Aufgabe 9

12 LM1A2.nb
d) z 6
H1 L z 3
0.
Wir substituieren w : z 3 und erhaltem so eine quadratische Gleichung in w : w 2
H1 L w 0.
Da man mit komplexen Zahlen genauso rechnen kann wie mit den reellen Zahlen, wenn man
immer 2
1 beachtet, lösen wir diese komplexe quadratische Gleichung für die komplexe Zahl w
mit der p q - Formel: w 1,2
z 3 w 1 1 1
1
2
1
2
I 1
2 M2
I 1
2 M2
1
2
H L
1
2
1
2
1 2
w1 1 und w2 Wir erhalten die 6 Nullstellen des Polynoms 6. Grades z 6
indem wir
die 3 Wurzeln der Gleichung z 3 w 1 1 und
4
2 4
die 3 Wurzeln der Gleichung z 3 w 2 bestimmen.
n 1 n 3 , w 1 1 , 1 , 1 ên ê3 60 ° ,
3 H ê3 Hk 1L 2 ê3L
zk z1 k 1
z 1
z 2
z3 z 3
z 11
z 12
z 13
w 2
ê3
cos 3
H ê3 2 ê3L
H ê3 4 ê3L
1
ê2
sin 3
cos sin 1
cos 5
3
1
2
sin 5
3
2
3
1
2
2
3
0.5 0.866025
n 2 n 3 , w 2 1 , 2 ê2 , 2 ê3 þê6 30 °,
3 H ê6 Hk 1L 2 ê3L
z3 k z2 k 1
z 4
z 5
z 6
z 21
z 22
z 23
ê6
cos 6
H ê6 2 ê3L
H ê6 4 ê3L
z 5
sin 6
cos 5
6
cos 9
6
w1 1
z 2
5ê6
3ê3
3
2 2
sin 5
6
sin 9
6
1.
w2
2
3
0.866025 0.5
3
2 2
1ê2
1. 1.
1.
Im
z 6
9ê6
z 1
z 3
1ê3
5ê3
120 °
0.5 0.866025
z 4
2
3
120 °
0.866025 0.5
1ê6
Re
1
2
1 2
H1 L z 3
4
2