ L12 • (zweiter Faktor wird 0 gesetzt): 1 2 sinx 0 sin x 1ê2 Basislösungen: x 21 ê6 und x 22 x 1 L 21 8 ê6 2 k k < L 22 9 5 6 5 6 2 k k = L 2 L 21 ‹ L 22 L L 1 ‹ L 2 9 x Ix ê2 2 k Ó x ê2 2 k Ó x ê6 2 k Í x cos x, sin 2 x 1.0 0.5 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 0.5 1.0 cos x, 1 2 sin x 3 2 1 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 1 I1 cos 2 x x 5 6 LM1A2.nb 3 M 2 cos 2 1 2 k MÔ k =
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- Seite 11 und 12: Aufgabe 13 a) Es sei z . Besimmen S
käl<br />
3 2 x2<br />
x1<br />
2 3<br />
1<br />
L 2 : Ermitteln der beiden Basislösungen: x 1<br />
x2 x1 L21 9<br />
1<br />
4<br />
5<br />
4<br />
k k = L 22 9<br />
Vervollständigen Sie die folgende Grafik:<br />
1<br />
5<br />
4<br />
arctanH 1L<br />
1<br />
4<br />
x2<br />
1<br />
(Taschenrechnerlösung)<br />
k k = L 2 L 21 L 22<br />
3 2 2 3<br />
1<br />
<strong>Aufgabe</strong> 10<br />
a) Zeigen Sie, dass für alle gilt:<br />
a1) sin 2 2 sin cos (Hinweis: Additionstheorem für sin)<br />
a2) 1<br />
H1<br />
2<br />
cos 2 L cos2 (Hinweis: Additionstheorem für cos)<br />
b) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionsteoreme der Sinusfunktion bzw. der Cosinusfunktion, dass die<br />
Sinusfunktion und die Cosinusfunktion die Periode 2 und die Tangensfunktion die Periode<br />
besitzt<br />
c) Bestimmen Sie die Menge L 8x sin 2 x cos x < (Hinweis: sin H2 xL sin Hx xL , siehe Teil<br />
a) dieser <strong>Aufgabe</strong>)<br />
a)<br />
a1) sin 2<br />
a2)<br />
sinH L sin cos cos sin 2 sin cos<br />
cos 2 cosH L cos cos sin sin cos 2<br />
sin 2<br />
also:<br />
1<br />
2<br />
Hcos 2 1L cos 2<br />
cos 2<br />
b) cos x sin 2 x 2 sin x cos x cos x H1 2 sin xL 0<br />
• (erster Faktor wird 0 gesetzt): cos x 0<br />
Basislösungen: x11 ê2 und x12 x1 ê2<br />
L11 8 ê2 2 k k < L12 8 ê2 2 k k < L1 L11 ‹ L12 • (zweiter Faktor wird 0 gesetzt): 1 2 sinx 0 sin x 1ê2<br />
Basislösungen: x 21 ê6 und x 22 x 1<br />
L 21 8 ê6 2 k k < L 22 9 5<br />
6<br />
5<br />
6<br />
2 k k = L 2 L 21 ‹ L 22<br />
L L 1 ‹ L 2 9 x Ix ê2 2 k Ó x ê2 2 k Ó x ê6 2 k Í x<br />
cos x, sin 2 x<br />
1.0<br />
0.5<br />
6 5 4 3 2 2 3 4 5 6<br />
0.5<br />
1.0<br />
cos x, 1 2 sin x<br />
3<br />
2<br />
1<br />
6 5 4 3 2 2 3 4 5 6<br />
1<br />
I1 cos 2<br />
x<br />
x<br />
5<br />
6<br />
LM1A2.nb 3<br />
M 2 cos 2<br />
1<br />
2 k MÔ k =
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