Aufgabe 9

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

10 LM1A2.nb besitzen, liegen die Spitzen dieser Lösungszeiger auf einem Kreis mit dem Radius r = zeichnen diesen Kreis in die komplexe Ebene ein. Dann berechnen wir den Winkel α ê n und n w . Wir tragen unter diesem Winkel ϕ1 = α ê n den 1-ten Lösungszeiger z1 ein, d.h. wir zeichnen mit dem Argument ϕ1 einen Pfeil, dessen Anfang im Ursprung und dessen Spitze auf dem Kreis mit dem n Radius w liegt. Dann teilen wir den Winkel 2 π in n gleiche Teile ∆ϕ = 2 π ê n. - Den zweiten Lösungszeiger z2, der das Argument ϕ2 = α ê n + 2 π ê n = α ê n + 1 ∆ϕ = ϕ1 + ∆ϕ besitzt, erhalten wir, indem wir den ersten Lösungszeiger um ∆ϕ linksrum weiterdrehen. - Den dritten Lösungszeiger z3, der das Argument ϕ3 = α ê n + 2 ⋅ 2 π ê n = α ê n + 2 ∆ϕ = ϕ2 + ∆ϕ besitzt, erhalten wir, indem wir den zweiten Lösungszeiger um ∆ϕ linksrum weiterdrehen. . . . - Den n-ten Lösungszeiger zn, der das Argument ϕn = α ê n + Hn − 1L ⋅ 2 π ê n = α ê n + Hn − 1L ∆ϕ = ϕn−1 + ∆ϕ besitzt, erhalten wir, indem wir den Hn − 1L-ten Lösungszeiger um ∆ϕ linksrum weiterdrehen. Man erkennt, das es genau n unterschiedliche Lösungszeiger gibt. Dreht man den n-ten Lösungszeiger zn um den Winkel ∆ϕ weiter, so erhält man wieder den ersten Lösungszeiger z1, usw.. In der ersten der beiden folgenden Grafiken sind die 3 Wurzeln der Gleichung z 3 = −2 und in der zweiten die 20 Wurzeln der Gleichung z 20 = −1 dargestellt. z2 argHwL 2 2 ên 2 ê3 3 2 Im z1 1 »w» 2 ên 3 2 1ê3 3 2 z3 ê3 2 Re w 2 i 2 e i 3ê2 »w» e i w 1 e i Ist n und sind a0, a1, a2, ..., an komplexe Zahlen mit an ≠ 0, dann heißt die Funktion pn : → z pnHzL := an z n + an−1 z n−1 + an−2 z n−2 + ... + a1 z 1 + a0 ein Polynom n-ter Ordnung. Die Zahlen a0, a1, a2, ..., an heißen die Koeffizienten des Polynoms. (In der Praxis treten meist Polynome auf, bei denen diese Koeffizienten reelle Zahlen sind. Ein Polynom p0 HzL = a0 vom Grad 0ist dasselbe wie eine Zahl.) Eine komplexe Zahl w heißt Nullstelle des Polynoms, fall pn HwL = 0 gilt. Der Hauptsatz der Algebra besagt, dass jedes Polynom (mit rellen oder komplexen Koeffizienten) vom Grade n ≥ 1 mindestens eine (reelle oder komplexe) Nullstelle besitzt. Mit diesem Hauptsatz zeigt man, dass man das Polynom pn HzLwie folgt darstellen (faktorisieren) kann: pn HzL = Hz − z1L k1 ⋅ Hz − z1L k1 ⋅ ... ⋅ Hz − ziL ki ⋅ ... ⋅ Hz − zmL km Dabei sind k1, k2, ..., kj, ..., km insgesamt m ≤ n natürliche Zahlen, für die k1 + k2 + ... + ki + ... + km = n gilt. ki heißt die Vielfachheit der Nullstelle zi. Die Faktorisierung von pn zeigt also, dass ein Polynom nten Grades genau n Nullstellen besitzt, wenn man jede Nullstelle gemäß ihrer Vielfachheit zählt. Im Re
<strong>Aufgabe</strong> 13 a) Es sei z . Besimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung z 4 16 i 0. Jede Lösung ist in Polardarstellung bzw. Exponentialdarstellung und kartesischer Darstellung anzugeben. Skizzieren Sie sämtliche Lösungen in der Gauss’schen Zahlenebene. b) Es sei z . Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung z 3 8 i 0. Jede Lösung ist in Polardarstellung bzw. Exponentialdarstellung und kartesischer Darstellung anzugeben. Skizzieren Sie sämtliche Lösungen in der Gauss’schen Zahlenebene. c) Es sei z . Besimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung z 4 8 3 8 i 0. Jede Lösung ist in Polardarstellung bzw. Exponentialdarstellung und kartesischer Darstellung anzugeben. Skizzieren Sie sämtliche Lösungen in der Gauss’schen Zahlenebene. d) Es sei z . Besimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung z 6 H1 iL z 3 i 0. Jede Lösung ist in Polardarstellung bzw. Exponentialdarstellung und kartesischer Darstellung anzugeben. Skizzieren Sie sämtliche Lösungen in der Gauss’schen Zahlenebene (Hinweis: Substitution w z 3 M. a) z 4 16 i 0 z 4 16 16 4 4 n 4, w 16 , 16 z3 z2 15 10 5 Im w 16 z4 2 ê4 90° 6 4 2 2 4 6 z k 2 H ê16 Hk 1L ê2L 2 z1 2 z2 2 z3 2 z4 2 H ê8L H ê8 ê2L H5 ê8 ê2L H9 ê8 ê2L b) siehe LM1T4 c) siehe LM1T4 z1 2 , ê2, ên /8 , 2 ên 2 ê4 ê2 1 ê8 Re H ê16 Hk 1L L 2 HcosH ê8L sinH ê8LL 1.84776 0.765367 2 H5 ê8L 2 HcosH5 ê8L sinH5 ê8LL 0.765367 1.84776 2 H9 ê8L 2 HcosH9 ê8L sinH9 ê8LL 1.84776 0.765367 2 H13 ê8L 2 HcosH13 ê8L sinH13 ê8LL 0.765367 1.84776 d) z 6 H1 L z 3 0. Wir substituieren w : z 3 und erhaltem so eine quadratische Gleichung in w : w 2 H1 L w 0. Da man mit komplexen Zahlen genauso rechnen kann wie mit den reellen Zahlen, wenn man immer 2 1 beachtet, lösen wir diese komplexe quadratische Gleichung für die komplexe Zahl w mit der p q - Formel: w 1,2 1 2 1 2 I 1 2 M2 I 1 2 M2 1 2 H L 1 2 1 2 1 2 w1 1 und w2 Wir erhalten die 6 Nullstellen des Polynoms 6. Grades z 6 indem wir 4 2 4 1 2 1 2 H1 L z 3 LM1A2.nb 11 4 2
Seite 1 und 2: W. Dolejsky Mathematik 1 für den F
Seite 3 und 4: käl 3 2 x2 x1 2 3 1 L 2 : Ermittel
Seite 5 und 6: Argument arg HzL von z z HcosH L si
Seite 7 und 8: ) b1) Polardarstellung bzw. Exponen
Seite 9: werden sehen, dass es genau n Wurze

Aufgabe 9

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?