Kostenfunktionen, Durchschnittskosten, Grenzkosten Herleitung der ...

Kostenfunktionen, Durchschnittskosten, Grenzkosten
Herleitung der Kostenfunktionen:
Kosten zunächst als Faktorpreise w1,w2 gegeben
K = w1x1 + w2x2
Ziel: Kosten als Funktion der Outputmenge y darstellen
K (y)
kurzfristig:
Fixkosten: für fixe Produktionsfaktoren ¯x2 : w2¯x2 =
F
variable Kosten: w1x1
Gesamtkosten: K = w1x1 + F

Möchte Outputmenge ¯y produzieren
¯y = f (x1, ¯x2) = ˜f (x1)
→ x1 = ˜f −1 (¯y)
Kosten für Outputmenge ¯y : K = w1 ˜f −1 (¯y)+F
ist y variabel, erhalten wir die kurzfristige Kostenfunktion
Bsp: y = x 1/2
1 x2
K (y) =w1 ˜f −1 (y)+F
Durchschnittskosten und Grenzkosten
kurzfristige Kostenfunktion: K (y) =VK(y)+F
Durchschnittskosten (Stückkosten) DK : Kosten pro
Outputeinheit K(y)
y

durchschnittliche variable Kosten DVK: VK(y)
y
durchschnittliche Fixkosten DF: F y
Grenzkosten GK: zusätzliche Kosten für eine weitere
Outputeinheit: K 0 (y) =VK 0 (y)
die Grenzkostenkurve schneidet die Durchschnittskostenkurve
in deren Minimum
Bew:
DK: K(y)
y
im Minimum gilt: DK 0 =0
à K (y)
y
! 0
= K0 (y) y − K (y)
y 2
=0

K 0 (y) y−K (y) =0→ K 0 (y) y = K (y) → K 0 (y) =
Minimum der Durchschnittskosten= Betriebsoptimum
Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten=
Betriebsminimum
langfristig:
keine Fixkosten, alle Produktionsfaktoren sind variabel
Gesamtkosten: K = w1x1 + w2x2
K (y)
Isokostengerade: alle möglichen Kombinationen von
Faktormengen x1 und x2, die zu den gleichen Gesamtkosten
gekauft werden können
x2 = K
w2
− w1
x1
w2
y

Anstieg: Verhältnis der Faktorpreise − w1
w2
Interpretation: Subtitutionsverhältnis der Inputfaktoren
SuchejeneKombinationvonx1 und x2 mit der zu
minimalen Kosten ein bestimmtes Outputniveau ¯y produziert
werden kann: Minimalkostenkombination
2Möglichkeiten:
1. grafisch
2. analytisch
ad (1) Einzeichnen der entsprechenden Isoquante ins
Isokostensystem → Tangentialpunkt der Isoquante an
Isokostengerade ist Punkt mit minimalen Kosten: Anstiege
sind gleich

dx2
dx1
= − w1
w2
GRTS = umgekehrten Verhältnis der Faktorpreise
−
∂y
∂x1
∂y
∂x2
= − w1
w2
⇒
∂y
∂x1
∂y
∂x2
= w1
w2
(1)
(2)
Verhältnis der Grenzprodukte = Verhältnis der Faktorpreise
∂y
∂x1
w1
=
∂y
∂x2
w2
Grenzprodukt pro Kosteneinheit ist bei jedem Faktor
gleich

ad (2) mittels Lagrangeansatz
K = w1x1 + w2x2 → min
s.t. ¯y = f (x1,x2)
liefert bedingte Faktornachfrage (Nachfrage nach Inputfaktoren):
x1 = x1 (w1,w2, ¯y) ,x2 = x2 (w1,w2, ¯y)
L = w1x1 + w2x2 − λ (¯y − f (x1,x2))
notwendige Bed. 1.Ordnung:
∂L
∂x1
= w1 − λ ∂f
∂x1
=0 (3)

aus (3) und (4)
bzw (2) :
∂L
∂x2
= w2 − λ ∂f
∂x2
∂L
∂λ =¯y − f (x1,x2) =0
w1
∂f
∂x1
= λ = w2
∂f
∂x2
∂y
∂x1
∂y
∂x2
= w1
w2
=0 (4)
(5)
Einsetzen in die NB liefert die bedingte Faktornachfrage
Bsp:y = x a 1 x2

K = w1x1 + w2x2 → min
s.t. ¯y = x a 1 x2
L = w1x1 + w2x2 − λ (¯y − x a 1 x2)
x1 =¯y 1/1+a
Ã
a w2
! 1/1+a
w1
,x2 =¯y 1/1+a
Ã
1
a
! a/1+a
w1
w2
Expansionspfad: Gesamtheit aller Minimalkostenkombinationen
1. grafisch: Verbindung der Tangentialpunkte
2. analytisch: x2 = x2 (x1) aus Optimalitätsbed.
Bsp:y = x a 1 x2

Herleitung der langfristigen Kostenfunktion aus dem
Expansionspfad:
Wahl der einer bestimmten Produktionsmenge entsprechenden
Isoquante, Bestimmung der Kosten über die durch
den Tangentialpunkt verlaufende Kostengerade liefert
K (y)