Lineare Transformationen von R3: Spiegelungen und Drehungen

Lineare Transformationen von R 3 :
Spiegelungen und Drehungen
Waehle ein rechtwinkliges Koordinatensystem
und zugehoerige Basisvektoren
e 1,e 2,e 3 von R 3 . Sei E die Ebene .
Die Spiegelung s E an E ist eine bijektive
lineare Abbildung R 3 R 3 mit
s E (e 1) = e 1
s E (e 2) = e 2
s E (e 3) = -e 3

Produkt von Spiegelungen an
orthogonalen Ebenen
Die Spiegelungen an E = und
F= haben folgende Matrizen bzgl.
der Basis e 1,e 2,e 3:
| 1 0 0 | | 1 0 0 |
M E= | 0 1 0 | M F= | 0 -1 0 |
| 0 0 -1 | | 0 0 1 |

Das Produkt der Spiegelungen wird dann
durch die folgende Matrix beschrieben:
| 1 0 0 |
M EM F = | 0 -1 0 |
| 0 0 -1 |
Also ist das Produkt der zwei Spiegelungen
die 180 Grad Drehung um die Achse .

Die Drehung
• Sei g eine Gerade im R3 die den Ursprung
enthaelt. Die Drehung um g um den
Winkel hat die Matrixdarstellung
• | 1 0 0 |
• | 0 cos -sin |
• | 0 sin cos |
• Dabei ist der erste Koordinatenvektor der
Richtungsvektor von g, die anderen beiden
stehen senkrecht auf g.

• Das Produkt zweier Spiegelungen ist eine
Drehung um den doppelten Winkel
zwischen den beiden Ebenen.
• Seien E1 und E2 zwei Ebenen im R3 die
den Ursprung enthalten. Die beiden
Ebenen schneiden sich in einer Geraden
g. Waehle den ersten Koordinatenvektor
als den Richtungsvektor von g. Der zweite
Koordinatenvektor liege in E2.

• Er sei senkrecht zu g. Der dritte
Koordinatenvektor stehe senkrecht auf
den anderen beiden. Alle drei haben
Laenge 1. Die Spiegelung an E1 hat die
Matrix
• | 1 0 0 |
• | 0 1 0 |
• | 0 0 -1 |

• Die Spiegelung an E2 hat die Matrix
• | 1 0 0 |
• | 0 cos2 sin 2 |
• | 0 sin 2 –cos 2 |
• Dies sieht man an den Bildern der drei
Basisvektoren.
• Das Produkt der beiden Matrizen ergibt
genau die Matrix der Drehung um den
ersten Basisvektor mit Winkel .

Die Scherung
• Die Scherung ist eine lineare Abbildung in
der Ebene, bei der eine Gerade fest bleibt.
Alle Punkte der Ebene behalten ihren
Abstand zu der festen Geraden. Waehlt
man eine Orthogonalbasis die den
Richtungsvektor der Geraden als ersten
Vektor enthaelt, so ist eine Matrix der
Scherung:

• | 1 |
| 0 1 |
• Ist (a,b) t der Richtungsvektor der Geraden
mit Laenge 1, so lautet die Matrix des
Basiswechsels
• | a –b |
| b a |

• Die Matrix der Abbildung lautet dann
• | a –b | | 1 | | a b |
| b a | | 0 1 | | -b a |
• Dies ist
• | 1- ab a 2 |
| - b 2 1+ ab |
Dabei haben wir a 2 + b 2 =1 verwendet.

Die Spiegelung
• Die Spiegelung erhaelt eine Gerade, die
Spiegelachse, und alle Abstaende und
Winkel. Die Orientierung kehrt sich aber
um. Enthaelt eine Orthogonalbasis einen
Richtungsvektor der Spiegelachse, so
lautet die Matrix der Spiegelung
• |1 0|
|0 -1|

• Ist (a,b) t der Richtungsvektor der
Spiegelgeraden mit Laenge 1, so lautet die
Matrix des Basiswechsels
• | a –b |
| b a |

• Die Matrix der Spiegelung lautet dann
• | a –b | | 1 0 | | a b |
| b a | | 0 -1 | | -b a |
• Dies ist
• | a 2 - b 2 2ab |
| 2ab b 2 - a 2 |

Die Regel von Sarrus
• | a 11 a 12 a 13 | a 11 a 12 a 13 a 11 a 12
• | |
• | a 21 a 22 a 23 | = a 21 a 22 a 23 a 21 a 22
• | |
• | a 31 a 32 a 33 | a 31 a 32 a 33 a 31 a 32
•
• = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 -
• - a 13 a 22 a 31 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33 .

Die Determinante als Flaechenmass
• Seien a, b Vektoren in R 2 . Sei [a, b] die
Matrix mit Spaltenvektoren a, b. Dann ist
die Flaeche des von a, b aufgespannten
Parallelogramms gleich dem Absolutbetrag
der Determinante |a, b|.
• Beweis: Durch eine Drehung koennen wir
annehmen a=(a 1 ,0) t . Man beachte, dass
die Matrix D der Drehung Determinante 1
hat, also |Da,Db|=|D[a,b]|=|D|*|a,b|=|a,b|.

• Dann |a, b|=a 1 *b 2 . Der Absolutbetrag von
b 2 ist die Hoehe des Parallelogramms. Also
Flaeche = Grundlinie*Hoehe =
Absolutbetrag von a 1 *b 2 .
• Bemerkung: Da die Determinante positiv
oder negativ sein kann, liegt es nahe, auch
fuer die Flaeche ein Vorzeichen
einzufuehren. Dies fuehrt zum Begriff der
orientierten Flaeche. Dieser Begriff der
Orientierung uebertraegt sich auf R n fuer
alle n.

Orientierung einer Basis von R 1

Orientierung einer Basis von R 2
• Eine Basis (a, b) von R 2 heisst positiv
orientiert, falls der gegen den Uhrzeigersinn
genommene Winkel von a nach b kleiner
als 180 Grad ist.
• Satz: Eine Basis (a, b) von R 2 ist genau
dann positiv orientiert, wenn die
Determinante der Matrix mit Spalten a, b
positiv ist.

• a b
a b

• Drehungen von R 2 sind
orientierungserhaltende Abbildungen:
• | cos t -sin t |
• | | = 1
• | sin t cos t |
• Spiegelungen sind orientierungsumkehrend
• | 1 0 |
• | | = -1
• | 0 -1 |

Die Determinante als Flaechenmass
• Die Determinante einer reellen 2×2 Matrix
ist die orientierte Flaeche des von den
Spaltenvektoren aufgespannten
Parallelogramms. Dabei ist das Vorzeichen
+, falls die zwei Vektoren positiv orientiert
sind.
• Die Axiome DET1 bis DET3 fuer die
orientierte Flaeche sind leicht
nachzupruefen.

Orientierung einer Basis von R 3
• Sei (a, b, c) eine Basis von R 3 . Wir
definieren die Orientierung dieser Basis wie
folgt als positiv oder negativ:
• Sei S 2 die Oberflaeche der Einheitskugel
um 0. Seien A, B, C die Schnittpunkte der
Strahlen R + a, R + b , R + c mit S 2 .
• Sei G der Grosskreis auf S 2 durch A, B
(d.h. der Schnitt von S 2 mit der von a, b
aufgespannten Ebene).

• Da a, b, c linear unabhaengig sind, liegt C
nicht auf G. Ferner sind A und B nicht
diametral entgegengesetzte Punkte, also
gibt es einen eindeutig bestimmten
kuerzesten Weg von A nach B auf G.
• Durchlaeuft man G in der Richtung dieses
Weges, so liegt C auf der linken oder
rechten Seite. (Wie bei der Bundesbahn: In
Fahrtrichtung links bzw. rechts aussteigen.)
Entsprechend sagen wir die Basis (a, b, c)
ist positiv, bzw. negativ orientiert.

Orientierung in R 3 und das Prinzip
des Korkenziehers
• Die folgenden Phaenomene haengen in
enger Weise zusammen:
• 1. Eine Basis von R 3 ist entweder positiv
oder negativ orientiert.
• 2. Ein Schraubgewinde ist entweder rechtsoder
linksdrehend.
• 3. Ein Korkenzieher ist entweder rechtsoder
linksdrehend.

Determinante und Orientierung
• Satz: Eine Basis von R3 ist genau dann
positiv orientiert, wenn die Matrix mit diesen
Spaltenvektoren positive Determinante hat.

Determinante als Volumenmass
• Die Determinante einer reellen 3×3 Matrix
ist das orientierte Volumen des von den
Spaltenvektoren aufgespannten
Parallelepipeds. Dabei ist das Vorzeichen
+, falls die drei Vektoren positiv orientiert
sind.
• Im folgenden sollen die Axiome DET1 bis
DET3 fuer das orientierte Volumen gezeigt
werden.

Volumen im R 3
• Multipliziert man einen der Vektoren mit
einem Skalar, so aendert sich das
orientierte Volumen genau um diesen
Faktor.
• Fasst man das Parallelogramm das von a
und b gegeben wird als Grundflaeche auf,
so ist das Volumen proportional zur Hoehe.
Addiert man nun zwei Vektoren c und c', so
addieren sich die zugehoerigen Hoehen
und damit die Volumina. Dies zeigt DET1.

• Fallen zwei der Vektoren zusammen, so
hat das Parallelepiped Hoehe 0 und damit
Volumen 0. Dies zeigt DET2.
• Ist die Matrix die Einheitsmatrix, so ist das
Parallelepiped der Einheitswuerfel mit
Volumen gleich 1. Dies zeigt DET3.

Die Determinante einer linearen
Transformation von R n
• Seien v 1 ,...,v n Vektoren in R n . Wir
definieren das orientierte Volumen des von
v 1 ,...,v n aufgespannten n-Spats als die
Determinante | v 1 ,...,v n |.
• Sei T eine reelle n×n Matrix. Die
zugeordnete lineare Transformation von R n
bildet v 1 ,...,v n auf Tv 1 ,...,Tv n ab. Wegen
|Tv 1 ,...,Tv n | = |T| * |v 1 ,...,v n | folgt:
• Eine lineare Transformation T von R n
aendert das orientierte Volumen um den
Faktor det(T).

Beispiel: Die Flaeche der Ellipse
• Sei T die Matrix diag(r,s). Die zugeordnete
Transformation von R 2 bildet den Punkt mit
Koordinaten (x,y) auf den Punkt mit
Koordinaten (x',y') ab, wobei
x' = rx ,
y' = sy
• Also ist das Bild des Einheitskreises
x 2 + y 2 = 1 die Ellipse
(x' / r) 2 + (y' / s) 2 = 1

• Bei dieser Abbildung wird die Flaeche um
den Faktor det(T)=rs verzerrt. Also ist die
Flaeche der Ellipse: rs .
• Bemerkung: Es gibt keine aehnlich
einfache Formel fuer die Veraenderung der
Laenge einer Kurve unter einer linearen
Transformation von R 2 . Die Berechnung
des Umfangs einer Ellipse fuehrt auf die
schwierige Theorie der elliptischen
Integrale.

• Literatur zur linearen Algebra:
• Bosch, Siegfried Lineare Algebra 2. Aufl.
Springer 2003
• Fischer, Gerd Lineare Algebra 14. Aufl.
Vieweg 2003
• Grauert, Hans Lineare Algebra und
analytische Geometrie 1999
• Jaenich, Klaus Lineare Algebra 10. Aufl.
Springer 2004
• Kowalsky, Michler Lineare Algebra 11.
Auflage de Gruyter 1998
• Stroth, Gernot Lineare Algebra
Heldermann 1995

Literatur zur linearen Algebra
• Bosch, Siegfried Lineare Algebra 2. Aufl. Springer 2003
• Fischer, Gerd Lineare Algebra 14. Aufl. Vieweg 2003
• Grauert, Hans Lineare Algebra und analytische
Geometrie 1999
• Jaenich, Klaus Lineare Algebra 10. Aufl. Springer 2004
• Kowalsky, Michler Lineare Algebra 11. Auflage de
Gruyter 1998
• Stroth, Gernot Lineare Algebra Heldermann 1995

Literatur zur numerischen linearen
Algebra
Gentle, James Numerical linear algebra for
applications in statistics / James E. Gentle.
Springer, c1998.
• Numerical linear algebra is one of the most
important subjects in the field of statistical
computing. Statistical methods in many areas of
application require computations with vectors
and matrices. This book describes accurate and
efficient computer algorithms for

• factoring matrices, solving linear systems
of equations, and extracting eigenvalues
and eigenvectors. Although the book is not
tied to any particular software system, it
describes and gives examples of the use
of modern computer software for
numerical linear algebra.".
• Dongarra, Jack Numerical linear algebra
for high-performance computers
Philadelphia : Society for Industrial and
Applied Mathematics, c1998.

Literatur zur projektiven Geometrie
• Baer, Reinhold linear algebra and
projective geometry Acad. Press 1966
• Coxeter, projective geometry, Springer
1987
• Pickert, Guenther Analytische Geometrie,
Geest & Portig 1976

Literatur zu Maple
• Heck, Andre Introduction to Maple 3rd ed.
Springer 2003
• Kofler, Michael, Maple 5. Aufl. Addison
Wesley 2002
• Westermann, Thomas Mathematische
Probleme loesen mit MAPLE Springer
2003