Aufgabe 9

10 LM1A2.nb
besitzen, liegen die Spitzen dieser Lösungszeiger auf einem Kreis mit dem Radius r =
zeichnen diesen Kreis in die komplexe Ebene ein.
Dann berechnen wir den Winkel α ê n und
n
w . Wir
tragen unter diesem Winkel ϕ1 = α ê n den 1-ten Lösungszeiger z1 ein, d.h. wir zeichnen mit dem
Argument ϕ1 einen Pfeil, dessen Anfang im Ursprung und dessen Spitze auf dem Kreis mit dem
n
Radius w liegt.
Dann teilen wir den Winkel 2 π in n gleiche Teile ∆ϕ = 2 π ê n.
- Den zweiten Lösungszeiger z2, der das Argument ϕ2 = α ê n + 2 π ê n = α ê n + 1 ∆ϕ = ϕ1 + ∆ϕ
besitzt, erhalten wir, indem wir den ersten Lösungszeiger um ∆ϕ linksrum weiterdrehen.
- Den dritten Lösungszeiger z3, der das Argument ϕ3 = α ê n + 2 ⋅ 2 π ê n = α ê n + 2 ∆ϕ = ϕ2 + ∆ϕ
besitzt, erhalten wir, indem wir den zweiten Lösungszeiger um ∆ϕ linksrum weiterdrehen.
.
.
.
- Den n-ten Lösungszeiger zn, der das Argument
ϕn = α ê n + Hn − 1L ⋅ 2 π ê n = α ê n + Hn − 1L ∆ϕ = ϕn−1 + ∆ϕ besitzt, erhalten wir, indem wir den
Hn − 1L-ten Lösungszeiger um ∆ϕ linksrum weiterdrehen.
Man erkennt, das es genau n unterschiedliche Lösungszeiger gibt. Dreht man den n-ten
Lösungszeiger zn um den Winkel ∆ϕ weiter, so erhält man wieder den ersten Lösungszeiger z1,
usw..
In der ersten der beiden folgenden Grafiken sind die 3 Wurzeln der Gleichung z 3 = −2 und in der
zweiten die 20 Wurzeln der Gleichung z 20 = −1 dargestellt.
z2
argHwL
2
2 ên 2 ê3
3
2
Im
z1
1
»w» 2
ên
3
2 1ê3
3
2
z3
ê3 2
Re
w 2 i 2 e i 3ê2 »w» e i
w 1 e i
Ist n und sind a0, a1, a2, ..., an komplexe Zahlen mit an ≠ 0, dann heißt die Funktion
pn : →
z pnHzL := an z n + an−1 z n−1 + an−2 z n−2 + ... + a1 z 1 + a0
ein Polynom n-ter Ordnung. Die Zahlen a0, a1, a2, ..., an
heißen die Koeffizienten des Polynoms.
(In der Praxis treten meist Polynome auf, bei denen diese Koeffizienten reelle Zahlen sind. Ein
Polynom p0 HzL = a0 vom Grad 0ist dasselbe wie eine Zahl.)
Eine komplexe Zahl w heißt Nullstelle des Polynoms, fall pn HwL = 0 gilt.
Der Hauptsatz der Algebra besagt, dass jedes Polynom (mit rellen oder komplexen Koeffizienten)
vom Grade n ≥ 1 mindestens eine (reelle oder komplexe) Nullstelle besitzt. Mit diesem Hauptsatz
zeigt man, dass man das Polynom pn HzLwie folgt darstellen (faktorisieren) kann:
pn HzL = Hz − z1L k1 ⋅ Hz − z1L k1 ⋅ ... ⋅ Hz − ziL ki ⋅ ... ⋅ Hz − zmL km
Dabei sind k1, k2, ..., kj, ..., km insgesamt m ≤ n natürliche Zahlen, für die
k1 + k2 + ... + ki + ... + km = n gilt.
ki heißt die Vielfachheit der Nullstelle zi. Die Faktorisierung von pn zeigt also, dass ein Polynom nten
Grades genau n Nullstellen besitzt, wenn man jede Nullstelle gemäß ihrer Vielfachheit zählt.
Im
Re