Kurvenerzeugende Sehnen - Didaktik der Mathematik ...

Julius-Maximilians-Universität 

Würzburg 

Erste Staatsprüfung für das Lehramt an Realschulen 2008 

Schriftliche Hausarbeit 

Thema: Kurvenerzeugende Sehnen, 

eine Lernstation und ihre Ziele 

eingereicht von: Markus König Fach: Mathematik 

eingereicht am: 15.02.2008 Dozent: Dr. Jürgen Roth

Inhaltsverzeichnis 

1. Einleitung.……………………………………………………………………………….. 1 

2. Funktionsbegriff im Mathematikunterricht…………..………………………………….. 2 

2.1. Funktion als Leitbegriff…………..…………………………………………………. 2 

2.2. Darstellungen von Funktionen…………………………..………………………….. 3 

3. Funktionales Denken…………………………………………………………………….. 10 

3.1. Aspekte des „Funktionalen Denkens“……………………………………………… 10 

3.2. „Bewegliches Denken“ als Teilaspekt des „Funktionalen Denkens“…………….… 15 

4. Kurvendiskussion………………………………………………………………………... 17 

4.1. Blick in die Praxis………………………………………………………………..…. 17 

4.2. Wege der Öffnung……………………………………………………………….….. 20 

5. Alternativer Zugang zu einer echten Kurvendiskussion………………………………… 23 

5.1. Ziele der Lernstation………………………………………………………………... 24 

5.2. Beschreibung der Lernstation………………………………………………………. 28 

5.2.1. Konzept des MATHEMATIK-Labors………………………………………. 28 

5.2.2. Phase 1: Experimentieren an Modellen……………………………………… 31 

5.2.3. Phase 2: Mathematisieren……………………………………………………. 40 

5.2.4. Phase 3: Systematische Variation an Computersimulationen……………….. 46 

5.3. Beschreibung der entwickelten GeoGebra-Applets……………………………….... 51 

5.4. Beschreibung der entworfenen Holzmodelle…….…………………………………. 59 

6. Evaluation…………………………………………………………………………….….. 63 

6.1. Erarbeitung eines Fragebogens……………………………………………………... 63 

6.2. Beschreibung der Durchführung……………………………………………………. 64 

6.3. Auswertung und Konsequenzen der Fragebögen..………………………………….. 66 

7. Zusammenfassung……………………………………………………………….………. 70

Anhang A: Herleitung der Sehnenlängen………...………………………………….………. 71 

Kreis…………………………………………………………………..………… 71 

Dreieck………………………………………………………………..………… 72 

Quadrat………………………………………………………………..………… 73 

Fünfeck………………………………………………………………..………… 74 

Sechseck……………………………………………………..………..………… 76 

Achteck………………………………………………………………..………… 78 

Anhang B: Arbeitsblätter der Lernstation…………………………………………………… 80 

Kreis…………………………………………………………………..………… 80 

Dreieck………………………………………………………………..………… 86 

Quadrat………………………………………………………………..………… 92 

Fünfeck………………………………………………………………..………… 98 

Formelherleitung am Kreis……………………………………………………… 104 

Formelherleitung am Dreieck……………………………..…………..………… 106 

Fragebogen……………………………………………………..……..………… 108 

Anhang C: „Hilfen“ der Lernstation………………………………………………………… 111 

„Ablaufplan der Lernstation“…………………………………………………… 111 

„Hilfe zur Definition einer Sehne“……………………………………………… 114 

„Hilfestellungen zur Formelherleitung“ am Kreis……………………………… 115 

„Hilfestellungen zur Formelherleitung“ am Dreieck…………………………… 117 

„Hilfe zur Formeleingabe“……………………………………………………… 119 

„Hilfe zu P8“……………………………………………………………………. 120 

„Hilfe zu P10“…………………………………………………………………... 121 

Anhang D: Bauanleitungen der Holzmodelle für den Schreiner…………………………….. 122 

Kreis & Schablone...…………………………………………………..………… 123 

Dreieck & Schablone...………………………………………………..………… 125 

Quadrat & Schablone..………………………………………………..………… 127 

Fünfeck & Schablone..………………………………………………..………… 129 

Sechseck & Schablone..……………………………………..………..………… 131

Achteck & Schablone..………………………………………………..………… 133 

Anhang E: Musterlösung der Arbeitsblätter…………………...…………………………….. 135 

Kreis…………………………………………………………………..………… 135 

Dreieck………………………………………………………………..………… 141 

Quadrat………………………………………………………………..………… 147 

Fünfeck………………………………………………………………..………… 153 

Formelherleitung am Kreis……………………………………………………… 159 

Formelherleitung am Dreieck……………………………..…………..………… 161 

Skizzen der Graphen der Holzmodelle………………..………………………… 163 

Anhang F: Screenshots der html-Umgebung der Applets……...……………………………. 164 

„zu: P3“…...…………………………………………………………………….. 164 

„zu: P3“ Kreis…...……………………………………………………………... 164 

„zu: P3“ Dreieck…...…………………………………………………………... 165 

„zu: P3“ Quadrat…...…………………………………………………………... 165 

„zu: P3“ Fünfeck…...………………………………………………………….. 166 

„Formelherleitung am“…...……………………………………………………... 166 

“Formelherleitung am“ Kreis…...……………………………………………... 167 

“Formelherleitung am“ Dreieck…...…………………………………………... 167 

„zu: P8“…...…………………………………………………………………….. 168 

„zu: P8“ Figur 1…...…………………………………………………………… 168 

„zu: P8“ Figur 2…...…………………………………………………………… 169 

„zu: P8“ Figur 3…...…………………………………………………………… 169 

„zu: P8“ Figur 4…...…………………………………………………………… 170 

„zu: P8“ Figur 5…...…………………………………………………………… 170 

„zu: P8“ Figur 6…...…………………………………………………………… 171 

„zu: P10“…...…………………………………………………………………… 171 

„zu: P10“ Beispiel eines n-Ecks…...…………………………………………... 172 

„zu: P10“ n-Eck selbst erzeugen…...…………………………………..……… 172

Abbildungsverzeichnis………………………………………………………………………. 173 

Literaturverzeichnis………………………………………………………………………….. 175 

Danksagung………………………………………………………………………………….. 182 

Erklärung…………………………………………………………………………………….. 183

Einleitung 1 

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1. Einleitung 

Die Nachfolgende Arbeit beschreibt den Aufbau der Lernstation „Kurvenerzeugende Sehnen“ 

des „MATHEMATIK-Labors“ am Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik der Julius-Maximi- 

lians-Universität Würzburg, sowie die zugrunde liegende Theorie der Station und die mit ihr 

verfolgten Ziele. Ebenso wird eine optimierte Version der Station präsentiert, die mit Hilfe 

von Testdurchläufen und deren Auswertung erarbeitet wurde. 

Die Station wird ein Teil eines Lernlabors sein, das sowohl Schülern als auch Lehramtsstu- 

denten im Rahmen von Projekttagen oder Seminaren angeboten werden wird. Der pro Station 

anberaumte Zeitrahmen von zwei Doppelstunden sollte es den Teilnehmern ermöglichen, ei- 

nen guten Einblick in den Themenbereich der jeweiligen Station zu bekommen, und so deren 

Wissensspektrum zu erweitern.

2 Funktionsbegriff im Mathematikunterricht 

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2. Funktionsbegriff im Mathematikunterricht 

Der Mathematikunterricht greift den „Funktionsbegriff“ eigentlich erst in der achten Klasse 

richtig auf, wo er dann mit Hilfe von vielen anschaulichen Beispielen den Schülern näher 

gebracht wird, um schließlich in eine mathematische Definition überzugehen. Ab diesem 

Zeitpunkt wird der Funktionsbegriff kontinuierlich erweitert und durch immer komplizierter 

werdende Funktionstypen ergänzt. So beginnt man anfangs mit proportionalen und linearen 

Funktionen und gelangt über quadratische und Potenzfunktionen zu den Exponential- und 

trigonometrischen Funktionen. 

2.1. Funktion als Leitbegriff 

In der Schule spielen Funktionen, genau wie im Alltag, eine wichtige Rolle. Sie werden zur 

Beschreibung unterschiedlichster Zusammenhänge herangezogen. So finden Funktionen in 

der Physik zahlreiche Anwendungen, z.B. bei der Bestimmung der Anzahl zerfallener 

Teilchen von radioaktiven Isotopen oder bei der Ermittlung der Ladungsträgermenge eines 

Kondensators, … Auch in der Biologie und Medizin werden Funktionen benötigt, z.B. bei der 

Berechnung von Zellteilungen oder zur Ermittlung des Wachstums von Bakterienkolonien. 

Die Finanzwelt ist ebenfalls auf Funktionen angewiesen z.B. bei der Zinsrechnung, … Jedoch 

spielen Funktionen auch bei ganz alltäglichen Dingen wie Tanken, Autofahren, Telefonieren, 

… oder beim Duschen eine wichtige Rolle (Zusammenhänge zwischen Abgabe/Kosten, 

Strecke/Verbrauch, Zeit/Kosten, Verbrauch/Kosten). Da Funktionen überall in unserem 

Alltagsleben vorkommen, sind sie auch im Mathematikunterricht von großer Bedeutung. 

Denn der Mathematikunterricht soll den Schülerinnen und Schülern Fertigkeiten und Strate- 

gien zur Bewältigung des täglichen Lebens an die Hand geben. Aber auch innerhalb der 

Mathematik sind Funktionen wichtig, z.B. bei der Berechnung des Flächeninhalts geometri- 

scher Figuren, beim Bestimmen der Lösung quadratischer Gleichungen, bei der Volu- 

menbestimmung dreidimensionaler Körper oder bei der Berechnung von Winkeln, … 

Der Funktionsbegriff ist also ein zentraler Aspekt des Mathematikunterrichts, oder wie BLUM 

und TÖRNER sagen: „Der Funktions- bzw. Abbildungsbegriff ist einer der „Leitbegriffe“ der 

heutigen Mathematik.“ BLUM/TÖRNER (1983, S. 18).

Funktionsbegriff im Mathematikunterricht 3 

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Diese Sichtweise hat sich spätestens seit der Diskussion zur Reformierung des Mathematik- 

unterrichts mit der Meraner Reform (um 1900) durchgesetzt, die die „zentrale Rolle des 

Funktionsbegriffs für die Schule“ deutlich herausgestellt hat. (vgl. BLUM/TÖRNER (1983, S. 

18)). 

2.2. Darstellungen von Funktionen 

Unter einer Abbildung f: D→B versteht man eine eindeutige Zuordnung der Elemente von D 

zu Elementen von B, was mittlerweile auch in der Schule akzeptiert wird, so BLUM und 

TÖRNER. “Während man in der abstrakten Algebra oft das Tripel (D, B, xf(x)) als 

Abbildung bezeichnet, ist es in der Analysis zweckmäßiger, eine Funktion durch ihre 

Funktionsvorschrift xf(x) und ihre Definitionsmenge D zu charakterisieren, also durch das 

Paar (D, xf(x)). Zweckmäßigerweise vereinbart man, wenn keine näheren Angaben 

gemacht werden, daß bei der Definition einer Funktion über einen Term die maximale 

Definitionsmenge des Terms zugrunde gelegt werden soll.“ BLUM/TÖRNER (1983, S. 21). 

Eine Definition von „Funktion“ könnte so aussehen: 

„Gegeben sind zwei nichtleere Mengen A, B. Eine Funktion ist (eine) Zuordnung, die jedem 

x0A genau ein Element y0B zuordnet. Wir schreiben: f: A→B oder x0A ⇒ y = f(x)0B.“ 

WEIGAND (2007, S. 19 1 ) 

BLUM und TÖRNER sind der Meinung, dass ein großer Teil der Schwierigkeiten der Schüler 

im Zusammenhang mit dem Funktionsbegriff durch die nicht sorgfältige Unterscheidung 

zwischen Funktion f, Funktionsterm f(x), Funktionsgleichung y = f(x), Funktionswert f(a) an 

der Stelle a∈D, Funktionsvorschrift xf(x) und Funktionsgraphen {(x, f(x)) | x∈D} 

herrühren. Kaum zu verhindern ist die häufig anzutreffende Sprech- bzw. Schreibweise „die 

Funktion y = f(x)“, die schnell zu Missverständnissen führt, da oft geglaubt wird, dass jede 

Funktion sich durch einen abgeschlossenen Funktionsterm beschreiben lässt. Sinnvoll ist eine 

1 Da eigentlich keine Seitenzahlen vorhanden sind, ist die Definition in Kapitel V.1 zu finden


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Unterscheidung zwischen Kurve und (dem Spezialfall) Funktionsgraph bzw. zwischen 

Kurvengleichung und Funktionsgleichung, so BLUM und TÖRNER. 

PICKERT schreibt hierzu: 

„Da die Funktion x-y=1 die analytische Darstellung einer Geraden liefert, bezeichnet man sie 

als Funktionsgleichung der Geraden und überträgt dann leider diesen Sprachgebrauch auf jede 

Gleichung einer ebenen Kurve, so daß also dann x 2 +y 2 = 1 die Funktionsgleichung des 

Kreises heißt.“ PICKERT(1955/56, S. 395) 

BLUM und TÖRNER sind der Überzeugung, dass neben der begrifflichen Erarbeitung des 

Funktionsbegriffs die inhaltliche „Verankerung“ mindestens genauso wichtig ist, welche 

durch die unterschiedlichen Darstellungen von Funktionen, je nach Problem, erzielt werden 

kann. Dies führt mich zu WEIGAND, der sich mit der Frage beschäftigt hat, welche Bedeutung 

Darstellungen beim Lernen des Funktionsbegriffs haben. 

Wenn man davon ausgeht, dass die „Begriffsbildung ... ein Akt unseres Denkens (ist), in dem 

Abstraktion und Konstruktion eine Einheit bilden“, so VOLLRATH (1984, S. 19), dann 

dienen nach WEIGAND (1988, S. 292) Darstellungsformen dazu, den Abstraktions- und 

Konstruktionsprozess zu generieren und in für die Mathematik fruchtbare Bahnen zu lenken. 

Dadurch kann die mit dem Begriff in der mathematischen Fachwissenschaft assoziierte 

Vorstellung den Schülern geeignet vermittelt werden. 2 WEIGAND (1988) stellt fest, dass ver- 

schiedene Darstellungen eines Begriffs notwendig sind, um unterschiedliche Aspekte eines 

Begriffs zu verdeutlichen und Einengungen im Begriffsverständnis zu vermeiden. Daraus 

ergeben sich methodische und didaktische Fragen, zur Einbindung von Darstellungsformen 

von Funktionen in den Mathematikunterricht. Es sind unter anderem Entscheidungen darüber 

zu treffen, welche Rolle die Darstellung innerhalb einer Unterrichtseinheit spielt, es geht also 

um die Entwicklung von lokalen Strategien (vgl. VOLLRATH (1984)). „Dabei können 

Darstellungen als Quellen für das Entdecken von Eigenschaften eingesetzt werden (Entdecken 

von Monotonie, Krümmungsverhalten, Scheitelpunkten, Periodizität), sie können als 

Hilfsmittel zur Lösung von Problemstellungen (Lineares Interpolieren, Addition von 

Punktionstermen) dienen oder selbst als Lösung einer Problemstellungen auftreten 

(Kurvendiskussion, Transformation von Funktionsgraphen), schließlich können sie als Mittel 

zur Sicherung eines Verfahrens (Anzahl der Schnittpunkte von Funktionsgraphen) 

herangezogen werden.“ WEIGAND (1988, S. 292). Weiter muss über Art und Reihenfolge von 

2 Vgl. WEIGAND (1988, S. 292)


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Darstellungen innerhalb des Mathematikunterrichts entschieden werden. Es geht also um die 

Entwicklung regionaler und globaler Strategien, so WEIGAND. Er gibt jedoch zu bedenken 

bzw. stellt die Frage in den Raum, ob diese neuen Aspekte der Begriffe nicht mit den 

bisherigen Vorstellungen der Schüler in Konflikt geraten. Es könnte nämlich die Gefahr 

bestehen, dass sich bei den Schülern, aufgrund der großen Vielfalt der Darstellungen, 

verschiedene und voneinander isolierte Vorstellungen eines mathematischen Begriffs 

entwickeln. Auch empirische Untersuchungen von VINNER und DREYFUS (1985 durchgeführt) 

konnten diese Frage nicht endgültig klären (vgl. WEIGAND (1988, S. 293)). 

Hier möchte ich jedoch noch einwerfen, dass dieser Konflikt der 

Schüler nicht nur im Mathematikunterricht sondern auch im 

Physikunterricht zu finden ist. Das Phänomen, dass „zwei“ 

identische Themengebiete, die aus unterschiedlichen Blickwin- 

keln beleuchtet wurden, von den Schülern nicht als eine Einheit 

erkannt bzw. zu einer Einheit zusammengeführt werden konnten, 

ist mir aus diversen Schulpraktika nicht fremd. 

Daraus resultiert die Frage, welche Arten der Darstellung denn 

überhaupt gebräuchlich sind und was speziell bei der jeweiligen 

Darstellungsart am besten verdeutlicht bzw. gelernt werden 

kann. 

Zu Beginn möchte ich das Pfeildiagramm (siehe Abbildung 1) 

nennen. Hier lassen sich grundlegende Eigenschaften wie die 

Umkehrbarkeit oder die Verkettung von Funktionen bildlich ver- 

deutlichen. Es passt zu RUDINS Definition des Funktionsbegriffs. 

Im Gegensatz zum Pfeildiagramm, bei dem es auf die speziellen 

Eigenschaften der Definitions- und Wertemengen nicht an- 

kommt, werden diese andeutungsweise beim Leiterdiagramm 

(siehe Abbildung 2) berücksichtigt. Es sollten hier jedoch nur 

wenige Pfeile eingezeichnet werden um die Aussagekraft nicht 

zu verlieren. 

Jedoch ist das Leiterdiagramm nur bei monotonen Funktionen 

sinnvoll nutzbar. Einen weiteren Vorteil kann das Leiterdi- 

agramm gegenüber dem Pfeildiagramm ausspielen und zwar die 

Abbildung 1: Pfeildiagramm 

f 

2 2 

0 0 

-2 -2 

Abbildung 2: Leiterdiagramm 

x 

f 

f( f x) 

Abbildung 3: Funktionsmaschine


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Möglichkeit kinematische Prozesse zu beobachten (vgl. BLUM/TÖRNER (1983, S. 23f)). An 

dieser Stelle sei auf das Schulbuch „Mathematik Realschule – Gamma 8“ 3 verwiesen, das bei 

der Einführung des Funktionsbegriffs auf Leiterdiagramme zurückgreift um den Schülern den 

Unterschied zwischen einer eindeutigen und einer nicht eindeutigen Zuordnung zu 

verdeutlichen. 

Eine weitere Möglichkeit der Darstellungsform ist die „Funktionsmaschine“. Bei BLUM und 

TÖRNER ist folgendes zu lesen: „Auf ‚enaktiver’ bzw. ‚ikonischer’ Ebene angesiedelt ist die 

Vorstellung von einer Funktion als ‚Funktionsmaschine’ bzw. ‚Black-box’, wodurch der 

Objektcharakter einer Funktion betont wird.“ BLUM/TÖRNER (1983, S. 24) (siehe Abbildung 

3). Hier sei auf das Schulbuch „algebra 7./8. Schuljahr“ 4 verweisen, das die 

Funktionsmaschine als Einstieg in das Thema Funktionen benutzt, anschließend ein einfaches 

Beispiel gibt wie die Funktionsmaschine arbeitet und danach erst zur eigentlichen Definition 

des Funktionsbegriffs übergeht. 

Für die meisten Bereiche der Schulanalysis ist die Darstel- 

lungsform des Funktionsgraphen (siehe Abbildung 4) für 

eine Funktion f: D→⎥ mit Dφ⎥ die geeignetste Form, da 

man hier, im Gegensatz zur Wertetabelle, unendlich viele 

Wertepaare darstellen kann, und dies obendrein noch sehr 

anschaulich (vgl. BLUM/TÖRNER (1983, S. 24)). 

Diese Form der Darstellung kommt in jedem Schulbuch 

vor und wird z.B. im Schulbuch „Mathematik für Real- 

schulen 8“ 5 direkt nach der Definition des Funktionsbe- 

y-Achse 

Abbildung 4: Funktionsgraph 

f 

x-Achse 

griffs (über den Relationsbegriff) in einer Aufgabe benutzt, in der die Schüler anhand der 

Definition entscheiden sollen, ob es sich bei den dargestellten Graphen um Funktionen han- 

delt, oder nicht. 

Eine wichtige und bisher nur implizit erwähnte Darstellungsform ist die Wertetabelle. Sie 

leistet hervorragende Dienste wenn es darum geht in einen kleinen Bereich das Verhalten der 

Funktion zu analysieren. Aber nicht nur im Kleinen, sondern auch im Großen kann eine 

Wertetabelle dazu beitragen, einen Gesamteindruck zu bekommen. So kann man mit ihr 

3 HAYEN ET AL. (1994, S. 109) 

4 vgl. FEUERLEIN ET AL. (1985, S. 8A – 45) 

5 vgl. HABLER ET AL. (1995, S. 116)


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bereits experimentell Zusammenhänge erfassen, selbst wenn noch kein formelmäßiger 

Zusammenhang erkennbar ist. Aus diesem Grund wird die Wertetabelle in der späteren 

Station des „MATHEMATIK-Labors“ noch eine wichtige Rolle spielen. 

Alle eben genannten Darstellungsformen haben ihre Vor- und Nachteile. So sind das Pfeil- 

und Leiterdiagramm sowie die Funktionsmaschine beim Einstig in das Themengebiet der 

Funktion durchaus sehr hilfreich und anschaulich, verlieren aber bei komplexeren 

Zusammenhängen und einer hohen Datenfülle ihre Anschaulichkeit und Aussagekraft, wo 

hingegen Funktionsgraph und Wertetabelle ihre Vorteile ausspielen können. Der 

Funktionsgraph ist eine sehr anschauliche Möglichkeit um mit einer großen Menge an Daten 

umzugehen und hilft besonders dabei einen Gesamteindruck der Situation zu bekommen. Er 

ist die perfekte Ergänzung zur Wertetabelle, welche die exakten Werte angibt, die für den 

Graphen verwendet wurden. Jedoch ist es bei der Wertetabelle zum Teil schwierig die 

vorliegenden Zusammenhänge zu erkennen, da die betrachteten Bereiche oft zu klein gewählt 

sind oder die Werte zu dicht beieinander liegen (Schrittweite der Werte). 

Unter den symbolischen Darstellungsformen spielen insbesondere Terme und Gleichungen 

eine wichtige Rolle. Sie legen eine Funktion aber nur im Zusammenhang mit einer Defini- 

tionsmenge fest (vgl. BLUM/TÖRNER (1983, S. 24)). 

Die besten Darstellungsformen nützen allerdings nur dann, wenn sie gelesen werden können. 

WEIGAND schreibt hierzu folgendes: „Die Kommunikationstechnologie dringt im Augenblick 

in alle Lebensbereiche vor. Für eine umfassende Allgemeinbildung wird es in Zukunft immer 

wichtiger werden, daß Informationen aus Darstellungen entnommen oder Darstellungen im 

weitesten Sinn ‚gelesen’ werden können. ‚Lesen’ kann dabei auf der ‚untersten Stufe’ 

einfaches Ablesen von Funktionswerten bedeuten.“ WEIGAND (1988, S. 294). JANVIER (1978) 

untersuchte bei Schülern im Alter von 12 bis 15 Jahren die Fähigkeit im Lesen und 

Interpretieren von Funktionsgraphen. Dabei legte er besonderes Augenmerk auf Variablenver- 

ständnis und die Fähigkeit einzelne Punkte des Graphen untereinander in Beziehung zu 

setzen. JANVIER stellte insbesondere große Schwierigkeiten beim Erfassen des Änderungsver- 

haltens von Graphen fest. So verwechselten die Schülerinnen und Schüler zum Beispiel 

häufig „Bereiche des größten Wachsens“ mit den „größten Werten“. Des Weiteren kamen die 

Schüler über ein „Punkt-für-Punkt-Verständnis“ nicht hinaus, konnten also dargestellte 

Änderungen nicht erfassen (vgl. WEIGAND (1988, S. 294f)). Änderungen spielen in der, in 

Kapitel 4, vorgestellten Lernstation eine entscheidende Rolle. Deshalb ist es wichtig die


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Teilnehmer dazu zu bringen Änderungen erkennen und aus den zugehörigen Graphen 

herauslesen zu können. Um dieses Ziel zu erreichen werden die Schüler zunächst die 

tatsächlichen Änderungen an Realmodellen erfahren, sie mit Hilfe einer Wertetabelle erfassen 

und anschließend in einen Funktionsgraphen umsetzen. Zur Verdeutlichung der Zusammen- 

hänge werden die Schüler dazu aufgefordert Funktionsgraphen und Modelle wechselseitig zu 

interpretieren, d.h. Änderungen des Funktionsgraphen anhand der zugrunde liegenden Figur 

zu erklären und umgekehrt. Abschließend betrachten die Schüler Computersimulationen, die 

ihnen die Änderungen an den Modellen und die zugehörigen Änderungen der Graphen 

gleichzeitig vor Augen führen. 

„Im Schulunterricht ist der Graph neben der Termdarstellung bzw. der Funktionsgleichung 

die wichtigste Darstellungsform einer Funktion. Gerade im Zusammenhang mit dem 

Beurteilen und Interpretieren von Funktionsgraphen zeigen allerdings verschiedene 

Untersuchungen mangelnde Fähigkeiten von Schülern und Studenten im Umgang mit dieser 

Repräsentationsform. … Es fehlt ihnen die Fähigkeit, skizzierte Graphen anhand einiger mar- 

kanter Punkte (Nullstellen, Maxima) auf Richtigkeit zu überprüfen.“ WEIGAND (1988, S. 295). 

Genau hier setzt die Lernstation (wie oben erwähnt) an, denn die Schüler werden bei der 

Station dazu aufgefordert den Verlauf des Graphen anhand der zugrunde liegenden Figur zu 

erklären, was durch die Betrachtung markanter Punkte wie Maxima, Minima und Nullstellen 

geschieht. 

Es bleibt festzuhalten, dass es nicht eine beste Darstellungsweise für Funktionen gibt. Viel- 

mehr muss die Wahl der Darstellung unter anderem davon abhängig gemacht werden, um 

welche Problemstellung es sich handelt, welches Alter und welche Vorkenntnisse die Schüler 

haben und welche Funktionseigenschaften erfasst werden sollen. 6 

Darüber hinaus stellt WEIGAND fest: „Jede Darstellungsform beleuchtet nur bestimmte Aspek- 

te des dargestellten Begriffs. Da es aber für ein umfassendes Begriffsverständnis wichtig ist, 

daß alle Sichtweisen eines Begriffs berücksichtigt werden und diese unterschiedlichen 

Aspekte zu einem Gesamtbild zusammengefügt werden, muß der Schüler auch in der Lage 

sein, eine in einer bestimmten Darstellung gegebene Funktion in eine andere Darstellungs- 

form überzuführen, d.h. einen Transfer zwischen verschiedenen Darstellungen durchzufüh- 

ren.“ WEIGAND (1988, S. 296) 

6 Vgl. WEIGAND (1988, S. 295f)


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Insbesondere die Beziehung zwischen Funktionsgraph und Tabelle ist ihm dabei wichtig, weil 

diese Darstellungen sich gut ergänzen. 

„Neben dem wichtigen Arbeiten mit Funktionsgraphen können Tabellendarstellungen von 

Funktionen im Mathematikunterricht dazu beitragen, daß eine Verengung des Begriffsver- 

ständnisses von Funktionseigenschaften auf eine geometrische Sichtweise vermieden wird, 

und daß der Schüler ein breiteres Spektrum an heuristischen Strategien beim Begriffsbil- 

dungsprozeß an die Hand bekommt.“ WEIGAND (1988, S. 320). 

Wenn ich mir all diese Aspekte unter Berücksichtigung meiner Lernstation betrachte, so 

komme ich zu dem Schluss, dass nicht alle Darstellungsformen für meinen Zweck geeignet 

sind. So sind die Stationsteilnehmer schon weit über die Einführung des Funktionsbegriffs 

hinaus, so dass „nur“ die Tabelle, der Graph und der Funktionsterm als Darstellungsformen in 

Frage kommen. Besonderer Wert wird dabei auf die Beziehungen der einzelnen Darstellungs- 

formen untereinander gelegt, was sich in der wechselseitigen Interpretation von Modellen, 

Figuren und Graphen widerspiegelt (vgl. vorherige Seite, oben). So wird hier unter Berück- 

sichtigung des Alters der Stationsteilnehmer und der vorliegenden Situation der angestrebte 

Zusammenhang aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet. Das Ziel der verwendeten Frau- 

gestellungen und Anweisungen der Station ist es, das oben genannte „Punkt-für-Punkt-Ver- 

ständnis“ zu überwinden und ein Verständnis für das Änderungsverhalten von Funktionen zu 

vermitteln.

10 Funktionales Denken 

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3. Funktionales Denken 

Um über das im letzten Kapitel erwähnte „Punkt-für-Punkt-Verständnis“ hinaus zu kommen, 

muss der heutige Schulunterricht einen größeren Wert auf eine „Erziehung zum funktionalen 

Denken“ legen, das insbesondere Aspekte des Änderungsverhaltens von Funktionen und 

Argumentationen mit Bewegungen bzw. Veränderungen umfasst. 

3.1. Aspekte des „Funktionalen Denkens“ 

Um näher auf das „Funktionale Denken“ eingehen zu können, möchte ich zu Beginn dieses 

Abschnitts eine kurze Definition des Funktionalen Denkens von VOLLRATH (1989, S.5) 

angeben: „Funktionales Denken ist eine Denkweise, die typisch für den Umgang mit Funktio- 

nen ist.“ VOLLRATH sagt selbst, dass er damit den „methodologischen Aspekt“ des Funktions- 

begriffs betont. 

Dies führt nun zu der Frage, was denn eigentlich als charakteristisch für das Arbeiten mit 

Funktionen und somit für funktionales Denken anzusehen ist. VOLLRATH gibt hierzu drei 

Aspekte an, über die heute weitestgehend Einigkeit besteht. Der Erste lautet wie folgt: 

• „Durch Funktionen beschreibt oder stiftet man Zusammenhänge zwischen Größen: 

einer Größe ist dann eine andere zugeordnet, so daß die eine Größe als abhängig 

gesehen wird von der anderen.“ VOLLRATH (1989, S. 7). 

Um was geht es also bei diesem Aspekt? Es wird zum einen die eindeutige Zuordnung und 

zum anderen die Abhängigkeit von Größen betont, was sich in Schreibweisen wie x → y und 

y = f(x) widerspiegelt. Bei senkrecht geschriebenen Tabellen ist damit der „waagrechte 

Zusammenhang“ zwischen x und y gemeint. (vgl. VOLLRATH (1989, S. 7)). 

Vollrath und weitere Mathematiker, wie DU BOIS-REYMOND, KLEIN und VOSS sind der 

Überzeugung, dass dieser Aspekt „große Fruchtbarkeit“ in der Mathematik und ihren 

Anwendungen bringt. Aus diesem Grunde möchte ich einige der oben genannten

Funktionales Denken 11 

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Mathematiker zu diesem Thema zitieren. So sieht DU BOIS-REYMOND 7 hierin „eine der 

fruchtbringendsten Methoden, durch welche der menschliche Geist seine Leistungsfähigkeit 

erhöhte.“ und für den „einigermaßen Begabten (ist dies): ein für das Leben epochemachender 

Lichtblick“. 

VOSS äußert sich dazu wie folgt: „Der Koordinatenbegriff, welcher das unerläßliche Schema 

für die Veranschaulichung aller Vorgänge bildet, mit seinen vielseitigen und anregenden An- 

wendungen auf alle Gebiete des täglichen Lebens, mögen sie nun der Medizin, der physika- 

lischen Geographie, der Nationalökonomie, der Statistik, dem Versicherungswesen, den tech- 

nischen Wissenschaften angehören, die ersten Anfänge der Infinitesimalrechnung im An- 

schluß an ihre historische Entwicklung, die Entwicklung des Funktions- und Grenzbegriffes 

an den Elementen der Lehre von den krummen Linien, das alles sind Dinge, ohne die in der 

gegenwärtigen Zeit auch nicht das leiseste Verständnis der Naturerscheinungen gewonnen 

werden kann, deren Kenntnis uns aber wie mit einem Zauberschlag befähigt, eine Einsicht zu 

erlangen, mit der sich an Tiefe und Tragweite, vor allem aber an Sicherheit, wohl kaum eine 

andere vergleichen läßt.“ 8 

Funktionen wurden im Übergang vom 19. in das 20. Jahrhundert propagiert, um den 

Mathematikunterricht zu modernisieren. Didaktische Schwierigkeiten ergaben sich, so 

VOLLRATH, aber unter anderem durch die Tatsache, dass Funktionen lange Zeit nur als 

Funktionen galten, wenn sie durch einen Term bzw. eine Gleichung oder durch eine Kurve 

dargestellt werden konnten. Dagegen wurde es abgelehnt einen Zusammenhang, der durch 

das Beobachten von Werten entstand, als Funktion zu bezeichnen. „Daß die Termdarstellung 

und die Gleichung so stark im Unterricht dominierten, lag daran, daß gerade sie sich 

besonders gut für das Lösen von Aufgaben zu Funktionen benutzen lassen. Das war natürlich 

wichtig für einen überwiegend an Aufgaben orientierten Mathematikunterricht 

(LENNE(1969)).“ VOLLRATH (1989, S. 10) KIESOW und SPALLEK 9 hingegen sind der 

Überzeugung, dass die operative Ebene viel näher an der Realität liegt und somit 

informationsreicher und unmittelbarer gegeben ist, als die abstrakte Ebene. Folglich sollten 

Schüler über die operative Ebene an den Funktionsbegriff herangeführt werden. 

„Die Beschreibung der funktionalen Abhängigkeit und das Ausnutzen dieser Abhängigkeit 

beim Lösen von Problemen erfolgt mit Hilfe der verschiedenen Darstellungsformen. Das 

7 vgl. DU BOIS-REYMOND (1877, S. 149) 

8 vgl. VOSS (1908, S. 94f) 

9 vgl. KIESOW/SPALLEK (1983)


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Arbeiten mit Gleichungen und Tabellen war bereits von den Meraner Vorschlägen üblich. Die 

Verwendung graphischer Darstellungen wurde dagegen als moderner Gedanke empfunden.“ 

VOLLRATH (1989, S. 11). 

Den zweiten Aspekt funktionalen Denkens formuliert VOLLRATH so: 

• „Durch Funktionen erfaßt man, wie Änderungen einer Größe sich auf eine abhängige 

Größe auswirken.“ VOLLRATH (1989, S. 12) 

Bezeichnungen wie „Je größer x wird, desto größer wird y.“ spiegeln diesen Aspekt wieder. 

Und falls eine Funktion in Form einer senkrechten Tabelle dargestellt ist, dann liegt das 

Interesse bei den „senkrechten Zusammenhängen“. (vgl. VOLLRATH (1989, S. 12)). „Das 

Stichwort der ‚Änderung’ findet sich in den Erläuterungen der Meraner Vorschläge für das 

funktionale Denken sowohl im Bereich der Arithmetik als auch in der Geometrie. Für die 

meisten Didaktiker, die sich darauf beziehen, scheint dieses Betrachten von Änderungen und 

ihren Wirkungen charakteristisch für das funktionale Denken zu sein.“ VOLLRATH (1989, S. 

13). 

Für STRUNZ (1949) ist das Dynamische bzw. Kinematische das Kennzeichnende des funktio- 

nalen Denkens. STEINER berücksichtigt kinematische Erfahrungen in Überlegungen wie: 

„Wenn ich den geordneten Definitionsbereich in einem bestimmten Sinne durchlaufe, so 

werden die Werte des Wertebereichs vermöge der Zuordnung f in dem und dem Sinne 

durchlaufen“. STEINER (1967, S. 171). 

Auch wenn sich das didaktische Interesse zuerst auf das intuitive Erfassen von Änderungen 

richtete, so werden jetzt auch genauere Betrachtungen im Bezug auf das Änderungsverhalten 

von Funktionen durchgeführt und die „Ausprägung funktionalen Denkens“ zeigt sich auch 

daran, wie Änderungen geplant, durchgeführt, analysiert und zur Lösung von Problemen 

eingesetzt werden können (vgl. VOLLRATH (1989, S. 16)). 

VOLLRATH gibt auch noch einen dritten Aspekt funktionalen Denkens an: 

• Mit Funktionen betrachtet man einen gegebenen oder erzeugten Zusammenhang als 

Ganzes.“ VOLLRATH (1989, S. 16).


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

Bei diesem Aspekt geht es darum, dass nicht nur einzelne Wertepaare sondern die Menge 

aller Wertepaare oder dessen Zuordnung als neues Objekt betrachtet werden. STRUNZ schreibt 

hierzu folgendes: „Mathematische Sachverhalte, die zu einem sinnvollen geschlossenen 

Ganzen gehören und in irgendeiner Weise eine verstehbare Einheit bilden, lassen sich leichter 

merken als eine gleiche Anzahl an Sachverhalten, die ihrem Sinne nach wenig oder nichts 

miteinander zu tun haben.“ STRUNZ (1949, S. 35). 

Der Blick für das Ganze erschließt sich dem Betrachter am besten durch die graphische Dar- 

stellung der Funktion, da hier Funktionseigenschaften wie Symmetrie, Wachsen, Fallen, usw. 

am deutlichsten sichtbar werden. Das Erkennen solcher Eigenschaften ist aber auch oft das 

Ziel von Aufgaben. 10 . „So wie der Blick auf das Ganze Eigenschaften enthüllt, so lassen auch 

umgekehrt Eigenschaften das Ganze erkennen. Der Blick auf das Ganze kann also als 

Beobachten oder als Erzeugen eines Zusammenhangs gedeutet werden. Die Sicht des Ganzen 

kann eine Grundlage aber auch das Ziel von Problemlösungen sein. Die Ausprägung des 

funktionalen Denkens zeigt sich an der Fähigkeit, in unterschiedlichen Darstellungen von 

Funktionen das Ganze der Funktion zu erfassen und die Fähigkeit, vom Einzelnen aufs Ganze 

und umgekehrt vom Ganzen aufs Einzelne ‚umzuschalten’.“ VOLLRATH (1989, S. 17). 

VOLLRATH spricht im Weiteren vier Arten von Phänomenen zum Funktionsbegriff an, und 

zeigt, wie diese den Funktionsbegriff prägen. Dabei betont er, wegen des funktionalen 

Denkens, den „Werkzeugcharakter“ des Funktionsbegriffs und sieht als gemeinsames 

Merkmal das „Erfassen und Beherrschen“ von Situationen. 

(1) „Funktionen dienen bei der Beschreibung von Vorgängen dazu, Aussagen über die 

zeitliche Entwicklung zu machen.“ VOLLRATH (1989, S. 19). 

Damit meint er, dass kommende Ereignisse vorhergesagt und Aussagen über vergangene 

Ereignisse gemacht werden können. 

(2) „Mit Maßfunktionen kann man Größen berechnen.“ VOLLRATH (1989, S. 20). 

10 Vgl. VOLLRATH (1989, S. 17)


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

Mit Messen meint VOLLRATH nicht den eigentlichen Vorgang, sondern mehr die Tatsache, 

dass bestimmte Größen durch Zahlen ausgedrückt werden können, ihnen werden also 

bestimmte Maßzahlen zugeordnet. 

(3) „Durch funktionale Betrachtungen von Operationen werden Änderungen von Größen 

erfaßt.“ VOLLRATH (1989, S. 21). 

Operatoren bieten einen natürlichen Ansatz, indem Funktionen gesucht werden, die 

bestimmten Erwartungen genügen. „Mathematisch interessant ist hier vor allem die Frage, 

wie viele Forderungen man benötigt, um eine Funktion festzulegen.“ VOLLRATH (1989, S. 

22). 

Als vierten und letzten Bereich nennt er: 

(4) „Durch die Beschreibung von Kausalzusammenhängen durch Funktionen kann man 

Abhängigkeiten beschreiben.“ VOLLRATH (1989, S. 23). 

Es lassen sich beispielsweise geometrische Beziehungen wie Kreisumfang in Abhängigkeit 

vom Radius in diesem Sinne deuten. „Kennt man die Funktion, so beherrscht man die 

betreffende Situation. (…) Funktionale Betrachtungen spielen hierbei häufig eine wichtige 

Rolle für die Entdeckung bzw. Erarbeitung einer Formel.“ VOLLRATH (1989, S. 23). 

Leider haben Schüler enorme Schwierigkeiten im Umgang mit Funktionen, dies förderten die 

Auswertungen der bisherigen Forschungsergebnisse zum funktionalen Denken von ANDEL- 

FINGER und HART zu Tage. So stellt ANDELFINGER (1987) fest: „Wohl assoziieren die meisten 

Schüler ‚Funktion’ mit ‚Zuordnung’, bringen diese Idee aber selten in die Arbeit mit 

Funktionen ein. In der Regel bleibt die Kenntnis der Definition des Funktionsbegriffs ohne 

Wirkung auf den konkreten Umgang mit Funktionen. Im Umgang mit Wertetabellen 

überwiegt die Betrachtung ‚horizontaler’ Zusammenhänge zwischen den Spalten; ‚vertikale’ 

Zusammenhänge treten zurück. Die Schüler vermeiden, wenn irgend möglich, das Arbeiten in 

negativen Koordinatenbereichen und verlängern die Graphen nur ungern in diese Bereiche. 

Schüler haben erhebliche Schwierigkeiten mit endlichen und diskreten Definitionsbereichen. 

(Funktionales Denken ist vielfach auf ‚stetige Veränderungen’ eingeschränkt.) Das Zeichnen


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von graphischen Darstellungen fällt schwer, sobald die üblichen Bezeichnungen der 

Variablen nicht benutzt werden.“ VOLLRATH (1989, S. 36) 

Abschließen möchte ich mit einem Zitat von VOLLRATH, das auch gleichzeitig eine kleine 

Zusammenfassung zu diesem Teilabschnitt bietet: 

„Funktionales Denken ist also bestimmt durch das Denken in Zusammenhängen, das sich in 

der Auseinandersetzung mit bestimmten Phänomenen entfaltet. Dazu bedarf es persönlicher 

Erfahrung und der Anleitung durch Erfahrene.“ VOLLRATH (1989, S. 39) 

3.2. „Bewegliches Denken“ als Teilaspekt des „Funktionalen Denkens“ 

Bei ROTH ist das „Bewegliche Denken“ ein Teilaspekt des „Funktionalen Denkens“. Er stellt 

fest, dass bewegliches Denken „weitgehend deckungsgleich mit dem Verständnis des 

funktionalen Denkens der Meraner Reform (ist). Dies wiederum bedeutet, dass das 

Bewegliche Denken gerade den dynamischen Anteil des funktionalen Denkens im Sinne 

VOLLRATHs repräsentiert und folglich eine echte Teilmenge des so verstandenen funktionalen 

Denkens ist. Es ist mir wichtig, an dieser Stelle darauf hinzuweisen, dass das Bewegliche 

Denken sich nicht im Aspekt ‚Änderungsverhalten’ bzw. ‚Kovariation’ des funktionalen 

Denkens nach Vollrath erschöpft, sondern auch den Aspekt ‚Sicht als Ganzes’ mit umfasst.“ 

ROTH (2005C, S. 71). 

Für die in dieser Arbeit vorgestellte Lernstation ist gerade dieser Teilaspekt des funktionalen 

Denkens wesentlich. Aus diesem Grund soll hier näher auf das bewegliche Denken einge- 

gangen werden. 

Bewegliches Denken besteht aus drei Komponenten, die jedoch, abhängig vom jeweils 

betrachteten Problem, fließend ineinander übergehen können. Bei ROTH (2005C, S. 30) ist 

folgende „Zusammenstellung“ zu finden: 

Komponenten des „Beweglichen Denkens“ 

• Bewegung hineinsehen und damit argumentieren 

• Gesamtkonfiguration erfassen und analysieren 

• Änderungsverhalten erfassen und beschreiben


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Was genau mit den einzelnen Punkten gemeint ist soll jetzt geklärt werden. 

Bei „Bewegung hineinsehen und damit argumentieren“ geht es um die schon erwähnte 

Fähigkeit, in ein (statisches) Phänomen eine Bewegung bzw. eine Veränderung hineinsehen 

zu können. „Darüber hinaus gehört zu dieser Komponente des „Beweglichen Denkens“ aber 

auch die Fähigkeit, diese vorgestellte Bewegung/Veränderung zur Argumentation beim Lösen 

von Problemen, Entdecken von Zusammenhängen und ganz allgemein beim Erforschen von 

(mathematischen) Phänomenen benutzen zu können.“ ROTH (2005C, S. 30) 

Unter dem zweiten Punkt „Gesamtkonfiguration erfassen und analysieren“ fasst ROTH 

folgendes zusammen: „Zum Beweglichen Denken gehört die Fähigkeit, eine reale bzw. 

vorgestellte („hineingesehene“) Bewegung / Veränderung in ihren Auswirkungen auf die Ge- 

samtkonfiguration erfassen und analysieren zu können. Dies erfordert, die Fokussierung auf 

bestimmte Aspekte wechseln und so jeweils für gerade betrachtete Fragestellungen relevante 

Veränderungen bzw. Invarianten in den Blick nehmen zu können.“ ROTH (2005C, S. 31) 

M it „Änderungsverhalten erfassen und beschreiben“ ist die Fähigkeit gemeint, die Frage 

nach der Art und Weise der Veränderung beantworten zu können. Das heißt, es geht um das 

Vermögen das Änderungsverhalten qualitativ zu erfassen und zu beschreiben. (vgl. ROTH 

(2005C, S. 31)) 

Möglichkeiten und Chancen das allseits geforderte bewegliche Denken im Unterricht 

anzubahnen sieht ROTH in den Visualisierungsmöglichkeiten neuer Computerprogramme und 

weist jedoch gleichzeitig auf die Gefahr des „bloßen Probierens“ hin, welcher durch das 

Einfordern von Vorhersagen, Begründungen und Ergebnisfixierungen (in Wort und Schrift) 

entgegengewirkt werden kann. So schreibt er, dass die Schüler nach der Arbeit mit den 

Computerprogrammen in der Lage sein müssen, 

• „auch ohne Computer, also im Kopf, ähnliche Bewegungen hineinsehen, analysieren 

und Änderungsverhalten realisieren und 

• bei komplexen Gegebenheiten einen geeigneten Computereinsatz planen und 

vorstrukturieren zu können.“ ROTH (2002, S. 425)

Kurvendiskussion 17 

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4. Kurvendiskussion 

FÜHRER (1981) sieht in der Idee des „Funktionalen Denkens“ ein Bindeglied zwischen dem 

Mathematikunterricht der Mittelstufe und den Analysiskursen der Kollegstufe, in denen auch 

die Kurvendiskussion behandelt wird. Da die Kurvendiskussion nach DANCKWERTS/VOGEL 

(2006, S. 131) „zu den stabilen Themenkreisen im Analysisunterricht“ gehört, lohnt sich eine 

propädeutische Vorbereitung dieses Aspekts des Mathematikunterrichts bereits in der 

Mittelstufe. Ein Ziel der Lernstation ist es zu dieser Vorbereitung beizutragen und ein 

anschauliches Grundverständnis zu entwickeln. 

4.1. Blick in die Praxis 

Es gibt, je nachdem welcher Personenkreis betrachtet wird, ganz unterschiedliche Perspekti- 

ven auf die „traditionelle“ Kurvendiskussion im Mathematikunterricht. Die erste Gruppe sind 

die Mathematikdidaktiker. Ihnen fehlt bei der schulischen „Aufgabenkultur“ die Vielfalt 

der Lösungsansätze. Im Sinne der „Polyaschen Heuristik“, deren Problemlösestrategie sich 

aus vier Schritten zusammensetzt (Verstehen des Problems, Ausdenken eines Plans, Durch- 

führen des Plans und Rückschau auf die Lösung), sehen sie nur die Durchführung, also das 

Lösen des Problems, verwirklicht. Für sie ist die schulische Kurvendiskussion ergebnisorien- 

tiert und einseitig, es fehlt ihr an wirklicher „Diskussion“ und aus diesem Grund ist man noch 

„weit entfernt von einem problemlösenden Mathematikunterricht.“ (vgl. DANCKWERTS/VO- 

GEL (2006, S. 132)) 

Die zweite Gruppe sind die Mathematiklehrkräfte, die sich in zwei Typen aufteilen lassen. 

Zum einen wäre da Typ A, der am Althergebrachten festhält, da es für ihn und seine Schüler 

der „leichteste“ Weg ist, denn die meisten Aufgaben lassen sich nach „Schema F“ lösen und 

korrigieren. Er sagt: „Bei diesem Thema habe ich das Gefühl, dass die Mathematik für die 

Schule angemessen abgebildet wird, und ich fühle mich - zusammen mit meinen Schülern - 

nicht überfordert.“ DANCKWERTS/VOGEL (2006, S. 133). Andererseits gibt es auch Typ B, er 

empfindet die traditionelle Kurvendiskussion als zu eintönig und erstarrt und versucht dem 

entgegenzuwirken, indem er ihr eine „inhaltliche Tiefe“ zu geben versucht. Er muss die 

bewährten Aufgabenbeispiele seinen erweiterten Zielen und Anforderungen anpassen,

18 Kurvendiskussion 

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wodurch Korrekturaufwand und Rechtfertigungsdruck gegenüber den Schülern und den Kol- 

legen zunehmen (vgl. DANCKWERTS/VOGEL (2006, S. 133)). 

Die dritte Gruppe sind die Schülerinnen und Schüler, die sich wie die Lehrkräfte in zwei 

Typen aufteilen lassen. Typ A fühlt sich befreit von der Last des Begriffslernens und der 

Beweisführungen, hier kann er „Schema F“ anwenden und dabei erlebt er keine unliebsamen 

Überraschungen. Schüler Typ A ist das Pendant zum Lehrer Typ A und hat in der Regel kein 

großes inhaltliches Interesse am Fach Mathematik. Typ B hat eine ähnliche Auffassung wie 

der Lehrer Typ B und erhofft sich vom Mathematikunterricht eher „umfassendere Denkan- 

strengungen“, welchen die Kurvendiskussion gerecht werden muss. Er sagt: „Eine Kurvendis- 

kussion, bei der nichts zu entdecken und zu begründen ist, langweilt mich.“ 

DANCKWERTS/VOGEL (2006, S. 134). 

Bis auf die Typen A unter Lehrkräften und Schülerinnen und Schülern sind alle mit der 

momentanen Situation unzufrieden. Es scheint daher angebracht, über alternative Zugänge 

und „Wege der Öffnung“ nachzudenken. Darauf werde ich aber erst im nächsten Abschnitt 

eingehen. Zuvor möchte ich noch auf die konkrete Behandlungs- bzw. Betrachtungsmethoden 

der aktuellen, schulischen Kurvendiskussion eingehen. 

Bevor die üblichen Kriterien der Kurvendiskussion ihre Begründung im eigenständigen Punkt 

des Monotoniekriteriums fanden (dies hat sich inzwischen für die Schule durchgesetzt), 

orientierte man sich am „kanonischen Aufbau der Anfängervorlesung zur Analysis“ (unter 

Behandlung des Stetigkeitsbegriffes). „Die mathematische Rechtfertigung für diesen 

Standpunktwechsel liefert die Äquivalenz von Mittelwertsatz und Monotoniekriterium. Aus 

didaktischer Sicht hat dies den Vorzug, direkt im Herzen der Sache zu starten und sich auf 

einen anschaulich evidenten Sachverhalt zu stützen.“ DANCKWERTS/VOGEL (2006, S. 136). 

Die gebräuchlichsten Kriterien zur Untersuchung von Funktionen sind: 

• Monotoniekriterium: „Eine auf einem Intervall differenzierbare Funktion mit überall 

positiver Ableitung ist dort streng monoton wachsend.“


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Allgemein gilt: „Ist fΝ(x0) > 0, so sind in einer hinreichend kleinen Umgebung von x0 

alle Funktionswerte links von x0 kleiner und alle rechts von x0 größer als f(x0), d.h. f 

wächst beim Durchgang durch die Stelle x0.“ DANCKWERTS/VOGEL (2006, S. 136) 

bzw.: 

„Genügt eine Funktion im Definitionsbereich für beliebige Argumente x1 und x2 mit x2 

> x1 der Bedingung f(x2) ∃ f(x1) bzw. f(x2) # f(x1), dann wird sie monoton wachsende 

Funktion bzw. monoton fallende Funktion genannt. (…) Funktionen, die der 

Bedingung f(x2) > f(x1) bzw. f(x2) < f(x1) genügen, d.h. das Gleichheitszeichen (von 

oben) ist nicht zugelassen, nennt man eigentlich oder streng monoton wachsend bzw. 

fallend.“ BRONSTEIN ET AL. (2001, S. 50) 

• Lokale Extrema: „Das erste, hinreichende, Kriterium liegt dicht am „intuitiv- 

anschaulichen Verstehen“ und lautet wie folgt. „Ist fΝ(x0) = 0 und wechselt fΝ bei x0 

das Vorzeichen von – nach + (von + nach –), so hat f bei x0 ein lokales Minimum 

(Maximum).“ Bei diesem Kriterium kann man sich jedoch nicht nur auf die 

Betrachtung der Stelle x0 beschränken, sondern muss eine ganze Umgebung von x0 ins 

Visier nehmen. Dies führt auf der Suche nach einem Kriterium, bei dem es ausreicht 

die Stelle x0 zu betrachten, zum zweiten Kriterium: „Ist fΝ(x0) = 0 und fΝΝ(x0) > 0, so 

besitzt f bei x0 ein lokales Minimum. Entsprechend folgt aus fΝ(x0) = 0 und fΝΝ(x0) < 

0 die Existenz eines lokalen Maximums.“ Jedoch führt dieses Kriterium nicht bei jeder 

Funktion zum Ziel, so versagt es z.B. bei f(x) = x 4 beim Aufspüren des Minimums im 

Nullpunkt. 

• Wendepunkte: Bei den Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten, so geht 

z.B. der Graph von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung über, oder 

umgekehrt. Übliche Kriterien sind die beiden nachfolgend genannten. Da wäre 

erstens: „Ist fΝΝ(x0) = 0 und wechselt fΝΝbei x0 das Vorzeichen, so hat f bei x0 einen 

Wendepunkt.“ Und zweitens: „Ist fΝΝ(x0) = 0 und fΝΝΝ(x0) 0, so hat f bei x0 einen 

Wendepunkt.“


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Die oben genannten Kriterien sind durch die „gemeinsame Leitidee“ der „Änderung“ 

verbunden. Ihre Entwicklung und Begründung stützt sich auf die Änderung des 

Monotonieverhaltens, was auch der Grund für die zentrale Rolle des Monotoniekriteriums ist. 

(vgl. DANCKWERTS/VOGEL (2006, S. 135ff)) 

4.2. Wege der Öffnung 

Um der Kurvendiskussion eine „dauerhafte“ Zukunft einräumen zu können, muss an der 

Öffnung der Perspektiven gearbeitet werden. DANCKWERTS und VOGEL sehen folgende 

Ansatzpunkte für Veränderungen: 

• Stärkere Betonung qualitativer Analysis 

• Einbeziehung von Anwendungskontexten 

• kluge Nutzung neuer Technologien 

• veränderte Aufgabenkultur DANCKWERTS/VOGEL (2006, S. 147) 

So ist bei der konkreten Behandlung einer Aufgabe der „frühe Blick auf die graphische 

Darstellung“ überaus sinnvoll und schafft eine „ganz andere Orientierung für die 

Auseinandersetzung“ mit der Funktion/Funktionenschar und wird nicht „von vornherein 

fixiert auf die algebraisch ausgerichtete Abarbeitung eines eingeschliffenen Programms“. Bei 

einer „experimentellen Orientierung“ kann man sich auch den bzw. die Graphen (bei einer 

Funktionenschar für verschiedene Parameter) mit Hilfe eines „Funktionsplotters“ ausgeben 

lassen. „In jedem Fall wird eine heuristisch-aktive Grundhaltung gegenüber der gesamten 

Aufgabe begünstigt.“ (vgl. DANCKWERTS/VOGEL (2006, S. 148f)) 

Mit Hilfe eben genannter „Funktionsplotter“, lassen sich beispielsweise Funktionenscharen 

„eher dynamisch betrachten“ und dadurch die „Invarianten erkunden“. Für die Begründung 

der dadurch „vermuteten Ergebnisse“ muss bei diesem Ansatz jedoch wieder auf den 

Funktionsterm zurückgegriffen werden. Die Lernstation bietet zusätzlich die Möglichkeit am 

realen Objekt anschaulich-geometrisch zu argumentieren. Wichtig ist der Platz für 

„heuristische Aktivitäten“ in einer eher „divergent angelegten Aufgabenstellung“ (vgl. 

DANCKWERTS/VOGEL (2006, S. 149)).


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DANCKWERTS und VOGEL sind der Überzeugung, dass zu einer „lebendigen Kurvendiskus- 

sion“ Elemente gehören, in denen sich „algebraische (analytische) und geometrische Denk- 

wiesen begegnen“. Weiter kann man die Schüler dazu anhalten, z.B. bei der Bestimmung 

lokaler Extrema, ihre Ergebnisse ohne das „Ableitungskalkül“ zu begründen, was ein 

„begriffliches Verständnis lokaler Extrema“ voraussetzt bzw. verlangt. 

Ebenso kann man Fragen zu bestimmten Punkten des Graphen der Funktion stellen (z.B. 

Wendepunkte) und in welcher Weise sie als „besondere Punkte“ im Graphen der Ableitungs- 

funktion auftauchen, denn eine „allgemeine Begründung erfordert ein intuitiv-geometrisches 

Verständnis“ (in obigem Beispiel von Wendepunkten und lokalen Extrema sowie eine 

qualitative Argumentation über die Änderung des Monotonieverhaltens der Ableitungsfunk- 

tion). Für die Lösungsdarstellung werden Elemente eines „mathematischen Aufsatzes“ benö- 

tigt (vgl. DANCKWERTS/VOGEL (2006, S. 150)). 

„Anwendungen im Sinne echter modellbildender Aktivitäten erfordern eine gründliche 

Auseinandersetzung mit einem außermathematischen Sachkontext, der dann mathematisiert 

wird. Für den Unterricht geeignete Beispiele sind deshalb rar, weil einerseits eine 

sachgerechte Beschäftigung mit dem Kontext alle Beteiligten schnell überfordert und den 

verfügbaren Rahmen sprengt und andererseits eine adäquate Mathematisierung mit 

schulmathematischen Mitteln oft nicht gelingt. Dennoch gibt es einige wenige gute und 

erprobte Beispiele, die einen relevanten Sachkontext berühren, für die Erfahrungswelt der 

Schüler eine gewisse Authentizität beanspruchen können und die schulmathematischen (hier 

die schulanalytischen) Möglichkeiten nicht übersteigen. Zu diesen Beispielen zählt die 

‚Milchtüte’, mit deren Behandlung man in natürlicher Weise im Herzen der Kurvendiskussion 

ist.“ (DANCKWERTS/VOGEL (2006, S. 154). Näheres zum Beispiel der „Milchtüte“ und deren 

Behandlung ist in DANCKWERTS/VOGEL (2006, S.154ff) zu finden. 

Abschließend kann man sagen, dass die traditionelle Kurvendiskussion eine unangefochtene 

Stellung im Analysisunterricht inne hat, und um einer Erstarrung in „algorithmischer Orien- 

tierung“ entgegenzuwirken schon eine „leichte Akzentverschiebung“ ausreicht. „Es ist schon 

viel gewonnen, wenn man seine Aufmerksamkeit richtet auf 

• eine stärkere Betonung qualitativer Elemente der Kurvendiskussion


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• die Einbeziehung von Sachkontexten 

• die konsequente Nutzung der Rechnermacht und 

• die Einbeziehung divergenter Elemente bei der Aufgabenstellung.“ 

(DANCKWERTS/VOGEL (2006, S. 164f)) 

Genau dieser Zugang wird in der, im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Lernstation, be- 

schritten.

Alternativer Zugang zu einer echten Kurvendiskussion 23 

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5. Alternativer Zugang zu einer echten Kurvendiskussion 

Um in das Thema der Kurvendiskussion nicht „trocken“ oder rein „theoretisch“ einsteigen zu 

müssen kann die Behandlung der Thematik „Kurvenerzeugende Sehnen“ eine echte Berei- 

cherung sein. Das Thema „Kurvenerzeugende Sehnen“ bietet die Möglichkeit eine „echte“ 

Kurvendiskussion durchzuführen, ohne das übergeordnete Themengebiet der „Kurvendiskus- 

sion“ erwähnen oder deren Methoden (siehe 4.1.) verwenden zu müssen. 

Bevor ich näher auf die Lernstation eingehe, ist noch die Frage zu klären, was unter dem 

Begriff „Kurvenerzeugende Sehnen“ zu verstehen ist. Dazu möchte ich anhand eines 

Beispiels zeigen, wie eine Sehne eine Kurve „erzeugen“ kann. 

Einem Kreis, als Beispiel einer Basisfigur wird eine Sehne mit beliebiger Länge einbeschrie- 

ben (siehe Abbildung 5). P sei der Anfangspunkt der 

Sehne und Q der Endpunkt. Dabei kann Q beliebig 

auf der Kreislinie verschoben werden, während der 

Punkt P auf der Kreislinie fest bleibt. Wird der Punkt 

Q, ausgehend von Punkt P auf der Kreislinie (mit 

konstanter Geschwindigkeit) entgegen dem Uhrzei- 

gersinn, verschoben, dann ändert sich der von Q auf 

der Kreislinie zurückgelegte Weg x (grün) und die 

Sehnenlänge s (rot). Trägt man nun die Sehnenlänge 

s in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg x in ein 

„x-s-Diagramm“ auf, so entsteht eine für die Basisfi- 

gur typische Kurve. Diese Kurve ist von der Sehne s „erzeugt“ worden. 

M 

P 

Abbildung 5: Kreis mit Sehne 

Betrachtet man andere Basisfiguren, wie zum Beispiel das Dreieck, das Quadrat, usw. so 

erhält man auch hier wieder, von der Sehne s „erzeugte“ und für die jeweiligen Figur typische 

Kurven. Es handelt sich insgesamt dabei um von „Sehnen erzeugte Kurven“. 

s 

Q 

x

24 Alternativer Zugang zu einer echten Kurvendiskussion 

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5.1. Ziele der Lernstation 

Die Lernstation wurde aufgebaut, um verschiedene Ziele zu erreichen oder zumindest dazu 

beizutragen. Diese Lernziele lassen sich aufgrund ihrer „Eigenschaften“ in verschiedene 

Kategorien unterteilen. Da wären zum einen die „allgemeinen Ziele“ (außermathematische 

Ziele), die nicht fachspezifischer Natur sind. Zum anderen gibt es die „innermathematischen 

Ziele“, sie dienen zur Erweiterung des Grundwissens des Schülers oder zur Aneignung 

komplett neuer Wissensgebiete. 

Nachfolgend möchte ich eine Gliederung der Ziele meiner Lernstation angeben, deren 

konkrete „Umsetzung“ erst im nächsten Abschnitt (5.2.) näher betrachtet wird. 

Allgemeine Ziele der Lernstation: 

• Die Förderung der Interpretationsfähigkeit der Schüler ist ein wichtiges Ziel, das durch 

wechselseitige Betrachtungen von Figur bzw. Realmodell und zugehörigem Graphen, 

ergänzt durch entsprechende Fragestellungen, erzielt werden soll. 

• Eine Förderung der geistigen Aktivität und des entdeckenden Lernens ist durch die 

Station selbst begründet, da zum einen von den Schülern in vielen Aufgaben echte 

Problemlösungen gefordert werden und zum anderen der gesuchte Zusammenhang durch 

experimentelles Arbeiten selbst erarbeitet werden muss. 

• Die Förderung des eigenständigen Arbeitens ist ein Nebenziel, das nicht explizit 

angestrebt wird, aber als positiver Nebeneffekt auftritt, wenn alle Schüler, zu Beginn der 

Lernstation, verschiedene Sätze von Arbeitsblättern („Kreis“, „Dreieck“, „Quadrat“, 

„Fünfeck“) zum eigenständigen Durcharbeiten erhalten. 

• Eine allgemeine Förderung des Anschauungsvermögens soll beiläufig und somit als 

Nebenziel durch den Umgang mit Realmodellen und bildlichen Figuren erreicht werden. 

• Die Förderung der Kommunikationsfähigkeit spielt eine eher untergeordnete Rolle und 

wird nur leicht bei einer entstehenden „Diskussion“ über die Vorgehensweise bei der 

Formelherleitung angeschnitten. 

• Das sprachliche Ausdrucksvermögen ist nicht unbedingt als ein Nebenziel anzusehen, 

da viele Schüler große Schwierigkeiten damit haben die fachübliche Terminologie richtig


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anzuwenden und korrekt auszudrücken was sie eigentlich meinen. Es soll dadurch 

unterstützt werden, dass die gestellten Aufgaben schriftlich zu beantworten sind. 

• Eine Förderung des Umgangs mit einem Computer ist wichtig, da dieser aus unserer 

heutigen Gesellschaft nicht mehr wegzudenken ist. Der Umgang ist allerdings als 

Nebenziel anzusehen und erfolgt durch das „Arbeiten am Computer“ ergänzt durch 

Hilfestellungen, die den richtigen Umgang erklären, und wird somit für die Station 

vorausgesetzt. 

Innermathematische Ziele der Lernstation: 

• Das „Bewegliche Denken“ soll durch den Umgang mit Computersimulationen aber auch 

durch Aufgabenstellungen gefördert werden, die von den Teilnehmern verlangen in ein 

scheinbar statisches Problem eine Bewegung hinein zu sehen und von ihnen verlangt mit 

solchen „Bewegungen“ zu argumentieren (z.B. in „F1“). 

• Eine Förderung des „Funktionalen Denkens“ soll durch das Verwenden verschiedener 

Darstellungen angeregt werden. Die geschieht in der Station dadurch, dass man von der 

ersten Darstellungsform, der Figur mit Sehne zur zweiten Darstellungsform, der 

Wertetabelle, zur dritten Darstellungsform, dem Funktionsgraph und letztlich zum Funk- 

tionsterm wechselt. Diese Formen geben immer nur einen Teilaspekt an, so dass mit ihrer 

Hilfe auf das „Ganze“ geschlossen wir und umgekehrt. Das funktionale Denken zählt zu 

den absoluten Hauptzielen der Station. 

• Um ein besseres Verständnis von Funktionen zu erzielen wird der formelmäßige 

Zusammenhang nur bei der Formelherleitung behandelt, und spielt in der gesamten 

Station nur eine untergeordnete Rolle. Die Hauptüberlegungen zur Funktion finden an 

den Darstellungsformen Graph, Realmodell und Computersimulation statt, so dass nicht 

ein Rechenschema im Vordergrund steht sondern die realen Vorgänge. 

• Die Förderung einer anschaulich-geometrischen Argumentation und qualitativer 

Analysis erfolgt durch Fragestellungen wie „Erkläre anhand der Figur den Graphenver- 

lauf“. 

• Eine wechselseitige Interpretation von Figur und Graph bzw. sinnentnehmendes 

Lesen wird durch den Fragenkatalog „F2“ des dritten Arbeitsblattes und die ergänzenden 

Fragestellungen auf dem Blatt „Hilfe zu P10“ geschult.


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• Eine Vermeidung der Einengung des Verständnisses vom Funktionsbegriff bzw. der 

Abbau voneinander isolierter Vorstellungen und die Förderung einer ganzheitlichen 

Sicht ist in der Station selbst begründet, denn hier wird das Problem mit Hilfe 

verschiedener Darstellungsformen, Fragestellungen und Computersimulationen betrach- 

tet, was dazu führt, dass es aus den unterschiedlichsten Perspektiven angegangen und 

behandelt wird. 

• Das Erkennen der Vorzüge verschiedener Darstellungsformen und ihre Nutzung 

erfolgt indirekt und gleichmäßig über die ganze Station verteilt. Es wird in Fragestellung- 

en wie „Halte deine neuen Erkenntnisse auf den entsprechenden Blättern in einer anderen 

Farbe fest und verbessere gegebenenfalls deine Fehlvorstellungen.“ berücksichtigt. 

• Das Erfassen experimenteller Zusammenhänge findet in mehreren Schritten statt, zum 

ersten beim Experimentieren mit Realmodellen, zum zweiten beim Herleiten eines 

Funktionsterms anhand der betrachteten Figur und letztlich beim Umgang mit den 

Computersimulationen. 

• Die Fähigkeit Graphen auf ihre Richtigkeit zu überprüfen wird von den Schülern 

direkt und indirekt auf Arbeitsblatt 3 gefordert, z.B. wenn sie markante Punkte des Gra- 

phen anhand der zugrunde liegenden Figur (markante Punkte) erklären sollen. 

• Das Beschreiben von Abhängigkeiten wird auf den Arbeitsblättern (in „F1“ und „F2“) 

sowie bei der Formelherleitung gefordert und erfolgt schriftlich in Worten und Formeln. 

• Die Fähigkeit eine Verbindung zwischen Geometrie und Algebra herzustellen soll 

durch wechselseitige Betrachtungen (anhand von Fragestellungen) von Figur bzw. 

Realmodell, Graph und Computersimulation gefördert werden. 

• Die Fähigkeit verschiedene Darstellungsformen ineinander umzuwandeln wird bei der 

Station benötigt und durch das Anfertigen eines Graphen anhand der Wertetabelle geübt 

bzw. vertieft und ist als ein kleines Nebenziel anzusehen, gerade weil die Schüler hierfür 

erfahrungsgemäß viel Zeit benötigen. 

• Die Förderung des Umgangs mit einer DGS (Dynamische Geometrie Software) wird in 

der Station nur angeschnitten, da die Mathematiksoftware in einer stark vorstrukturierten 

Form (GeoGebra-Applets) zur Verfügung steht. Ergänzt werden die Applets durch ent- 

sprechende Hilfestellungen zum Umgang mit der Software. Die Schüler müssen die DGS 

also nicht als Werkzeug einsetzen, sondern mit der vorstrukturierten Lernumgebung 

arbeiten.


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• Die Förderung der Argumentationsfähigkeit ist ein weiteres Nebenziel, das durch das 

gemeinsame Bearbeiten der Arbeitsblätter zur Formelherleitung (am „Kreis“, am 

„Dreieck“), jedoch noch mehr durch die Beantwortung der Fragenkataloge „F1“ und 

„F2“ angestrebt wird. 

• Die Fähigkeit zum Analogisieren wird durch das zweimalige (kurz hintereinander 

durchgeführte) Herleiten eines Funktionsterms (an unterschiedlichen Figuren) gefördert 

und ist als ein kleines Nebenziel anzusehen. 

• Eine Unterstützung eigener Lösungswege und Strategien findet man in der Station 

explizit in den „Hilfen zur Formelherleitung“, welche verschiedene Lösungsansätze und 

Strategien bis zur endgültigen Formelberücksichtigen. 

• Präzises Messen wird beim ausfüllen der Wertetabelle mit Messwerten (Maßband / 

Lineal) geübt. 

• Das Erkennen und Ausnutzen von Symmetrien ist ein kleines Ziel dieser Lernstation, 

und kann, falls die Symmetrien schon vor der eigentlichen Frage (Arbeitsblatt 3) erkannt 

werden, beim Ausfüllen der Tabelle und beim späteren Zeichnen des Funktionsgraphen 

hilfreich sein. Des Weiteren ist die Symmetrieeigenschaft ein Hilfsmittel, den gezeichne- 

ten Graphen auf Richtigkeit zu überprüfen.


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5.2. Beschreibung der Lernstation 

Bevor ich zur „Beschreibung der Lernstation“ komme, möchte ich noch ein paar Worte zum 

übergeordneten Projekt, dem „MATHEMATIK-Labor“ verlieren, in welches die Station 

„Kurvenerzeugende Sehnen“ eingebettet ist. 

5.2.1. Konzept des MATHEMATIK-Labors 

Das „MATHEMATIK-Labor“ ist als „Drei-Phasen-Labor“ konzipiert und wird sowohl Schul- 

klassen als auch Lehramtsstudierenden im Rahmen von Seminaren in der Ausbildung angebo- 

ten werden. Es ist so angelegt, dass jede Station von den Seminarteilnehmern ohne äußere 

Anweisung durchgearbeitet werden kann, womit auch schon das erste Lernziel, das 

„eigenständige Arbeiten“, angesprochen wäre. 

Was spricht für das Konzept des eigenständigen Lernens und Arbeitens? Meiner Meinung 

nach bietet es den Schülern die Möglichkeit das jeweilige Thema selbst zu erschließen und zu 

erarbeiten und sich soviel Zeit zu nehmen, wie sie zum individuellen Verstehen benötigen, 

was zu einer tieferen und sichereren Verankerung des neu erworbenen Wissens im Gedächtnis 

führt. 

AFFOLTER schreibt, dass die “Unterrichtsform des aktiv-entdeckenden Lernens“ es dem 

Lernenden ermöglicht „Beobachtungen aus einem Experiment für eigene Vorhersagen und 

Interpretationen zu nutzen und dabei Grundvorstellungen und Begriffe zum ‚Denken in 

Funktionen’ aufzubauen und zu entwickeln“ AFFOLTER (2005, S. 8f). Diese „These“ stützt 

sich auf folgenden Hintergrund: 

1. Inhaltliche Konzentration: Die Konzentration auf mathematische Grundideen und auf 

bedeutsame Anwendungen ermöglicht eine intensive Auseinandersetzung mit den Inhalten und 

führt zu mehr Sicherheit.


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2. Reichhaltige Problemstellungen 11 : In Lernumgebungen mit ästhetischen und experimen- 

tellen Aspekten sowie vielfältigen Sachbezügen können sich Lernende mit unterschiedlichen 

Voraussetzungen mathematisch sinnvoll betätigen. 

3. Nachhaltige Veranschaulichung: Wenige, aber ergiebige und auf die mathematischen 

Grundideen abgestimmte Darstellungsweisen, Modelle und Arbeitsmaterialien verhelfen zu 

einem besseren Verständnis. 

4. Aktiv-entdeckendes Lernen: Die Struktur der Lernumgebungen lädt zum operativen Er- 

schließen ein, unterstützt eigenständiges Forschen und provoziert die Reflexion des eigenen 

Tuns. 

5. Individuelles und dialogisches Lernen: Die Art der Problemstellungen und Übungsanla- 

gen ermöglicht persönliche stimmige Lernwege und leitet zu Kommunikation und Lernen im 

Team an. 

(vgl. AFFOLTER (2005, S.9)) 

Die Wichtigkeit von Selbsttätigkeit beim Lernen wird auch von FEND herausgestellt: 

„Optimales Lernen erfolgt durch eigenes Tun, durch Eigenaktivitäten und nicht durch schlichtes 

Zuschauen, wenngleich auch letzteres einen wichtigen Beitrag leisten kann.“ FEND (1998, S. 

380) 

Allerdings gibt ULM im Hinblick auf „eigenverantwortliches Arbeiten“ folgendes zu beden- 

ken: „Lernen ist ein individueller Prozess, er ist von außen nur bedingt steuerbar.“ ULM (2003, S. 

47). Die eigentlichen Lernprozesse laufen im Inneren jedes Einzelnen ab, indem jeder sein 

eigenes, persönliches „Denk-Netz“ knüpft. ULM ist der Überzeugung, dass das was man selbst 

erarbeitet hat, wozu man selbst einen (affektiven) Bezug aufgebaut hat, dauerhafter nutzbar 

bleibt, als wenig „reflektierte, vom Lehrer übernommene Fakten“. 

Gerade deshalb müssen z.B. „dynamische Arbeitsblätter“ Schülern Freiräume bieten, um sich 

eine neue Thematik eigenständig zu erarbeiten, diese zu verstehen, und in das bereits vorhandene, 

persönliche Vorwissen einzuordnen. „Jeder Schüler besitzt eigene Denkmuster und ein 

persönliches Tempo bei diesen Verarbeitungsprozessen. Deshalb erscheint es sinnvoll und 

11 

Nach FLEWELLING (2004, S. 10) ist ein e L ernsitu atio nen reichhaltig, wenn sie den Schülerinnen und Schülern ermöglicht, ihr Wissen 

kreativ und effektiv in einem Sinnzusammenhang anzuwenden (oder sie lernen, es anzuwenden), um gezielt Fragen zu entwickeln, 

Untersuchungen anzustellen, zu experimentieren, sowie P robleme zu lö sen u n d auf s d ie e W e i s e 

• sich neues Wissen anzueignen und im Laufe dieses Prozesses 

• ein Mensch zu werden, der den Dingen mit Verstand auf den Grund geht.


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zweckmäßig, diese Phase der Auseinandersetzung mit dem Neuen jeden Schüler individuell 

durchlaufen und durchleben zu lassen.“ ULM (2003, S. 47) 

Zum eigenständigen Lernen gehört auch der Umgang mit dem Computer, welcher in jeder 

Station des Lernlabors eine wichtige Rolle spielt und sogar eine eigene Phase des „Drei- 

Phasen-Labors“ einnimmt. 

WEIGAND und WETH sind der Ansicht, dass ein an Selbsttätigkeit orientierter Unterricht (womit 

meiner Meinung nach durchaus auch eine Lernstation gemeint sein kann) Ziele wie „Entwicklung 

von Selbstständigkeit, kritisches Reflektieren der eigenen Tätigkeit, Motivation durch eigenen 

Erfolg“ sowie den Aspekt „aus eigenen Fehlern lernen“ anstrebt. „Alle bisherigen Erfahrungen zum 

Einsatz neuer Technologien zeigen, dass mit dem Einsatz des Computers als Werkzeug in der Hand 

des Schülers eine größere Selbsttätigkeit einhergeht. Der Computer ist ein Katalysator für 

verschiedene Formen des individualisierten Unterrichts, der Partnerarbeit und kooperativer Arbeits- 

formen, womit die Hoffnung verbunden ist, dass sich bei diesen Unterrichtsformen eine größere 

Selbsttätigkeit entwickelt.“ WEIGAND/WETH (2002, S. 33) 

Dies ist ein Grund dafür, dass in jeder Station des MATHEMATIK-Labors der Computer eine 

wichtige Rolle in der dritten Phase des „Drei-Phasen-Labors“ spielt. 

WEIGAND und WE T H warnen jedoch: „Selbsttätigkeit darf nicht in zielloses Hantieren oder in 

unproduktiven Aktionismus abgleiten. Aufgrund der hohen Geschwindigkeit, mit der 

Computer Rückmeldungen auf Fragen geben können, ist die Gefahr eines bloßen ‚Versuch-und- 

Irrtum-Verfahrens’ und eines blinden Aktionismus beim Arbeiten mit neuen Technologien sehr 

groß.“ WEIGAND/WETH (2002, S. 34) Weiter geben sie zu bedenken, die Grenz en des „Prinzips 

der Selbsttätigkeit“ nicht zu übersehen, denn „Selbstständiges Lernen setzt Wissen voraus“ und 

es ist nicht möglich, alles selbstständig erarbeiten zu wollen (vgl. WEIGAND/WETH (2002, S. 

34)). Für die Station hat das die Konsequenz, dass die Computersimulationen nicht von den 

Schülern erstellt werden 12 , sondern bereits vorgegeben sind, so dass ohne größeren Aufwand 

mit ihnen gearbeitet werden kann. Die Schüler werden jedoch beim Arbeiten nicht alleine 

gelassen, sondern bekommen Hilfen und Anweisungen in Form von schriftlichen Hilfestellung- 

en an die Hand. 

12 Dies würde den zeitlichen Rahmen bei weitem sprengen und die Schüler überfordern.


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Nun möchte ich noch einmal auf das „MATHEMATIK-Labor“ zurückkommen und die drei 

„Phasen“ ansprechen, die jeder Station zugrunde liegen. 

In der ersten Phase sollen anhand entsprechend aufbereiteter Echtmodelle und/oder Holz-, 

Plastik- bzw. Metallmodelle Zusammenhänge experimentell erkannt, aufgezeichnet und 

analysiert werden. 

In der zweiten Phase geht es um das Auffinden und Darstellen der mathematischen Zusam- 

menhänge. Es geht um das Aufstellen von Vermutungen, das Überprüfen von Hypothesen 

und das Revidieren der Ausgangsdaten, also um ein typisch experimentelles problemlösendes 

Arbeiten. 

Und in der dritten Phase werden Computersimulationen zu den Problemstellungen systema- 

tisch variiert und so das Verständnis vertieft. 

Überträgt man nun diese Anforderungen auf das Thema „Kurvenerzeugende Sehnen“, dann 

sehen die Phasen so aus, wie in den folgenden Abschnitten. 

5.2.2. Phase 1: Experimentieren an Modellen 

Bevor ich ins Detail gehe, möchte ich einen groben Überblick über die erste Phase geben: 

Die Schülerinnen und Schüler werden zunächst durch Fragen dazu aufgefordert sich tiefgrei- 

fende Gedanken zum aktuellen Problem zu machen, bevor sie mit aus Holz hergestellten 

Schablonen, die einen Kreis, ein gleichseitiges Dreieck, ein Quadrat und andere regelmäßige 

n-Ecke darstellen, experimentieren. Es ist jeweils ein Gummiband als Sehne eingespannt. Hält 

man einen Endpunkt der Sehne fest und bewegt den anderen Endpunkt der Sehne auf der 

Peripherie des Kreises (bzw. regulären Polygons), so wird das Gummiband dabei unterschied- 

lich stark gedehnt. Auf diese Weise erarbeiten sich die Schülerinnen und Schüler eine 

intuitive Vorstellung von der Längenänderung und deren Änderungsverhalten in Abhängig- 

keit von der aktuellen Lage des zweiten Endpunktes der Sehne. Um ein genaueres Bild der 

eben gewonnenen Vorstellungen zu bekommen nehmen die Schüler an den Modellen


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Messungen vor und halten die gesammelten Werte in einer Tabelle fest. hier werden also 

Grunderfahrungen zu den interessierenden Phönomenen gesammelt. 

Dazu werden in der hier entwickelten Lernumgebung Arbeitsblätter, Arbeitsanweisungen, 

Hilfetexte und vor allem entsprechend aufbereitete Modelle zur Verfügung gestellt. 

Im Folgenden werden der Aufbau und die verwendeten Materialien der Station „Kurvenerzeu- 

gende Sehnen“ für die erste Phase beschrieben und erläutert. 

Für die Teilnehmer, die diese Station bearbeiten werden, wird es wahrscheinlich der erste 

Kontakt mit diesem Thema sein. Ich habe deshalb zur leichteren Orientierung einen Ablauf- 

plan (siehe Anhang C, S. 111ff) für die Lernstation erstellt. Er enthält alle wichtigen Anwie- 

sungen, um die Station mit Erfolg durchzuarbeiten. 13 Ich befinde mich hier im Einklang mit 

WEIGAND und WETH, die der Ansicht sind, dass Selbsttätigkeit nur sinnvoll erscheint in 

„Wechselbeziehung zu einem geplant strukturierten Unterricht, wozu u. a. Vorstrukturierung der 

Inhalte, …, Einplanung eines roten Fadens und prototypische Beispiele gehören.“ 

WEIGAND/WETH (2002, S. 34) Im vorliegenden Fall muss die Lernumgebung sowohl die 

Selbsttätigkeit ermöglichen als auch den roten Faden und die Struktur erkennbar vermitteln. 

Der „Ablaufplan der Lernstation“ beginnt mit einer Frage (erster Punkt des Plans), die da- 

rauf abzielt, den Stationsteilnehmern einen Anhaltspunkt zu geben, um was es bei der Station 

eigentlich geht. Das Ziel der Station ist es den Teilnehmern einen umfassenden Eindruck der 

Thematik zu vermitteln, so dass sie am Ende die nachfolgende Frage hoffentlich in all ihren 

Facetten beantworten können: 

Wie verändert sich die Länge der Sehne s einer Figur, wenn der Anfangspunkt P der 

Sehne fest bleibt und der Endpunkt Q auf der Berandungslinie der Figur (sagen wir 

gegen den Uhrzeigersinn) gleichmäßig 14 entlang des gesamten Umfangs der Figur 

bewegt wird? 

Bis es allerdings soweit ist, dass die Schüler diese Frage beantworten können, ist es noch ein 

langer Weg, der mit einer kleinen Einstiegsfrage, und dem zweiten Punkt des Ablaufplanes, 

fortgesetzt wird. 15 Die Eingangsfrage lautet: 

13 

Der Ablaufplan wird in Form eines kleinen Spiralblocks dargeboten, so dass immer nur die aktuelle 

„Anweisung“ zu sehen ist. 

14 

Gleichmäßig bedeutet hier mit konstanter Bahngeschwindigkeit. 

15 

Bevor die Einstiegsfrage bearbeitet wird, müssen die Stationsteilnehmer sich die aktuelle Uhrzeit notieren. 

Wozu das gut ist werde ich erst im fünften Punkt der Station ansprechen, wenn die notierte Uhrzeit zum Tragen 

kommt.


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Was versteht ihr unter dem Begriff Sehne? Versucht eine möglichst präzise und allgemeingültige 

Definition zu geben und schreibt sie auf (Die Formelsammlung ist als 

Hilfsmittel nicht erlaubt). Überprüft anschließend eure Definition mit der hierzu 

angegebenen Hilfe: „Hilfe zur Definition einer Sehne“ 

Das Ziel dieser Frage ist es, den Schülern die Grundlage ins Gedächtnis zu rufen, nämlich wie 

eine Sehne im Kreis definiert ist, und wie diese Definition für andere Figuren verallgemeinert 

werden muss. Um die unterschiedliche Denkweisen und Typen der Schüler anzusprechen sind 

in der entsprechenden Hilfe 16 zwei mögliche, allgemeingültige Definitionen gegeben, eine 

geometrische und eine mengentheoretische: 

Geometrische Definition: 

Die Sehne s einer Figur ist eine Strecke, die auf der Berandungslinie der Figur beginnt und endet. 

Mengentheoretische Definition: 

Hat eine Gerade mit einer Figur (Berandungslinie) mindestens zwei Punkte P und Q gemein- 

sam, so nennt man sie Sekante der Figur. Die Gesamtheit der im Inneren der Figur liegenden 

Punkte dieser Sekante zusammen mit den beiden Schnittpunkten auf der Berandungslinie 

nennt man Sehne s. 17 

Für diejenigen, die besser durch Visualisierung lernen ist noch eine Graphik eingefügt, die 

über alle wichtigen Bezeichnungen verfügt. 

Wenn die Schüler ihre Definition auf Richtigkeit überprüft haben, dann blättern sie einmal 

um, und es folgt der dritte Punkt des „Ablaufplans der Lernstation“: 

Jeder von euch nimmt sich nun einen anderen Arbeitsbogen: „Kreis“, „Dreieck“, 

„Quadrat“, „Fünfeck“. Arbeitet die Blätter, beginnend mit „Arbeitsblatt 1“, entsprechend 

den Anweisungen alleine durch. 

16 Die entsprechende Ausführung der „Hilfe zur Definition einer Sehne“ ist in Anhang C, S. 114 zu finden. 

17 Streng genommen lässt sich diese Definition nur bedingt auf eine andere Figur als den Kreis anwenden, denn 

wenn die dort erwähnte Gerade mit der Seite eines Vielecks zusammenfällt, so soll auch die Möglichkeit bestehen 

eine Sehne zu bekommen, die kürzer ist als die Schnittmenge zwischen Gerade und Vielecksseite, was 

ja die komplette Vielecksseite wäre.


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Für den „richtigen“ Start ins Thema habe ich mich zunächst für die Einzelarbeit entschieden, 

damit jeder Teilnehmer die Möglichkeit hat, für sich einen guten Einstig ins Themengebiet zu 

finden und damit seinen Denkwegen uneingeschränkt folgen zu können, da jeder Mensch 

einen andere Art zu lernen hat. 

Abbildung 6: Arbeitsblatt 1 (Kreis) – Vorderseite 

Jeder Schüler hat nun das „Arbeitsblatt 1“ (siehe Abbildung 6 oder Anhang B, S. 80) vor 

sich, auf dessen Vorderseite eine Figur mit Umkreisradius 8 cm zu sehen ist, und auf dessen 

Rückseite ein Arbeitsauftrag und Fragen zu finden sind. Exemplarisch sei hier nun der 

Arbeitsbogen zum Kreis herausgegriffen, an dem alles Nähere erläutert werden soll. Dies lässt 

sich ohne Probleme machen, da alle anderen Arbeitsbögen (Dreieck, Quadrat, Fünfeck) 

analog zum „Kreis“ aufgebaut sind und sich nur in Nuancen (in der Formulierung) unterschei- 

den.


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Abbildung 7: Arbeitsblatt 1 (Kreis) - Rückseite 

Der Arbeitsauftrag besagt, dass die Stationsteilnehmer die im „Fragenkatalog 1“ (siehe Abbil- 

dung 7 oder Anhang B, S. 81) aufgeführten Fragen bearbeiten und ihre Ergebnisse schriftlich 

festhalten sollen, und zwar ohne dabei irgendwelche Messungen anzustellen oder sonstige 

Hilfsmittel zu benutzen. Zur schriftlichen Fixierung stehen unter jeder Frage genügend Zeilen 

bereit. „Fragenkatalog 1“ setzt sich aus folgenden Fragen zusammen: 

1. Wie könnte der Zusammenhang zwischen Sehnenlänge und zurückgelegtem Weg auf der 

Berandungslinie der Figur aussehen? Gib eine begründete Vermutung an. (Eine Formel ist 

nicht verlangt!) 

2. Wann ist die Länge der Sehne s am größten und wann am kleinsten, für welche Lage von 

Q (P ist der Anfangspunkt und Q der Endpunkt der Sehne) hat die Sehnenlänge also ihr 

lokales Maximum bzw. Minimum, wenn P eine feste Position hat? Begründe deine 

Antwort! 

3. In welchen Phasen der gleichmäßigen Bewegung von Q (P ist der Anfangspunkt und Q der 

Endpunkt der Sehne) auf der Berandungslinie erfolgt die Änderung der Sehnenlänge lang-


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samer bzw. schneller? (Gleichmäßig bedeutet hier mit konstanter Bahngeschwindigkeit). 

Versuche dies unter Berücksichtigung des Gummibandmodells (siehe Arbeitsblatt 2) zu 

beschreiben. 

Das in Frage 3 zu berücksichtigende Gummibandmodell wird dann auf Arbeitsblatt zwei 

näher erläutert, wo es auch in der Station zu finden ist. 

An dieser Stelle möchte ich noch einmal explizit erwähnen, dass ich mich bewusst für die 

Formulierung „bearbeiten“ entschieden habe, da es zu Beginn so gut wie unmöglich ist, alle 

Fragen bzw. Fragestellungen richtig und vollständig zu beantworten. Dennoch sollen die 

Stationsteilnehmer sich ausgiebig mit den Fragen auseinandersetzen, diese „im Hinterkopf“ 

behalten und dann eben nur einige Vermutungen bzw. vorläufige Antwort abgeben. Dies ist 

auch der Grund dafür, dass noch keine Messungen angestellt werden müssen/sollen, sondern 

die Abläufe im Geiste zu vollführen und abzuhandeln sind. 

ROTH, schreib dazu: „Bilder können Werkzeuge sein, um Denkprozesse anzustoßen. Dazu 

sind eine intensive Auseinandersetzung mit der und das Hineindenken in die Problemstellung 

notwendig. Die hierzu erforderliche Muße stellt sich erfahrungsgemäß sehr viel leichter ein, 

wenn, wie bei einem Bild, zunächst keine Gelegenheit zur experimentellen Herangehensweise 

besteht. (Im Gegensatz dazu existieren z.B. bei DGS viele Möglichkeiten zur evtl. 

unreflektierten Variation.).“ ROTH (2005B, S. 483) 

Wichtig für die Lernstation ist auch das „schriftliche Festhalten“ der Ergebnisse bzw. Vermu- 

tungen, denn „das Aufschreiben von Gedanken führt zu deren Ordnung und Verfestigung 

sowie zu einer tiefer gehenden Durchdringung der jeweiligen Thematik.“ ULM (2003, S. 47) 

Deshalb werden die Schüler immer wieder aufgefordert, ihre Beobachtungen und Ergebnisse 

mit Skizzen handschriftlich festzuhalten. „Die Schweizer Didaktiker P. GALLIN und U. RUF 

sprechen in [4] 18 von dem Schülerheft als ‚Werkstatt des geistigen Tuns’, als ‚Reisetagebuch’, 

in das die Schüler all ihre Gedanken, ausprobierten Wege - auch die verworfenen -, alle von 

außen erhaltenen Impulse und insbesondere all ihre Ergebnisse selbständig aufnehmen. Das 

Heft soll die Schüler bei ihrer Beschäftigung mit dynamischen Arbeitsblättern wie ein 

Tagebuch begleiten. In diesem Sinne ist das Schülerheft ein Lern- und Arbeitsheft, kein 

abgeschriebenes Exzerpt eines Lehrbuchs.“ ULM (2003, S. 47) 

18 GALLIN/RUF (1999)


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Überträgt man diese Aussage auf die Lernstation, so ist ein Schülerheft überdimensioniert. 

Dennoch sollen die Ergebnisse und Erkenntnisse schriftlich fixiert werden. Dazu dienen die unter 

den Fragen bereitgestellten Hilfslinien, wie sie in Abbildung 7 zu finden sind. 

Abbildung 8: Arbeitsblatt 2 (Kreis) - Vorderseite 

Nachdem sich die Schüler mit dem ersten Arbeitsblatt befasst haben, wird das „Arbeitsblatt 

2“ (siehe Abbildung 8 & 9 oder Anhang B, S. 82f) in Angriff genommen, auf dessen Vorder- 

seite (siehe Abbildung 8) wieder die entsprechende Figur sowie eine Tabelle (ohne Werte für 

x/s(x)) mit Arbeitsanweisung zu finden ist. Diese Arbeitsanweisung besagt, dass die Tabelle 

mit repräsentativen Werten zu füllen ist, und verweist auf die Hilfsmittel und entsprechenden 

Anweisungen auf der Rückseite des Blattes.


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Abbildung 9: Arbeitsblatt 2 (Kreis) - Rückseite 

Auf der Rückseite (siehe Abbildung 9) werden die Hilfsmittel Holzmodell, Maßband und 

Schablone fürs Holzmodell aufgeführt (siehe Abbildung 10), und darauf hingewiesen, dass 

die Werte für die Tabelle nur durch Messen zu 

gewinnen sind, und eine Berechnung unzulässig 

ist 19 . Nähere Erläuterungen zu den Holzmodellen 

sind in Kapitel 5.4. zu finden. Durch das Erstellen 

der Tabelle (bzw. das Messen der verschiedenen 

Größen) sollen die Stationsteilnehmer etwas näher 

an die auftretenden Zusammenhänge herangeführt 

werden. Nach BUERGER bekommen Schüler näm- 

lich durch die Arbeit mit Tabellen ein Gespür da- 

Abbildung 10: Holzmodell mit Schablone 

19 Dies hat den einfachen Grund, dass die Testdurchläufe gezeigt haben, dass die Berechnung der Werte zur 

Sprengung des Zeitrahmens enorm beitrug. Weiter sei noch erwähnt, dass sämtliche Holzmodelle anhand der 

von mir gefertigten Baupläne (siehe Anhang D, S. 106ff) von einer Schreinerei gefertigt wurden.


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für, wie sich Änderungen bei funktionalen Zusammenhängen auswirken. Spielerisches 

Aufstellen von Tabellen und systematisches Probieren vermitteln meist mehr Einsicht in 

funktionale Zusammenhänge als ein verfrühtes Lösen“ von Aufgaben. BUERGER (1996, S. 14) 

Den hier im Zentrum stehenden Umgang mit den Holzmodellen hält FOSTER für besonders 

wichtig, denn „gerade Experimente können eine gute Möglichkeit sein, Beispiele und 

Ergebnisse im Gedächtnis nachhaltig zu verankern.“ FORSTER (2005, S. 12) 

ROTH weist noch besonders darauf hin, dass „im Hinblick auf das Verständnis des Funktions- 

begriffs“ in der Literatur darauf verwiesen wird, „dass es fruchtbar ist eine Verbindung 

zwischen Geometrie und Algebra zu suchen bzw. herzustellen.“ Und „bei komplexeren Zu- 

sammenhängen kann es notwendig und hilfreich sein, die eigenen Überlegungen auf 

Verständnisgrundlagen zu stützen, die auf Handlungen basieren und dadurch unmittelbar 

einsichtig sind. Solche ‚Modelle’ (vgl. Gummibandmodell) fokussieren die Aufmerksamkeit 

auf den Kern eines Problems und dienen gleichzeitig als tragfähige Basis zur Problemlösung.“ 

ROTH (2005B, S. 481) 

Auf dem Arbeitsblatt 2 wird das schon auf dem ersten Blatt erwähnte Gummibandmodell 

wie folgt erläutert: 

Man stelle sich die Sehne s als Gummiband vor, das man an einer Seite festhält und spannt. 

Wie (d.h. in welche Richtung) muss man am 

anderen Ende ziehen, damit sich die Länge des 

Gummibandes maximal bzw. überhaupt nicht 

ändert? Die maximale Längenänderung erfolgt 

offensichtlich, wenn man in die durch die 

aktuelle Lage des Gummibandes festgelegte 

keine 

Längenänderung 

90 ° maximale 

Längenänderung 

Richtung weiter zieht (siehe Abbildung 11). Keine Änderung erfolgt, wenn man senkrecht zur 

aktuellen „Sehnenrichtung“ zieht. Konsequente Fortsetzung dieser Zugwiese führt zu einer 

Kreisbewegung der Hand, wobei das Gummiband als Radius des Kreises seine Länge nicht 

verändert. 

Auf der enaktiven Ebene, wenn also z. B. mit einem realen Spanngummi gearbeitet wird, 

kann man über die aufzuwendende Zugkraft die aktuelle Änderungsrate der Längenänderung 

sogar fühlen. 

Abbildung 11: Gummibandmodell


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Das Ziel des zweiten Arbeitsblattes ist es konkrete Messwerte zu erhalten, mit denen später 

noch gearbeitet werden kann. Dies führt als Nebeneffekt zu einer intensiven Auseinanderset- 

zung mit den Modellen. 

An dieser Stelle endet die erste Phase, das Experimentieren an Modellen, und die zweite 

Phase beginnt. 

5.2.3. Phase 2: Mathematisieren 

Bevor ich wieder ins Detail gehe, möchte ich einen Überblick über die zweite Phase geben: 

Die Schülerinnen und Schüler setzen die in der ersten Phase gewonnen Werte in einen 

Graphen um und versuchen den qualitativen Verlauf der Kurve anhand der Basisfigur, unter 

Zuhilfenahme gestellter Fragen, zu beschreiben. Wenn dies geschehen ist, werden die bis- 

herigen Ergebnisse sowie die experimentell gewonnene Kurve kurz am Computer kontrolliert. 

Anschließend gehen die Schülerinnen und Schüler dazu über, für ausgewählte Beispiele, die 

kennengelernten Zusammenhänge formelmäßig zu beschreiben (Formelherleitung). Zur 

Kontrolle der erarbeiteten Formel wird nun kurz der Computer herangezogen, bevor man ihn 

in der dritten Phase ganz intensiv nutzt. 

Dazu werden in der hier entwickelten Lernumgebung Arbeitsblätter, Arbeitsanweisungen und 

Hilfetexte zur Verfügung gestellt. Im Folgenden werden der Aufbau und die verwendeten 

Materialien der Station „Kurvenerzeugende Sehnen“ für die zweite Phase beschrieben und 

erläutert. 

Die in der ersten Phase gewonnen Messwerte sollen jetzt auf Arbeitsblatt 3 (siehe Abbildung 

12 & 13 oder Anhang B, S. 84f) in einen Graphen umgesetzt werden, für den ein Koordina- 

tensystem auf der Vorderseite (siehe Abbildung 12) des Blattes bereitgestellt wird, denn 

„Verständnisgrundlagen zum Funktionsbegriff fußen auf konkreten und prägnanten 

Erfahrungen mit funktionalen Zusammenhängen. Solche Erfahrungen lassen sich gut mit 

Hilfe von Funktionsgraphen darstellen, die experimentell gewonnen werden können und so 

selbst eine Verbindung zwischen Geometrie und Algebra herstellen.“ ROTH (2005B, S. 482)


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Abbildung 12: Arbeitsblatt 3 (Kreis) – Vorderseite 

Abbildung 13: Arbeitsblatt 3 (Kreis) - Rückseite


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Zur weiteren Vertiefung der Thematik wird der Fragenkatalog 2 auf der Rückseite des dritten 

Arbeitsblattes (siehe Abbildung 13) bearbeitet. Hier geht es darum, den Funktionsgraph zu 

beschreiben, d.h. den Verlauf des Graphen anhand der zugrunde liegenden Figur zu erklären 

und somit den Zusammenhang zwischen Geometrie und Algebra zu vertiefen. Der Katalog 

besteht aus folgenden Fragen: 

1. Warum ist die Kurve am Anfang und am Ende so steil und um das Maximum herum so 

flach? Begründe deine Antwort mit Hilfe des Gummibandmodells (siehe Arbeitsblatt 2). 

2. Warum ist die Kurve achsensymmetrisch? 

3. Versuche den Verlauf des Graphen anhand der Figur zu erklären. 

4. Überprüfe die Ergebnisse der Arbeitsblätter 1 bis 3 mit Hilfe des Computers. Gehe dazu 

am Computer in das Kapitel „zu: P3“ und klicke mit der Maus auf den entsprechenden 

Unterpunkt: z.B. „Kreis“. Für Frage 1 dieses Blattes kann dir die am Computer gegebene 

„Hilfe“ nützlich sein. Halte deine neuen Erkenntnisse auf den entsprechenden Blättern in 

einer anderen Farbe fest und verbessere gegebenenfalls deine Fehlvorstellungen. 

Wie man deutlich erkennen kann ist die vierte „Frage“ überhaupt keine Frage, sondern die 

Anweisung sich an den Computer zu setzen und sämtliche Fragestellungen der drei Arbeits- 

blätter auf ihre Richtigkeit zu überprüfen. Die „Screenshots“ aller html-Seiten sind in Anhang 

F (S. 164ff) zu finden. Abbildung 14 zeigt beispielhaft die oben erwähnte Seite. 

Abbildung 14: Screenshot zu P3


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Ziel dieses letzten Arbeitsblattes ist die Förderung der wechselseitigen Interpretation von 

Figur und Graph, z.B. Maximum beim Graph entspricht Durchmesser beim Kreis, sowie die 

Fähigkeit Symmetrien zu erkennen und auszunutzen, z.B. Erkennen der Symmetrie des 

Graphen und auf die Symmetrie der Figur zu rückführen können. 

Nachdem die drei Arbeitsblätter durchgearbeitet wurden, kehren die Schüler wieder zurück 

zum Ablaufplan und damit zu Punkt vier: 

Ihr habt verschiedene Figuren betrachtet, an ihnen Messungen durchgeführt und die 

zugehörigen Graphen gezeichnet. Von all diesen Figuren ist der Kreis die einfachste. 

Schaut euch zusammen den von eurem Kollegen gezeichneten, zum Kreis gehörenden 

Graphen an. Versucht ihn nun durch einen allgemeinen Funktionsterm zu beschreiben. 

Nehmt euch zur Formelherleitung das Arbeitsblatt „Formelherleitung am Kreis“ 

und folgt den dortigen Anweisungen. 

Abbildung 15: " Formelherleitung am Kreis" - Vorderseite 

Das Blatt „Formelherleitung am Kreis“ (siehe Abbildung 15 & 16 oder Anhang B, S. 104f) 

trägt auf der Vorderseite (siehe Abbildung 15) die Anweisung einen Funktionsterm herzulei-


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ten, der den Verlauf des Graphen beschreibt und ihn mit Hilfe einer Skizze eines Kreises zu 

gewinnen. Es wird außerdem darauf hingewiesen, dass die Formelsammlung (BARTH ET AL. 

(2001)) sowie die „Hilfestellungen zur Formelherleitung“ verwendet werden dürfen. Die 

„Hilfestellungen zur Formelherleitung“ (siehe Anhang C, S. 115f) liegen in Form eines klei- 

nen Spiralblocks vor. Auf diese Weise werden nicht alle Hilfen auf einmal angeboten, son- 

dern können bei Bedarf durch Umblättern einzeln abgerufen werden. Den benötigten Platz für 

die Herleitung finden die Stationsteilnehmer auf der Rückseite des Blattes „Formelherleitung 

am Kreis“ (siehe Abbildung 16). 

Abbildung 16: "Formelherleitung am Kreis" - Rückseite 

BUERGER schreibt hierzu: „Die Einsicht der Schülerinnen und Schüler in funktionale 

Zusammenhänge wir vertieft, wenn man sie als nächstes Gesetzmäßigkeiten in ihrer Allge- 

meinheit erfassen und funktionale Beziehungen allgemein beschreiben lässt. Die Schüler üben 

dabei gleichzeitig das Darstellen und Interpretieren von mathematischen Sachverhalten: ein 

wichtiges allgemeines Lernziel des Mathematikunterrichts. Wesentlich ist, dass allgemeine


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Gesetzmäßigkeiten von den Schülern formuliert werden, denn erst das Formulieren von Re- 

geln macht diese Gesetzmäßigkeiten bewusst.“ BUERGER (1996, S. 14) 

Da die Teilnehmer, im Gegensatz zu den vorher bearbeiteten Arbeitsblättern, nun zusammen- 

arbeiten sollten kommen noch weitere Punkte zu tragen, denn „haben die Schüler die neue 

Thematik auf eigenen Wegen erkundet, schließt sich in natürlicher Weise eine Phase der 

Kommunikation und der Kooperation mit dem Nachbarn an. Jeder Schüler erklärt seine Ideen 

und vollzieht umgekehrt die Gedanken des anderen nach. Ein solch aktives Kommunizieren 

führt zu einer weiteren Durchdringung des Stoffes. Zudem kann der Nachbar als helfende 

Instanz wirken, wenn es darum geht, Verständnisfehler zu klären, Grundlagenwissen zu 

aktivieren, weitere Ideen zu entwickeln und auftretende Probleme zu bewältigen. Ein derart 

kooperatives Arbeiten unterstützt aber auch den Aufbau sozialer Kompetenzen, indem es die 

Stationsteilnehmer dazu veranlasst, zusammenzuarbeiten, sich wechselseitig zu unterstützen, 

miteinander zu diskutieren und Kompromisse zu schließen.“ ULM (2003, S. 47) 

In diesem Abschnitt geht es nun darum die hergeleitete Formel in den Computer einzugeben 

und zu überprüfen. 

Wenn die Stationsteilnehmer eine Formel für die Sehnenlänge erarbeitet haben, dann müssen 

sie sich zunächst entscheiden wer den Computer bedient und wer das für die Formeleingabe 

benötigte Blatt „Hilfe zur Formeleingabe“ (siehe Anhang C, S. 119) nimmt, sich durchliest 

und dem am Computer Sitzenden die Anweisungen gibt. Die eben erwähnte „Hilfe“ gibt die 

genauen Anweisungen, was alles am Computer anzuklicken ist und welche Formulierungen 

benutzt werden müssen damit die Formel richtig eingegeben werden kann. 

Erst jetzt werden die Teilnehmer dazu aufgefordert die von ihnen hergeleitete Formel in den 

Computer einzugeben und den so entstehenden Funktionsgraphen mit dem dort angegebenen 

zu vergleichen. Falls die Formel falsch sein sollte werden die Schüler gebeten zuerst ihre Ein- 

gabe zu überprüfen, und wenn dort kein Fehler vorliegt sollen sie sich die richtige Lösung 

durchlesen und daraufhin ihre Herleitung überprüfen. 

Primärziel dieses Arbeitsblattes ist die Herleitung einer konkreten Formel zu Beschreibung 

der Sehnenlänge in Abhängigkeit des zurückgelegten Wegs auf dem Kreisumfang. Dieses 

Ziel wird dadurch erreicht, dass den Schülern Hilfestellungen zur Verfügung stehen, die die 

wichtigsten Lösungsmöglichkeiten unterstützen, so dass jeder seinen eigenen Weg gehen


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kann und nicht einen bestimmten Lösungsweg aufgedrängt bekommt. Sekundärziele sind die 

Förderung eines Verständnisses von Funktionen, Förderung der mathematischen Argumenta- 

tionsfähigkeit, Förderung des Umgangs mit einem Computer und zugehöriger DGS 

(Dynamischer Geometriesoftware). Diese Ziele werden zum einen dadurch erreicht, dass der 

Funktionsterm in direktem „Zwiegespräch“ mit der Figur erarbeitet wird und dies 

mathematisch korrekt belegt werden muss, zum anderen werden den Schülern die 

entsprechenden Hilfen zur Formeleingabe an die Hand gegeben. 

Wenn die Teilnehmer ihre Ergebnisse am Computer überprüft haben kehren sie zum fünften 

Punkt des „Ablaufplans der Lernstation“ zurück um diesen zu bearbeiten. Hier kommt die zu 

Beginn der Station notierte Uhrzeit zum tragen, die als „Zeitweiche“ genutzt wird. Die 

Teilnehmer müssen zunächst ausrechnen wie viel Zeit sie bislang für die komplette Station 

benötigt haben. Wenn diese Zeitspanne kleiner gleich zwei Stunden ist werden sie dazu 

aufgefordert sich das Blatt „Formelherleitung am Dreieck“ (siehe Anhang B, S. 106f) zu 

nehmen und zu bearbeiten. Es ist identisch aufgebaut wie das eben besprochene Blatt 

„Formelherleitung am Kreis“. Mit diesem Arbeitsblatt soll die Fähigkeit des Analogisierens 

gefördert werden, sowie die schon im vorherigen „Punkt“ angesprochenen Lernziele. 

FORSTER ergänzt die eben genannten Lernziele durch ein weiteres, wenn sie sagt: Bei der 

„Beschäftigung mit den Arbeitsblättern kommt es nicht nur d a r a u f a n , e i n e L ö s u n g z u d e n 

A u f g aben zu finden. Die Schülerinnen und Schüler sind gefordert, ihre Überleg u n g e n , 

Lösungswege und Ergebnisse zu reflektieren und zu dokumentieren.“ (FORSTER (2005, S. 13)) 

Falls die Teilnehmer jedoch schon mehr als zwei Stunden mit der Station beschäftigt sind, 

dann dürfen sie Punkt fünf des Ablaufplanes überspringen und gleich zu Punkt sechs 

kommen, wodurch die zweite Phase des „Lernlabors“ ihr Ende findet und die dritte Phase 

beginnt. 

5.2.4. Phase 3: Systematische Variation an Computersimulationen 

Bevor ich wieder ins Detail gehe, möchte ich einen groben Überblick über die dritte Phase 

geben:


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Zunächst werden von den Schülerinnen und Schülern, anhand aller Echtmodelle, Vorhersa- 

gen über den graphischen Verlauf der Sehnenlänge getroffen und skizziert. Anschließend 

werden die Vorhersagen am Computer überprüft, indem wechselseitig entweder von der 

Kurve auf das geometrische Objekt oder umgekehrt geschlossen wird. Die Kontrolle findet 

dann an Hand der Gegenüberstellung von Kurve und realer Bewegung statt. Als Höhepunkt 

können die Schülerinnen und Schüler schließlich beliebige Polygone zeichnen und die Läng- 

enänderung einer dort eingezeichneten Sehne untersuchen. Dabei stoßen sie auf interessante 

(neue) Kurven und vertiefen ihr „Kurvenverständnis“. 

Um eine vollständige dritte Phase für die Station zu bekommen, müssen die eben genannten 

Grundzüge noch mit Hilfestellungen, Anweisungen und entsprechend aufbereiteten Compu- 

tersimulationen ergänzt werden. Wie das im Detail aussieht ist nachfolgend zu lesen. Weiter 

geht es mit dem sechsten Punkt der Lernstation. Dieser lautet: 

Nehmt euch alle Holzmodelle und überlegt euch, wie die zugehörigen Graphen 

Weg/Sehnenlänge aussehen müssten. Erstellt zu jedem Modell eine Skizze. 

Das Ziel dieses Punktes ist es nun alle vorhandenen Holzmodelle zu betrachten, und dabei das 

zuvor erworbene Wissen anzuwenden (alternatives Kurvenverständnis). Hierbei wird das 

Lernziel der Förderung der Fähigkeit zum Analogisieren angestrebt. Die Skizzen verfolgen 

das Ziel, die Schüler anzuhalten nur die wesentlichen und charakteristischen Eigenschaften 

der Graphen festzuhalten, um sie im übernächsten Punkt des Ablaufplans, Punkt acht, am 

Computer zu überprüfen. 

Bevor dies jedoch geschieht kommen die Stationsteilnehmer zu Punkt sieben des Ablauf- 

plans, der sich ausschließlich mit organisatorischen Dingen beschäftigt: 

Teilt euch in Zweierteams auf, die ihr bis zum Schluss der Station beibehaltet! 

Jetzt müsst ihr euch in jeder Gruppe entscheiden, wer den Computer bedient und wer 

die Anweisungen gibt. Einer von euch setzt sich jetzt an den Computer, der andere 

nimmt das Blatt mit der Aufschrift „Hilfe zu P8“, liest es und erklärt seinem Kollegen 

am Computer was bei P8 zu tun ist. 

Die oben erwähnte „Hilfe zu P8“ (siehe Anhang C, S. 120) gibt im Wesentlichen nur 

„technische Anweisungen“ um den nächsten Punkt des Ablaufplans korrekt zu bearbeiten. Es 

wir erklärt, was in welcher Reihenfolge „anzuklicken“ ist.


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Punkt acht des Ablaufplans dient dazu die von den Stationsteilnehmern in Punkt 6 erstellten 

Skizzen auf ihre Richtigkeit zu überprüfen: 

Überprüft nun euere Skizzen aus P6 dieses Büchleins mit dem Computer. Lasst euch 

abwechselnd Graph bzw. Figur anzeigen und versucht auf die zugehörige Figur bzw. 

den zugehörigen Graph zu schließen. Benutzt hierzu die Hilfe „Hilfe zu P8“. 

Die Schüler gehen also am Computer die, in beliebiger Reihenfolge vorgegebenen Figuren 

(Figur 1 bis Figur 6) nacheinander durch und schließen abwechselnd auf die Figur oder den 

Graph. Mit diesem Punkt des Ablaufplans wird auf ein vertieftes Verständnis der Thematik 

hingearbeitet. Weiter wird die Fähigkeit geschult den Graphen richtig zu lesen, d.h. die 

wichtigsten Fakten aus ihm abzulesen, so dass eine wechselseitige Beziehung zwischen Figur 

und Graph hergestellt werden kann, was wiederum die wechselseitigen Interpretation der 

Eigenschaften fördert. Für ROTH erfüllt der Computer drei wesentliche Aufgaben. Er dient 

als: 

„Kontrollinstanz, wenn ‚im Kopf’ abgelaufene Denkprozesse mir ihrer Hilfe auf ihre 

Tragfähigkeit hin überprüft und kritisch hinterfragt werden, 

Kommunikationsmittel um die Aufmerksamkeit zu fokussieren und insbesondere das Än- 

derungsverhalten durch ‚Vorführen’ von Veränderungen veranschaulichen und damit erst 

kommunizierbar machen zu können, 

‚Denkzeug’ mit dessen Hilfe die Komplexität eines Phänomens reduziert, das Gedächtnis 

entlastet und so die Konzentration auf Planung, Analyse und Argumentation erleichtert 

werden kann.“ ROTH (2005B, S. 484) 

Auch SCHUMANN plädiert für einen Computereinsatz, denn die „Nutzung des Computers als 

Werkzeug im Mathematikunterricht kann heute auf vielfältige Weise in allen Stoffbereichen das 

funktionale Denken durch die dynamische Verarbeitung und Darstellung von grafischen, nume- 

rischen und alg e b r ai s ch en Dat en b z w. Ob j ek t en u n t er s t ü t z Solche en . Systeme eröffnen auch neue 

Möglichkeiten der Untersuchung von funktionalen Beziehungen an geometrischen Figuren.“ 

SCHUMANN (2000, S. 575). 

Der neunte Punkt des Ablaufplans dient wieder ausschließlich organisatorischen Dingen:


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Jetzt müsst ihr euch wieder entscheiden, wer den Computer bedient und wer die 

Anweisungen gibt (Bleibt in euren Zweierteams!). Einer von euch setzt sich jetzt an den 

Computer, der andere nimmt das Blatt mit der Aufschrift „Hilfe zu P10“, liest es und 

erklärt seinem Kollegen am Computer was bei P10 zu tun ist. 

Die oben erwähnte „Hilfe zu P10“ (siehe Anhang C, S. 121) gibt, im Gegensatz zu allen 

andern Hilfen zur Bedienung des Computers, nicht ausschließlich Anweisungen zum Umgang 

mit der Software, sondern stellt zusätzliche Fragen, die die Schüler bei P10 des Ablaufplans 

bearbeiten sollen. Diese Fragen lauten: 

Wie ändert sich der Graph, wenn man 

• die Lage eines Eckpunktes des n-Ecks verändert? 

• am Punkt P zieht? 

• die Lage des Scheitelpunktes von μ verändert? 

Zusätzlich fordert die Hilfe die Teilnehmer dazu auf sich das gegebene Beispiel, ein n-Eck in 

Form einer Krone, zu betrachten und es systematisch zu variieren (siehe Abbildung 17). 

Im vorletzten und damit zehnten Punkt des „Ablaufplans der Lernstation“ werden die 

Schüler dazu aufgefordert selbst am Computer beliebige n-Ecke zu erzeugen und sich den 

zugehörigen Graphen anzeigen zu lassen. Im Gegensatz zu den regelmäßigen Figuren muss 

hier darauf verzichtet werden sich die Weg-Sehnenlänge-Graphen zu betrachten, da diese für 

ein beliebiges n-Eck nur mit enormen vorherigen Zeit- und Arbeitsaufwand am Rechner 

erzeugt werden können. Vielmehr wird hier der Mittelpunktswinkel (statt der Weglänge auf 

der Berandungslinie) als Abszisse verwendet. Für die konkrete Handhabung steht ihnen die 

oben erwähnte „Hilfe zu P10“ (siehe Anhang C, S. 121) zur Verfügung. Sie werden auch, wie 

bereits in Punkt neun erwähnt, dazu aufgefordert verschiedene Punkte ihrer Figuren zu 

verziehen und Vorhersagen über die daraus resultierenden Änderungen des Graphen zu 

machen. Hiermit wird eine weitere Vertiefung des Themenbereiches angestrebt, die alle 

bisher erarbeiteten Kenntnisse zur Lösung benötigt und noch einmal abschließend vernetzt.


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Abbildung 17: Screenshot zu P10 

Der elfte und letzte Punkt des Ablaufplans hat nichts mehr mit dem Themenbereich 

„Kurvenerzeugende Sehnen“ zu tun, sondern dient ausschließlich der Weiterentwicklung und 

Verbesserung der Lernstation. Hier sollen die Schüler noch abschließend einen Fragebogen 

(siehe Anhang B, S. 108) ausfüllen, auf den ich im Kapitel „Evaluation“ näher eingehen 

werde.


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5.3. Beschreibung der entwickelten GeoGebra-Applets 

Für die dritte Phase der Lernstation habe ich auf der Basis der dynamischen Geometriesoft- 

ware GeoGebra eigene Applets erstellt. Abbildung 18 zeigt exemplarisch die „Menüstruktur“, 

die in allen für die Lernstation erstellten GeoGebra-Applets gleich ist. 

Abbildung 18: Screenshot eines Applets 

Die „Menüstruktur“ bezeichnet hier nicht die Werkzeug- und Menüleiste, sondern die in 

Abbildung 18 erkennbaren drei Auswahlfelder, „Figur“, „Graph (Weg/Sehnenlänge)“ und 

„Graph (Mittelpunktswinkel/Sehnenlänge)“. Die Strukturierung wurde so gewählt, dass man 

sich entweder die Graphen betrachten kann, ohne zu wissen um welche zugehörige Figur es 

sich handelt oder umgekehrt. Klickt man das Auswahlfeld „Figur“ an, so erscheint auf dem


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Bildschirm die in diesem Applet betrachtete Figur, hier z.B. das Dreieck, mit eingezeichneter 

Sehne und noch weitere „Untermenüpunkte“ (vgl. Abbildung 19). 

Abbildung 19: Screenshot (1) – Dreieck 

Ruft man nun den Punkt „Mittelpunktswinkel“ auf, so wird der Mittelpunktswinkel μ zur 

Sehne PQ eingezeichnet, wobei M (aus Symmetriegründen) der Mittelpunkt des Umkreises 

des Dreiecks ist (siehe Abbildung 20). Klickt man zusätzlich noch den Punkt „Graph 

(Weg/Sehnenlänge)“ an, so wird der Graph im Koordinatensystem angezeigt. Er gibt den 

Verlauf der Sehnenlänge in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg auf der Berandungslinie 

(zwischen P und Q) der Figur an (siehe Abbildung 20). Wählt man zusätzlich noch den Punkt 

„Hilfe“ aus, so wird die vektorielle Zerlegung der Bahngeschwindigkeit von Q angezeigt. Der 

blaue Vektorpfeil gibt die Richtung und den (konstanten) Betrag der Bahngeschwindigkeit 

von Q auf der Berandungslinie der Figur an (siehe Abbildung 20).


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Der gelbe Vektorpfeil ist der Anteil der Bahngeschwindigkeit, der für die Längenänderung 

der Sehne verantwortlich ist, und der grüne Vektorpfeil ist der Anteil der zur Richtungsände- 

rung beiträgt (siehe Abbildung 20). 

Abbildung 20: Screenshot (2) - Dreieck 

Die Dreieckssehne findet sich im Graphen wieder und gibt die derzeitige Position der Sehne 

bezüglich des Dreiecks an, d.h. die im Koordinatensystem zu sehende rote (vertikal stehende) 

Strecke entspricht 20 der im Dreieck eingezeichneten Sehne. Der Fußpunkt der Strecke 21 

markiert den von Q, zurückgelegten Weg (von A aus). Der Kopfpunkt gibt die zugehörige 

Sehnenlänge an dieser Stelle an (siehe Abbildung 20). 

Eine weitere Option ist es, sich den „Graph (Mittelpunktswinkel/Sehnenlänge)“ im Koordina- 

tensystem anzeigen zu lassen. Die Sehnenlänge wird dann nicht mehr über den von Q auf der 

Berandungslinie zurückgelegten Weg (von A aus) aufgetragen, sondern über den durch A, M 

20 Die Streckenlänge ist abhängig vom gewählten Maßstab des Koordinatensystems. 

21 Gemeint ist der Schnittpunkt der strecke mit der „Weg“-Achse.


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und Q definierten Mittelpunktswinkel μ. Dies führt zu einer Änderung der Form des Graphen, 

da sich bei konstanter Geschwindigkeit von Q (auf dem Umfang der Figur) der Mittelpunkts- 

winkel nicht proportional ändert (siehe Abbildung 21). Ruft man den „Untermenüpunkt“ 

„Eingegebene Funktion einblenden“ auf, so erscheint ein kurzer Text, der die Seitenlänge des 

Dreiecks (auf dem Bildschirm) angibt, da diese für die Formeleingabe benötigt wird. Der 

ebenfalls eingeblendete Graph der eingegebenen (einzugebenden) Funktion (s1(x) bis s3(x)) ist 

noch nicht sichtbar, da er als Nullfunktion vordefiniert wurde und mit der Abszisse 

zusammenfällt (siehe Abbildung 21). 

Abbildung 21: Sreenshot (3) - Dreieck 

Will man jedoch den Zusammenhang zwischen Sehnenlänge und zurückgelegtem Weg auf 

der Berandungslinie der Figur durch einen Funktionsterm beschreiben, so stellt man schnell 

fest, dass es sich um eine zusammengesetzte Funktion handelt. Hat man diese zusammenge-


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setzte Funktion gefunden, so muss sie abschnittsweise in den Computer eingegeben werden. 

Dies macht man, indem man sich den entsprechenden Bereich der Figur auf dem Bildschirm 

betrachtet, die für diesen Bereich verwendete Bezeichnung abliest (z.B. s1) und dann im 

linken Fenster der Software, im Ordner „Freie Objekte“, die zugehörige, auf Null vordefinier- 

te Funktion umdefiniert. Diese umdefinierte Funktion erscheint dann auch sofort im Koordi- 

natensystem (siehe Abbildung 22). Mit diesem Verfahren lässt sich nach und nach die 

gesamte zusammen gesetzte Funktion eingeben. 

Abbildung 22: Screenshot (4) - Dreieck 

Da es sich bei dem verwendeten Programm um eine DGS (Dynamische Geometrie Software) 

handelt, ist es ohne Probleme möglich den Punkt P oder Q auf der Berandungslinie zu 

verschieben. Dementsprechend wandert auch die vektorielle „Hilfe“ auf der Figur mit, ebenso


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wie die im Graph angedeutete Sehne. Verschiebt man den Punkt P, so verändern sich auch die 

Graphen entsprechend. 

Letztlich bleibt noch die Frage zu klären, was denn eigentlich hinter all diesen Dingen steckt, 

denn so eine vektorielle „Hilfe,“ oder die Möglichkeit eine zusammengesetzte Funktion, nur 

für die entsprechenden Bereiche, eingeben zu können existiert nicht und muss vorher, zum 

Teil mühsam, selber erzeugt werden. 

Zu all diesen erzeugten Objekten gehören Geraden, Strecken, Punkte, Funktionen und 

Wahrheitsabfragen, die sich als Hilfsobjekte abgespeichert aus dem Sichtfeld ausblenden 

lassen. Lässt man sie sich anzeigen, so wird das linke Fenster des Programms schon deutlich 

unübersichtlicher (siehe Abbildung 23). 

Abbildung 23: Screenshot (5) - Dreieck


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Was steckt zum Beispiel hinter der zusammengesetzten Funktion? Dass man für diese 

Funktion drei Teilfunktionen benötigt, dürfte jedem klar sein. Sie lassen sich ohne Probleme 

definieren. Würde man allerdings die entsprechende Funktion eingeben, so wäre diese noch 

für das gesamte Koordinatensystem definiert, und man erhielte nicht das gewünschte Ergeb- 

nis. Um es zu erzielen (d.h. eine Funktion, die nur in den entsprechenden Bereichen angezeigt 

wird), muss man eine Wahrheitsabfrage definieren, die festlegt, für welche x-Werte der 

entsprechende Term verwendet werden soll. Die in meinem Applet verwendete Funktion (für 

das Dreieck) sieht so aus: 

S(x)=Wenn[0 ≤ x ϖ x ≤ 3.46, s_1, Wenn[x > 3.46 ϖ x ≤ 6.92, s_2, Wenn[x > 6.92 ϖ x ≤ 

10.38, s_3]]] 

Die Zahlen entsprechen der Länge einer, zweier bzw. dreier Seiten des verwendeten Dreiecks 

und s_1, s_2 und s_3 sind die auf Null vordefinierten Funktionen. 

Komplizierter wird es jedoch wenn es darum geht die Vektoren der „Hilfe“ festzulegen. Um 

einen dieser Vektoren (z.B. den blauen Vektor) zu erzeugen müssen zwei Punkte definiert 

werden, die diesen festlegen. Der Startpunkt ist der Punkt Q, der als Punkt auf dem gleichsei- 

tigen Dreieck definiert ist: „Punkt[poly1]“. Der zweite Punkt muss sich zum Teil auf dem 

Umfang der Figur bewegen zum Teil aber auch nicht, so dass dieser nicht als ein Punkt auf 

dem Umfang definiert werden kann. Die Koordinaten des zweiten Punktes müssen deshalb 

durch spezielle Funktionen in Abhängigkeit der Koordinaten von Q berechnet werden. So hat 

zum Beispiel dieser Punkt die Koordinaten (t(δ), z(δ)). Dabei sind t(δ) und z(δ) zwei 

Funktionen, die wie folgt lauten: 

t(x)=Wenn[x ≤ 120 °, x(Q) + 2, Wenn[x ≤ 240, x(Q) - 2 cos(60 °), x(Q) - 2 cos(60 °)]] 

z(x)=Wenn[x ≤ 120 °, y(Q), Wenn[x ≤ 240 °, y(Q) + 2 sin(60 °), y(Q) - 2 sin(60 °)]] 

Bleibt noch zu klären welchen Winkel δ angibt. δ ist der Winkel zwischen AMQ, er fällt in 

Abbildung 15 mit dem Winkel μ zusammen, der jedoch der Winkel zwischen PMQ ist. 

Möchte man im Graphen (Weg / Sehnenlänge) diejenige Stelle sehen, an der sich die Sehne 

gerade im Dreieck befindet, so müssen die Koordinaten dieses Punktes (z.B. R) ebenfalls 

durch eine Wahrheitsabfrage festgelegt werden. Möchte man zusätzlich die Sehne im 

Graphen sehen (siehe Abbildung 20), so muss ein weiterer Punkt (z.B. T) definiert werden, 

der dieselbe x-Koordinate hat wie R und dessen y-Koordinate der Sehnenlänge des Dreiecks 

entspricht.


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R hat bei mir die Koordinaten (k(δ),0), wobei k(δ) die eben angesprochene Wahrheitsabfrage 

an der Stelle δ ist. k ist folgendermaßen definiert: 

k(x)=Wenn[x < 120 °, 0 + j, Wenn[x < 240 °, e_1 + i, 3 e_1 - j]] 

Darin sind j, i und speziell eingeführte Verbindungsstecken zwischen Q und A und zwischen 

Q und B. e_1 ist die Länge der Strecke AB, also die Länge einer Dreiecksseite. 

Für den Graphen (Mittelpunktswinkel / Sehnenlänge) geht das wesentlich einfacher, da hier 

der Winkel direkt in die Koordinaten von R und T integrieret werden kann. 

Die anderen Applets sind alle nach dem selben Prinzip aufgebaut, nur dass bei diesen, 

entsprechend der verwendeten Figur, die Wahrheitsabfragen kürzer oder länger ausfallen und 

zum Teil auch wesentlich mehr Hilfsobjekte eingeführt werden mussten.


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5.4. Beschreibung der entworfenen Holzmodelle 

Für die erste Phase der Lernstation habe ich die Holzmodelle an Hand simpler Überlegungen 

entworfen. 

Es war schnell klar, dass es Modelle zum Dreieck, Quadrat, Fünfeck, Sechseck, Achteck und 

Kreis geben soll, da diese die gängigsten regelmäßigen geometrischen Figuren sind, die auch 

in der Schule behandelt werden und ohne Probleme mit Zirkel und Lineal konstruiert werden 

können. 

Die auf den Arbeitsblättern abgedruckten Figuren sind durch die Größe des DIN A4-Blattes 

(ca. 21 cm × 29,6 cm), auf das sie gedruckt sind, in ihren Abmessungen begrenzt. So 

empfinde ich es als sinnvoll die Holzmodelle dieser Größe anzupassen. Damit alle Figuren 

eine ähnliche Größe haben, habe ich einen Umkreisradius von 8 cm festgesetzt. Die sich so 

für die Figuren ergebenden Größen empfinde ich als sehr handlich, so dass man gut mit ihnen 

arbeiten und experimentieren kann. 

Jetzt musste noch die Dicke und das Material (Holzart) der Modelle festgelegt werden. 

Deshalb habe ich in der Werkstatt aus einem alten Holzbrett ein Musterexemplar gesägt, das 

etwa eine Dicke von 1 cm besaß. Nach näherer Betrachtung erschien mir das Muster ein 

wenig zu dünn, so dass ich die Dicke um 50% 

erhöht und damit auf 1,5 cm festgesetzt habe. 

Bei der Holzart war nach einem kurzen Gespräch 

mir der Schreinerei, die die Holzmodelle auch 

schließlich angefertigt hat, klar, dass es keine 

einzelne Holzart sein wird, sondern eine Multiplex 

Platte, die aus vielen Schichten besteht (siehe 

Abbildung 24). Die Multiplex Platte erhält ihre 

Stabilität dadurch, dass die Schichten so verleimt 

sind, dass deren Maserungen einen 90°-Winkel 

einschließen. 

Die sich aus oben stehenden Kriterien ergebenden Holzmodelle sind in Abbildung 25 zu 

sehen. 

Abbildung 24: Multiplex Platte


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Abbildung 25: Holzmodelle 

Da in der ersten Phase an den Holzmodellen Messungen zu machen sind, ist es z.B. beim 

Kreis schwierig sich den Anfangs- und Endpunkt der Sehne zu merken um anschließend den 

zurückgelegten Weg auf der Berandungslinie der Figur zu messen, ohne dabei Markierungen 

auf den Modellen anzubringen. Dies wird jedoch nach mehrmaligen Messungen schnell 

unübersichtlich und verunstaltet zudem die Modelle. 

Die Lösung für dieses Problem sind Schablonen 

(ebenfalls aus Multiplex), in die die Holzmodelle 

eingelegt werden können und welche festgelegte 

Messpunkte besitzen (siehe Abbildung 26 & 27 & 

28). Die Schablonen sind so gestaltet, dass die 

eingelegten Holzmodelle nicht hindurch fallen 

können, sie besitzen deshalb jeweils eine 

Bodenplatte die fest mit der Schablone verleimt ist. 

Abbildung 26: Schablonen (1)


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Damit man die Modelle ohne Probleme wieder 

aus den Schablonen herausnehmen kann, besitzen 

diese nur eine Dicke von 1 cm, so dass die einge- 

setzten Holzmodelle 0,5 cm herausragen (siehe 

Abbildung 29). Die oben erwähnten Markierungen 

sind gleichmäßig an den Rändern 22 der Schablo- 

nen verteilt und in Form von Bohrungen 

angebracht (siehe Abbildung 30). Die Entfernung 

der Bohrungen von den Rändern wurde so ge- 

wählt, dass ein in die Bohrung gesteckter Metall- 

stift, bei eingesetztem Modell, direkt am Modell 

anliegt (siehe Abbildung 29). 

Die Messungen werden mit einem Maßband vor- 

genommen, an das der Metallstift 23 angelötet wur- 

de (siehe Abbildung 31). Zusätzlich wurde der 

Stift so angebracht, dass der Mittelpunkt seines 

Durchmessers auf der Höhe der Messkante ist 

(siehe Abbildung 32). 

Alle Holzmodelle und Schablonen wurden von 

einer Schreinerei anhand von mir angefertigter 

Bauanleitungen hergestellt. Details wie Abmes- 

sungen und Längen sind den Bauanleitungen in 

Anhang D (S.122ff) zu entnehmen. 

22 Damit ist der Rand gemeint, an den die eingesetzten Holzmodelle angrenzen. 

23 Am äußersten Ende des Maßbandes. 

Abbildung 27: Schablonen (2) 

Abbildung 28: Schablonen (3) 

Abbildung 29: Eingesetztes Modell


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Abbildung 30: Messpunkte in Form von Bohrungen 

Abbildung 31:Maßband Abbildung 32: Metallstift

Evaluation 63 

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6. Evaluation 

Nach jedem kompletten Durchlauf der Lernstation wird von den Stationsteilnehmern ein Fra- 

gebogen (siehe Anhang B, S. 108) ausgefüllt, um die Optimierung der Station voranzutreiben 

und eventuell später noch Erweiterungen bzw. Änderungen vornehmen zu können. In drei 

Testdurchgängen wurde dies bereits von mir dazu genutzt, die Station zu optimieren. 

6.1. Erarbeitung des Fragebogens 

Für die Erarbeitung des Fragebogens muss man sich zuallererst die Frage stellen, welches 

Ziel, mit der Beantwortung der Fragen und deren Auswertung, erreicht werden soll. Die 

Zielsetzung dieses Fragebogens ist es, die Station zu optimieren, d.h. sie anschließend so zu 

gestalten, dass jeder, der die Station bearbeitet sie ohne größere Schwierigkeiten durchlaufen 

kann. Es muss also den Antworten auf die Fragen zu entnehmen sein, wo die Teilnehmer 

Schwierigkeiten hatten, welche es waren und warum diese Schwierigkeiten auftraten. Ein 

weiteres Ziel ist es herauszufinden, ob die benutzten Formulierungen verständlich waren, oder 

ob es Mehrdeutigkeiten bzw. Missverständnisse gab und worin diese gegebenenfalls 

bestanden. Natürlich möchte man noch wissen, ob die zur Verfügung gestellten Hilfen auch 

wirklich hilfreich und ausreichend waren, oder ob zu einem Aspekt eine notwendige Hilfe 

gefehlt hat und wie sie gegebenenfalls hätte aussehen müssen. Interessant ist noch zu 

erfahren, ob den Teilnehmern die Station „gefallen“ hat bzw. was sie an der Station gestört 

hat und was sie deshalb ändern würden. Aufgrund all dieser Überlegungen ist nachfolgender 

Fragenkatalog entstanden, der im Anhang B als Fragebogen zusammengefasst zu finden ist. 

1. Bei welchem Teil dieser Lernstation hattet ihr die wenigsten Schwierigkeiten und 

warum? 

2. Bei welchem Teil dieser Lernstation hattet ihr Schwierigkeiten, welche waren es und 

warum? 

3. Wo habt ihr eine Hilfestellung benötigt und aus welchem Grund. Hat sie geholfen? 

4. Wo hat eine Hilfestellung gefehlt? Was hätte diese Hilfestellung euch sagen sollen?

64 Evaluation 

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5. Gab es bei dieser Station Unklarheiten in den Anweisungen und Formulierungen 

(welche)? 

6. Was hat euch an dieser Station gestört und aus welchem Grund? 

7. Was würdet ihr an dieser Station ändern oder ergänzen und warum? 

6.2. Beschreibung der Durchführung 

Zunächst ist zu erwähnen, dass bei den Probedurchläufen eine vorläufige Version der Station 

zum Einsatz kam, um den zeitlichen Umfang der Station zu erfassen und mögliche Schwierig- 

keiten aufzudecken, die beim Bearbeiten auftreten können. Diese vorläufige Station wird 

nachfolgend nur noch als „Testversion“ bezeichnet werden. Um jedoch nicht voreilige 

Schlüsse aus den Durchläufen zu ziehen, wurden zunächst zwei Testläufe mit unterschiedlich- 

en Probanden absolviert, deren Vorwissen sich teilweise deutlich unterschied. Der erste 

Durchlauf wurde von einem Schüler der dreizehnten Klasse eines neusprachlichen 

Gymnasiums mit Grundkurs Mathematik und einer Schülerin der zehnten Klasse mit bestan- 

dener Mittlerer Reife bestritten. Diese beiden Teilnehmer werden nachfolgend nur noch als 

„Testgruppe 1“ bezeichnet. Die zweite Gruppe bestand aus zwei Schülern der 13. 

Jahrgangsstufe, einem Schüler eines neusprachlichen Gymnasiums mit Leistungskurs 

Mathematik und einem Schüler eines naturwissenschaftlichen Gymnasiums mit Grundkurs 

Mathematik. Diese Gruppe wird im Folgenden als „Testgruppe 2“ bezeichnet. Zu den beiden 

Testgruppen lässt sich im Voraus noch sagen, dass „Testgruppe 1“ aus mathematisch eher 

schwächeren Schülern besteht, während die Schüler der „Testgruppe 2“ leistungsstark in 

Mathematik sind. 

Als maximales Zeitfenster für die endgültige Version der Station stehen 240 Minuten zur Ver- 

fügung, sie wird nachfolgend nur noch als „Endversion“ bezeichnet werden. 

Nun möchte ich zur eigentlichen Durchführung der beiden Probedurchläufe kommen. Beide 

Durchgänge fanden zeitlich nacheinander statt und die „Testgruppen“ hatten keinen Kontakt 

in der Pause dazwischen. Bei den Durchgängen war ich stets als neutraler Beobachter anwe- 

send, der den Gruppen, wenn die angebotenen Hilfen 24 nicht ausreichten, ergänzende, verbale 

Hilfen gab, die später auch zu den Änderungen der Station beitrugen. Die Gruppen bekamen 

24 in Form von schriftlichen Hilfestellungen

Evaluation 65 

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am Anfang des Durchlaufs eine kurze Information, in welchem Rahmen eine solche Station 

später Schülern oder auch Studierenden angeboten werden soll. Anschließend wurden die 

Gruppen an ihren Arbeitsplatz ge- 

bracht, der in nebenstehender Abbil- 

dung (Abbildung 33) zu sehen ist. Zu 

Beginn wurde den Testgruppen noch 

erklärt, dass diese Station als eine 

betreuerlose Station konzipiert ist und 

sie deshalb dem „Ablaufplan der 

Lernstation“ alle Informationen für die 

Durchführung zu entnehmen haben. 

Beide Testgruppen konnten die „Test- 

version“ weitestgehend eigenständig 

Abbildung 33: "Testversion" der Station 

durchlaufen, wobei die Gruppen unterschiedlich schnell gearbeitet haben. So musste ich bei 

„Testgruppe 1“ drei Punkte des Ablaufplans streichen, da sonst die „Testversion“ in dem 

angestrebten Zeitrahmen von vier Stunden nicht vollständig durchlaufen werden konnte. 

„Testgruppe 1“ hat auch nicht alle angebotenen Materialien der „Testversion“ in Anspruch 

genommen, sondern sich auf die Methode des Suchens einer Formel in der Formelsammlung 

beschränkt, was zum Teil viel Zeit gekostet hat. Ganz im Gegensatz zu „Testgruppe 1“ konnte 

„Testgruppe 2“ die „Testversion“ vollständig und ohne größere Probleme durchlaufen. Der 

einzige Zwischenfall, der hier zu erwähnen ist, und der durch einen Hinweis von mir 

korrigiert wurde, ist die von „Testgruppe 1“ benutzte Definition des Sinus, die schlichtweg 

falsch war, was bei der Formelherleitung zu einer sehr unübersichtlichen und obendrein 

falschen Formel geführt hat. Zu beiden Testgruppen lässt sich noch sagen, dass viel Zeit für 

die Formelherleitung benötigt wurde. Beide Gruppen benötigten etwas mehr als eine Stunde 

dazu. Ebenso fiel beiden Gruppen der Umgang mit der verwendeten Software (GeoGebra) 

schwer, da sie zuvor noch nie mit dem Programm gearbeitet hatten. Die Probleme lagen unter 

anderem an der nicht ganz so intuitiven Syntax beim Eingeben der hergeleiteten Formel, 

obwohl eine Hilfe für die Formeleingabe zur Verfügung stand. Weiter stießen die Gruppen 

zum Teil deutlich an ihre Grenzen, als es an die Beschreibung des Zusammenhangs zwischen 

Mittelpunktswinkel und Sehnenlänge bei verschiedenen geometrischen Figuren ging.

66 Evaluation 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

Beide Testgruppen haben für die Bearbeitung der „Testversion“ gut 250 Minuten benötigt, 

wobei bei „Testgruppe 1“ drei Punkte der Station gestrichen wurden. 

6.3. Auswertung und Konsequenzen der Fragebögen 

Die Auswertung der Fragebögen, die am Ende der Station von jeder Testgruppe ausgefüllt 

wurden, bestätigte zum Teil die von mir schon während der Durchläufe beobachteten Schwie- 

rigkeiten. Darüber hinaus konnten dank der Fragebögen noch weitere Verbesserungen 

vorgenommen werden. 

Zum einen haben beide Testgruppen darauf hingewiesen, dass eine erklärende Zeichnung bei 

der „Hilfe zur Definition einer Sehne“ die Abstraktheit der Definition abbaue und zur 

Anschaulichkeit beitrüge. Deshalb ist dort nun eine solche Zeichnung mit entsprechenden 

Bezeichnungen zu finden. 

„Testgruppe 1“ fiel es laut Fragebogen leicht die Messwerte zu finden 25 und in einen Graphen 

umzusetzen, obwohl sie, laut meinen Aufzeichnungen hierfür fast 60 Minuten benötigten. Da 

man bei den Stationsteilnehmern davon ausgehen muss, dass sie nicht alle so fit sind wie 

„Testgruppe 2“, die etwa die Hälfte der Zeit benötigte, muss darauf gedrängt werden die 

Messwerte, wie der Name schon sagt, durch Messung zu finden um dadurch deutlich an Zeit 

einzusparen. In der „Endversion“ wurde den Teilnehmern die Möglichkeit genommen die 

geforderte Tabelle durch Berechnung der Werte zu füllen und darauf verwiesen, dass alle 

Werte zu messen und nicht zu berechnen sind. 

Im Gegensatz zur ersten Gruppe fiel es „Testgruppe 2“ nach eigener Aussage leicht das „eben 

Erlernte“ auf ein ähnliches Problem anzuwenden, da es laut ihrer Formulierung „vorher gut 

erörtert wurde“. Diese Aussage bezieht sich auf das kurz hintereinander durchgeführte 

Bearbeiten von „Arbeitsbogen ‚Kreis’“ und einem weiteren „Arbeitsbogen“ ihrer Wahl. 

Die Auswertung ergab weiter, dass die meisten Schwierigkeiten, bei beiden Testgruppen, bei 

der Formelherleitung auftraten. Leider konnten die Schüler aber nicht angeben, was ihnen 

25 Dies geschah durch Berechnung der Werte.

Evaluation 67 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

neben der bereits gegebenen „Hilfe zur Formelherleitung“ (welche für gut befunden wurde) 

noch geholfen hätte. „Testgruppe 1“ fand noch meine Hilfestellungen von „außen“ für sehr 

hilfreich. Diese lassen sich leider aber nicht verallgemeinern und in einem Hilfetext 

formulieren. 

„Testgruppe 1“ war ansonsten mit dem Aufbau und Ablauf der Station sehr zufrieden, wobei 

man sagen muss, dass sie einen Großteil der Station nicht bearbeiten konnte, da dieser aus 

Zeitgründen von mir gestrichen werden musste. 

„Testgruppe 2“ fand die Fragestellungen zum Teil zu ähnlich, was vermutlich daran lag, dass 

sie die Fragestellung nicht sorgfältig genug gelesen hatten. Aus diesem Grund wird in der 

„Endversion“ explizit darauf hingewiesen anhand welcher „Modelle“ die Fragen zu 

beantworten sind. Weiter fand die zweite Gruppe eine Frage für „zusammenhangslos, 

unschlüssig, ungeklärt“. Es handelte sich um die Frage, ob der mittlere Teil einer bestimmten 

Kurve ein Kreisbogen ist oder nicht. Da die Stationsteilnehmer nach der Formelherleitung für 

die Kurve nicht entscheiden konnten, ob es sich um eine Kreisgleichung handelt, wovon ich 

ausgegangen bin (bzw. zumindest, dass sie dies in der Formelsammlung nachschlagen), 

wurde die Frage aus der „Endversion“ gestrichen. 

Weitere Änderungen der „Testversion“ ergaben sich aufgrund meiner Beobachtungen 

während der Testdurchläufe. So wurden die bereitgestellten Zettel zum Niederschreiben der 

Antworten eher selten genutzt sondern die Antworten direkt unter die Frage gequetscht, auch 

wenn hierfür kein Platz vorgesehen war. Dies ist in der „Endversion“ inzwischen anders, da 

dort unter jeder Frage genügend Platzt zur Verfügung steht. 

Weiter fiel mir auf, dass am Anfang der Station beiden „Testgruppen“ nicht gleich klar war, 

dass der gesamte Umfang der Figur „abzulaufen“ ist (Es wurde gedacht, es genüge bis zur 

dicksten Stelle der Figur zu gehen.), und dies sich erst zu einem späteren Zeitpunkt für die 

Teilnehmer erschloss. Um dieser Fehlvorstellung vorzubeugen, wird in der „Endversion“ 

direkt am Anfang, durch Ergänzung der Eingangsfrage, darauf hingewiesen.

68 Evaluation 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

Letztlich ist noch zu sagen, dass die Schüler, als es um den Zusammenhang zwischen 

Mittelpunktswinkel und Sehnenlänge ging, eigentlich alle an ihre Grenzen stießen, so dass 

dieser Zusammenhang in der „Endversion“ überhaupt nicht mehr behandelt wird. 

Das fast Wichtigste, was mir bei den Durchläufen auffiel, ist die enorme Zeit, die selbst die 

wirklich guten Schüler für diese Station benötigen. Deswegen war es unumgänglich die 

Station drastisch zu kürzen. Um jedoch die Möglichkeit offen zu halten, dass sich bessere 

bzw. schnellere Teilnehmer nicht langweilen, gibt es in der Endversion eine „Zeitweiche“. 

Diese „Zeitweiche“ ist für gute Schüler gedacht, die schnell vorankommen und so die 

Möglichkeit haben, wenn sie eine gewisse Arbeitszeit unterschreiten noch ein weiteres, etwas 

komplizierteres Problem zu bearbeiten, als das vorherige. Diejenigen, die es nicht schaffen die 

Arbeitszeit von zwei Stunden zu unterbieten, müssen sich überhaupt nicht darum kümmern, 

da sie diesen Punkt der Station dann einfach überspringen. 

In der Testversion gab es noch den Punkt „Diskussion“ im Ablaufplan, der aufgrund der 

Änderungen nun in sehr gekürzter Version, und dies auch nur indirekt, vorkommt. 

Eine letzte Änderung, die nicht aus den Testläufen resultiert, sondern aus den heutigen 

Klassengrößen der Schulen, ist die Möglichkeit diese Station in der „Endversion“ mit bis zu 

vier Personen zu besetzen. Die „Testversion“ war eigentlich nur für Partnerarbeit konzipiert. 

Da die „Endversion“, gleich Eingangs, von bis zu vier Personen bearbeitet werden kann, von 

denen jeder eine andere Figur bearbeitet, können sie im nachfolgenden Schritt (der von allen 

zusammen bearbeitet wird) bei der Formelherleitung ihr unterschiedliches Wissen einbringen, 

wodurch, hoffentlich, eine gewisse „Diskussion“ entsteht. 

Die in der „Endversion“ verwendeten Arbeitsblätter sind bis auf kleine Änderungen im 

Wesentlichen gleich geblieben. Ebenso konnten wesentliche Teile der „Testversion“ in der 

„Endversion“ übernommen werden. 

Nachdem die oben genannten Änderungen recht zahlreich sind, wurde noch ein dritter Test- 

durchlauf (der „Endversion“) durchgeführt. Dieser Testdurchlauf konnte von den Kandidaten, 

einem Schüler der 13. Jahrgangsstufe mit Leistungskurs Mathematik und einem der 10.

Evaluation 69 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

Jahrgangsstufe mit abgeschlossener Mittlerer Reife, ohne größere Schwierigkeiten absolviert 

werden. Wie bei den ersten Durchläufen benötigten die Schüler eine knappe Stunde für die 

Formelherleitung am Kreis, so dass sie, an der Stelle mit der Zeitweiche, nicht mehr auf die 

Formelherleitung am Dreieck eingehen konnten. Insgesamt benötigte diese Gruppe für die 

Station gute drei Stunden. Die Auswertung ihres Fragebogens ergab, dass sie die wenigsten 

Schwierigkeiten beim Umgang mit dem Computer hatten und ihre Größten bei der 

Formelherleitung. Zwei von mir zusätzlich gestellte Fragen, was sie denn bei dieser Station 

gelernt haben, und welchen Bezug sie zum Mathematikunterricht sehen, wurden wie folgt 

beantwortet: 

Abbildung 34: Schülerantworten auf Zusatzfragen

70 Evaluation 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

7. Zusammenfassung 

Wird der Endpunkt einer Sehne entlang der Berandungslinie eines n-Ecks bewegt, so erzeugt 

die Sehnenlänge – aufgetragen über dem zurückgelegten Weg – eine Funktion oder Kurve. Im 

Rahmen dieser Zulassungsarbeit wurde für das „MATHEMATIK-Labor“ eine Lernstation zu 

diesem Thema erarbeitet. Dazu wurden Realmodelle entwickelt, Arbeitsblätter zur Koordina- 

tion des Ablaufes und zur Vertiefung des Lernerfolges gestaltet und mit Hilfe einer dynami- 

schen Geometriesoftware Computersimulationen zur Veranschaulichung erarbeitet. Anhand 

mehrerer Testdurchläufe wurde die Station über Beobachtung und Auswertung von Fragebö- 

gen optimiert.

Anhang A: Herleitung der Sehnenlängen 71 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

Anhang A: Herleitung der Sehnenlängen 

Herleitung der Sehnenlänge beim Kreis: 

M 

 

c 

b 

90 ° 

H 

P 

s 

Q 

x 

Um die Sehnenlänge allgemein herleiten zu 

können zeichne ich im Kreis die Radien zu den 

Endpunkten der Sehne ein. Der sich beim 

Mittelpunkt ergebende Winkel sei μ. Die Seiten 

des sich ergebenden Dreiecks werden wie in der 

Zeichnung beschriftet. Da ich mich in einem Kreis 

befinde gilt: b=c=:r (**). r bezeichnet den Kreis- 

radius. Nun benutze ich den Kosinussatz 

( µ ) 

2 2 2 

s = b + c − 2bc 

⋅ cos und setze hier (**) ein. 

Damit ergibt sich: 2 2 2 

= 2r 

− 2r 

⋅ cos( 

µ ) 

( 1− 

cos µ ) 

s bzw. 

2 2 2 

s = r 

Jetzt muss in diese Gleichung 

noch in Abhängigkeit von x dargestellt werden, was wie folgt geschieht: 2 π r 

x = = µ r 

2π 

µ 

x 

2 2 ⎛ x ⎞ 

⇒ µ = . Somit ergibt sich für a(x): s( x) 

= 2r 

⎜1− 

cos ⎟ 

r 

⎝ r ⎠ 

Nun löse ich nach s(x) auf. Als Endergebnis erhalte ich für unsere Sehnenlänge s(x) in 

Abhängigkeit von dem auf dem Kreisbogen zurückgelegten Weg x folgendes Ergebnis: 

2⎛ 

x ⎞ 

s( x) 

= 2r 

⎜1− 

cos ⎟ 

⎝ r ⎠ 

0 ≤ x ≤ 2π 

Alternativ könnte man für die Herleitung auch die Definition des Sinus benutzen. Hierzu 

betrachtet man das Dreieck PHM oder QHM. Diese Dreiecke sind rechtwinklig, so dass gilt: 

µ 

sin( ) = 

2 

Abbildung 35: Kreis für Formelherleitung 

s 

2 

µ 

. Löst man diesen Ausdruck nach s auf so bekommt man: s = 2r 

⋅sin( 

) . 

r 

2 

x 

Mit µ = folgt: s( x) 

= 2r 

⋅sin( 

) 

r 

2r 

x

72 Anhang A: Herleitung der Sehnenlängen 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

Herleitung der Sehnenlänge beim Dreieck: 

Die Sehnenlänge beim Dreieck kann durch eine zusammengesetzte Funktion beschrieben 

werden, je nachdem auf welcher Seite des Dreiecks sich Q befindet (bei festem Startpunkt in 

A). 

l 

h 

C 

90 ° 

A l 

B 

s 

l/2 

H 

l/2-t 

Abbildung 36: Dreieck für Formelherleitung 

⎧ x 

⎪ 

s( 

x) 

= ⎨ (*) 

⎪ 

⎩3l 

− x 

Q 

für 0 ≤ x ≤ l 

für l 

t 

< x ≤ 2l 

für 2l 

< x < 3l 

Für den Fall, dass Q auf der Strecke BC liegt, muss die Formel noch hergeleitet werden. Dies 

wollen wir unter Zuhilfenahme des Satzes des Pythagoras tun. 

2 2 

Nach Pythagoras gilt zum einen: 

2 ⎟ ⎛ l ⎞ 

l = h + ⎜ 

⎝ ⎠ 

2 

⇒ h 

3 2 

= l 

4 

(Dreieck ABH) 

2 

2 2 ⎛ l ⎞ 

Zum anderen gilt auch: s = h + ⎜ − t ⎟ mit t = x-l 

⎝ 2 ⎠ 

Einsetzen von h 

(Dreieck AQH) 

2 2 

2 3 2 ⎛ 3l 

⎞ 

und t liefert: s ( x) 

= l + ⎜− 

x + ⎟ 

4 ⎝ 2 ⎠ 

Nach dem Ausmultiplizieren der Klammer bleibt: 

s(x): 

s + 

2 

2 

( x) 

= x − 3lx 

3l 

(*) 

2 

s ( x) 

+ l 

2 2 

2 

= x − 3lx 

3 daraus erhält man für


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

Herleitung der Sehnenlänge beim Quadrat: 

Die Sehnenlänge beim Quadrat kann durch eine zusammengesetzte Funktion beschrieben 

werden, je nachdem auf welcher Seite des Quadrats sich der Endpunkt der Sehne befindet (bei 

festem Startpunkt in A). 

D 

u 

S3 

s3 

l-z 

s2 

S2 

s1 

A l 

B 

z 

90 ° 

Abbildung 37: Quadrat für Formelherleitung 

⎧ x 

⎪ 

(*) 

s( 

x) 

= ⎨ 

⎪(**) 

⎪ 

⎩(* 

* *) 

C 

S1 

y 

für 0 ≤ x ≤ l 

für l 

< x ≤ 2l 

für 2l 

< x ≤ 3l 

für 3l 

< x < 4l 

x bezeichnet den auf der Berandungslinie des Körpers von A aus gegen den Uhrzeigersinn 

zurückgelegten Weg. 

2 2 

1. Nach Pythagoras gilt: s ( x) 

l + y 

(Dreieck ABS1) 

1 

2 

= mit y=(x-l) ⇒ ( ) 2 

2 

s1 ( x) 

l + x − l 

2 2 

2 

2. Nach Pythagoras gilt: s ( x) 

= l + ( l − z) 

mit z=(x-2l) ⇒ 

(Dreieck AS2D) 

2 

= (*) 

s ( x) 

− x 

2 

2 

2 

= l + ( 3l 

) (**) 

3. s3(x)=l-u mit u=x-3l ⇒ s3(x)=4l-x (***)


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

Herleitung der Sehnenlänge beim Fünfeck: 

Die Sehnenlänge beim Fünfeck kann durch eine zusammengesetzte Funktion beschrieben 

werden, je nachdem auf welcher Seite des Fünfecks sich der Endpunkt der Sehne befindet 

(bei festem Startpunkt in A). 

x bezeichnet den auf der Berandungslinie des Körpers zurückgelegten Weg von A aus, gegen 

360° 

den Uhrzeigersinn. Allgemein gilt für ein n-Eck: α = 180° 

− 

Hier also: α=108° 

n 

E 

S4 

s4(x) 

l/2 

H 

s3(x) 

S3 

h 

t 

D 

M 

A B 

l 

r 

v 

s1(x) 

s2(x) 

Abbildung 38: Fünfeck für Formelherleitung 

⎧x 

⎪ 

⎪ 

(*) 

s( 

x) 

= ⎨(**) 

⎪(* 

* *) 

⎪ 

⎪⎩ 

(* * **) 

H2 

 

für 0 ≤ x ≤ l 

für l 

< x ≤ 2l 

für 2l 

< x ≤ 3l 

für 3l 

< x ≤ 4l 

für 4l 

< x < 5l 

z 

y 

S2 

S1 

C


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

2 2 2 

1. y=x-l und mit dem Kosinussatz (DreieckABS1) folgt: s ( x) 

= l + y − 2ly 

cos( α) 

2 

2 

⇒ s ( x) 

l + ( x − l) 

− 2l( 

x − l) 

cos( α) 

1 

= (*) 

2. Nach Pythagoras (Dreieck AS2H2) gilt: 

l 

s2 ( x) 

− z 

2 

2 

2 

= v + ( ) 

mit 

1 

2 

2 l 

v = r + h = r + r − und z=x-2l 

4 

2 

2 l 2 l 

2 

⇒ s2 ( x) 

= ( r + r − ) + ( − ( x − 2l)) 

(**) 

4 2 

3. Mit dem Kosinussatz (Dreieck AS3E) folg: 

2 

2 

s ( x) 

l + ( l − t) 

− 2l( 

l − t) 

cos( α) 

3 

= mit t=x-3l 

2 

2 

⇒ s ( x) 

l + ( 4l 

− x) 

− 2l( 

4l 

− x) 

cos( α) 

3 

= (***) 

4. s4(x)=5l-x (****)


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

Herleitung der Sehnenlänge beim Sechseck: 

Die Sehnenlänge beim Sechseck kann durch eine zusammengesetzte Funktion beschrieben 

werden, je nachdem auf welcher Seite des Sechsecks sich der Endpunkt der Sehne befindet 

(bei festem Startpunkt in A). x bezeichnet den auf der Berandungslinie des Körpers 

zurückgelegten Weg von A aus gegen den Uhrzeigersinn. 

360° 

Allgemein gilt beim n-Eck: α = 180° 

− 


n 

F 

x5 

S5 

S4 

x4 

E 

A 

S3 

M 

Abbildung 39: Sechseck für Formelherleitung 

⎧x 

⎪ 

⎪ 

(*) 

⎪(**) 

s( 

x) 

= ⎨ 

⎪(* 

* *) 

⎪(* 

* **) 

⎪ 

⎩(* 

* * * *) 

l 

2r 

x3 

 

D 

 

für 0 ≤ x ≤ l 

für l 

< x ≤ 2l 

B 

für 2l 

< x ≤ 3l 

für 3l 

< x ≤ 4l 

für 4l 

< x ≤ 5l 

für 5l 

< x < 6l 

x1 

S2 

S1 

x2 

C


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

1. Mit Hilfe des Kosinussatzes (Dreieck ABS1) erhält man: 

s x = 

2 

l + 

2 

x − l − l x − l α 

(*) 

( ) 

( 

) 

2 ( 

) cos( 

) 

2. Mit Hilfe des Kosinussatzes (Dreieck AS2D) erhält man: 

s( x) 

= 

2 

2 

α 

( 2r) 

+ ( l − ( x − 2l)) 

− 4r( 

l − ( x − 2l)) 

cos( ) 

2 

(**) 

3. Mit Hilfe des Kosinussatzes (Dreieck ADS3) erhält man: 

s( x) 

= 

2 2 

α 

( x − 3l) 

+ ( 2r) 

− 4r( 

x − 3l) 

cos( ) 

2 

(***) 

4. Mit Hilfe des Kosinussatzes (Dreieck AFS4) erhält man: 

s x = 

2 

l + l − x − l 

2 

− l l − x − l α 

(****) 

( ) 

( 

( 

4 )) 

2 ( 

( 

4 )) cos( 

) 

5. s(x)=l-(x-5l)=6l-x (*****)


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

Herleitung der Sehnenlänge beim Achteck: 

Die Sehnenlänge beim Achteck kann durch eine zusammengesetzte Funktion beschrieben 

werden, je nachdem auf welcher Seite des Achtecks sich der Endpunkt der Sehne befindet 

(bei festem Startpunkt in A). x bezeichnet den auf der Berandungslinie des Körpers zurückgelegten 

Weg von A aus gegen den Uhrzeigersinn. 

360° 

Allgemein gilt beim n-Eck: α = 180° 

− 


n 

G 

x6 

S6 

H 

112,5° 

x7 

S7 

S5 

x5 

F 

/2 

S4 

M 

A l 

B 

Abbildung 40: Achteck für Formelherleitung 

⎧x 

⎪ 

⎪ 

(*) 

⎪(**) 

⎪ 

(* * *) 

s( 

x) 

= ⎨ 

⎪(* 

* **) 

⎪(* 

* * * *) 

⎪ 

⎪(* 

* * * **) 

⎪ 

⎩(* 

* * * * * *) 

x4 

2r 

 

E 

für 0 ≤ x ≤ l 

für l 

< x ≤ 2l 

x1 

für 2l 

< x ≤ 3l 

für 3l 

< x ≤ 4l 

für 4l 

< x ≤ 5l 

für 5l 

< x ≤ 6l 

für 6l 

< x ≤ 7l 

für 7l 

< x < 8l 

S3 

S1 

x3 

112,5° 

x2 

D 

S2 

C


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

1. Mit Hilfe des Kosinussatzes (Dreieck ABS1) folgt: 

s x = 

2 

l + 

2 

x − l − l x − l α 

(*) 

( ) 

( 

) 

2 ( 

) cos( 

2. Mit Hilfe des Kosinussatzes (Dreieck ACS2) folgt: 

) 

α (**) 

2 

2 

2 

s( x) 

= 2l 

( 1− 

cos( )) + ( x − 2l) 

− 2 2l 

( 1− 

cos( α) 

( x − 2l) 

cos( 112, 

5° 

) 

3. Mit Hilfe des Kosinussatzes (Dreieck AS3E) folgt: 

s( x) 

= 

2 

2 

α 

( 2r) 

+ ( l − ( x − 3l)) 

− 4r( 

l − ( x − 3l)) 

cos( ) 

2 

(***) 

4. Mit Hilfe des Kosinussatzes (Dreieck AES4) folgt: 

s( x) 

= 

2 

2 

α 

( 2r) 

+ ( x − 4l) 

− 4r( 

x − 4l) 

cos( ) 

2 

(****) 

5. Mit Hilfe des Kosinussatzes (Dreieck AS5G) folgt: 

2 

2 

2 

s( x) 

= 2l 

( 1− 

cos( α )) + ( l − ( x − 5l)) 

− 2 2l 

( 1− 

cos( α) 

( l − ( x − 5l) 

cos( 112, 

5° 

) 

(*****) 

6. Mit Hilfe des Kosinussatzes (Dreieck AHS6) folgt: 

s x = 

2 

l + l − x − l 

2 

− l l − x − l 

(******) 

( ) 

( 

( 

6 )) 

2 ( 

( 

6 )) cos( α) 

7. s(x)=8l-x (*******)

80 Anhang B: Arbeitsblätter der Lernstation 

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Anhang B: Arbeitsblätter der Lernstation

Anhang B: Arbeitsblätter der Lernstation 81 

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-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


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----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

„Fragebogen“ 

1. Bei welchem Teil dieser Lernstation hattet ihr die wenigsten Schwierigkeiten und 

warum? 

Antwort: 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

2. Bei welchem Teil dieser Lernstation hattet ihr Schwierigkeiten, welche waren es und 

warum? 

Antwort: 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

3. Wo habt ihr eine Hilfestellung benötigt und aus welchem Grund. Hat sie geholfen? 

Antwort: 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

4. Wo hat eine Hilfestellung gefehlt? Was hätte diese Hilfestellung euch sagen sollen? 

Antwort: 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

5. Gab es bei dieser Station Unklarheiten in den Anweisungen und Formulierungen 

(welche)? 

Antwort: 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

6. Was hat euch an dieser Station gestört und aus welchem Grund? 

Antwort: 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

7. Was würdet ihr an dieser Station ändern oder ergänzen und warum? 

Antwort: 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________

Anhang C: „Hilfen“ der Lernstation 111 

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Anhang C: Hilfen der Lernstation

112 Anhang C: „Hilfen“ der Lernstation 

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„Hilfe zur Definition einer Sehne“ 

Definition einer Sehne (geometrisch): 

Die Sehne einer Figur ist eine Strecke, die auf der Berandungslinie der 

Figur beginnt und endet. 

Definition einer Sehne (mengentheoretisch) 

P 

r 

Hat eine Gerade mit einer Figur (Berandungslinie) zwei Punkte P und 

Q gemeinsam, so nennt man sie Sekante der Figur. Die Gesamtheit 

der im Inneren der Figur liegenden Punkte dieser Sekante zusammen 

mit den beiden Schnittpunkten auf der Berandungslinie nennt man 

Sehne s. 

Kurz: Die Schnittmenge einer Geraden mit einer Figur (Fläche) heißt 

Sehne der Figur. 

M 

s 

x 

Q 

Seka k nte


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


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Hilfe zur Formeleingabe 

1. Ruft mit Hilfe der Maus das Kapitel „Formelherleitung am“ auf. Hier könnt ihr alles was 

auf diesem Blatt steht nochmals nachlesen. 

2. Nun ruft mit Hilfe der Maus den Unterpunkt des Kapitels auf, den ihr gerade bearbeitet. 

Wenn ihr also die Formelherleitung am Kreis macht, dann klickt „Kreis“ in der Menüleiste 

an. Falls ihr aber die Formelherleitung am Dreieck macht, dann klickt auf „Dreieck“. 

3. Jetzt hat sich ein Fenster geöffnet, in dem ihr ein Koordinatensystem und zwei 

Auswahlfelder „∼“ seht (Der Button oben rechts in der Ecke ist zum Zurücksetzen 

des Fensters auf den Anfangszustand gedacht.). Klickt mit der Maus das Feld „Figur“ 

an. 

4. Jetzt sind auf dem Bildschirm weitere Auswahlfelder zum anklicken erschienen, sowie 

die Figur, um die es sich bei deinem Arbeitsblatt dreht. Klickt „∼ Eingegebene Funktion 

anzeigen“ an. 

5. Wenn ihr alles richtig gemacht habt, dann erscheinen einige Daten zur Figur auf dem 

Bildschirm, die ihr braucht um die Formel richtig eingeben und vergleichen zu können. 

6. Klickt zur Formeleingabe die entsprechende Funktion im linken Fenster mit der rechten 

Maustaste an [Die Funktion steht im Ordner „Freie Objekte“ und trägt die Bezeichnung 

s1(x)=0x. Falls die Funktion sich aus mehreren Bereichen zusammensetzt, dann wählt die 

entsprechende Bezeichnung für den gewünschten Bereich anhand der Figur auf dem 

Bildschirm aus.], und wählt im erscheinenden Menü den Punkt umdefinieren aus. 

7. Benutze für die Eingabe folgende Formeln: 

2 

x = ˆ sqrt( 

x) 

cos( x° 

) = ˆ cos( x° 

) 

3, 

5 = ˆ 3. 

5 

x = ˆ x^2 

8. Beendet die Eingabe durch das Anklicken des Buttons „Übernehmen“. 

9. Wenn die Funktion aus mehreren Bereichen besteht, dann geht bei der Eingabe für die 

übrigen Bereiche analog vor. 

10. Wenn ihr die Funktion vollständig eingegeben habt, dann erscheint euer Graph im 

Koordinatensystem. Um zu überprüfen, ob eure Funktion bzw. eure Eingabe richtig ist, 

könnt ihr das Auswahlfeld „∼ Graph (Weg/Sehnenlänge)“ anklicken. Wenn die beiden 

Graphen übereinstimmen, dann habt ihr alles richtig gemacht. Falls dies nicht der Fall ist, 

dann überprüft zunächst eure Eingabe und wenn ihr hier keinen Fehler findet, dann 

überprüft eure Herleitung.


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„Hilfe zu P8“ 

1. Ruft mit Hilfe der Maus den ersten Unterpunkt des Kapitels „zu: P8“ auf, das ist „Figur 

1“ 

2. Jetzt hat sich ein Fenster geöffnet, in dem ihr ein Koordinatensystem und zwei Auswahlfelder 

seht. Ihr könnt euch durch anklicken eines der Felder entscheiden, ob ihr euch die 

Figur oder den Graphen anzeigen lassen wollt. 

a) Wenn ihr euch für den Graphen entschieden habt, betrachtet ihn genau und 

überlegt euch, um welche Figur es sich handeln könnte, bevor ihr euch die 

zugehörige Figur anzeigen lasst. 

Oder: 

b) Habt ihr euch für die Figur entschieden, dann überlegt wie der zugehörige 

Graph aussehen müsste. 

3. Geht alle Unterpunkte („Figur 1“ bis „Figur 6“) der Reihe nach durch und vergleicht sie 

mit eueren Skizzen aus „P6“ des „Ablaufplans der Lernstation“. 

4. Wenn ihr alle Figuren bearbeitet habt, dann kehrt zum „Ablaufplan der Lernstation“ 

zurück.


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„Hilfe zu P10“ 

11. Ruft mit Hilfe der Maus das Kapitel „zu: P10“ auf. Hier könnt ihr alles was auf diesem 

Blatt steht nochmals nachlesen. 

1. Nun ruft mit Hilfe der Maus den ersten Unterpunkt des Kapitels auf, das ist „Beispiel 

eines n-Ecks“. 

2. Jetzt hat sich ein Fenster geöffnet, in dem ihr eine Krone und den zugehörigen Graphen 

(Mittelpunktswinkel/Sehnenlänge) seht. Spielt ein wenig mit dem Beispiel herum und 

verändert Anfangs- und Endpunkt der Sehne. 

3. Jetzt könnt ihr den Unterpunkt „n-Eck selbst erzeugen“ aufrufen. 

4. In dem sich öffnenden Fenster erscheinen ein Koordinatensystem und ein „Dreieck 

PQM“. 

5. Um ein beliebiges n-Eck selber zu zeichnen wählt ihr oben in der Menüleiste das zweite 

Symbol von rechts aus (Vieleck) und folgt der dazu eingeblendeten Anweisung. Bis jetzt 

erscheint noch kein Graph. Um den Graphen, der zu eurer Figur gehört sehen zu können 

folgt ihr diesen Anweisungen: 

a) Schiebt den Punkt M in die Mitte eurer Figur. Benutzt dazu den Menüpunkt 

bewegen: 

b) Klickt mit der rechten Maustaste den Punkt P an, und wählt im erscheinenden 

Menü die Option Umdefinieren aus. Anschließend gebt ihr in die erscheinende 

Eingabezeile folgenden Text ein: Punkt[poly1] 

c) Wiederholt den Schritt b) mit dem Punkt Q 

d) Nun wählt in der Werkzeugleiste das Werkzeug Ortslinie ( ) aus, und 

klickt auf den Punkt R und anschließend auf den Punkt Q. 

e) Nun könnt ihr die Punkte P und Q beliebig verschieben, und ihr seht den 

zugehörigen Graphen 

6. Spielt ein wenig mit eurer Figur herum und überlegt euch dazu folgendes: 

Wie ändert sich der Graph, wenn man 

• die Lage eines Eckpunktes des n-Ecks verändert? 

• am Punkt P zieht? 

• die Lage des Scheitelpunktes von μ verändert? 

7. Wenn ihr damit fertig seid, dann kehrt zum „Ablaufplan der Lernstation“ zurück.

122 Anhang D: Bauanleitungen der Holzmodelle für den Schreiner 

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Anhang D: Bauanleitungen der Holzmodelle für den Schreiner 

Allgemeine Hinweise zu den Modellen & 

Schablonen: 

• Alle Modelle & Schablonen sollen aus einer sehr harten und 

damit robusten und widerstandsfähigen Holzsorte sein 

(Multiplex). 

• Jedes einzelne Modell soll eine Dicke von 1,5 cm besitzen. 

• Die Schablonen sollen eine Dicke von 1,0 cm besitzen. Jede 

Schablone soll eine mit ihr verleimte Bodenplatte besitzen, die 

Quadratisch (26cm x 26cm) ist und ebenfalls eine Dicke von 1,0 

cm besitzt. 

• Die Bohrungen der Schablonen sollen vollständig durch die 

Schablonen durchgehen und noch 0,5 cm in die Bodenplatten 

reichen, so dass eine gesamte Bohrtiefe von 1,5 cm entsteht 

(Schablone + Bodenplatte).

Anhang D: Bauanleitungen der Holzmodelle für den Schreiner 123 

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Holzmodell (Kreis) 

M 

Kreis mit Radius 8 cm. 

8 cm


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

90 ° 

90 ° 

26 cm 

Schablone mit Bohrungen für den Kreis 

8,1cm 

M 

13 cm 

26 cm 

8 cm 

Bohrungen mit 2 mm Durchmesser 

26 cm 

26 cm 

90 ° 

90 °


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

A 

60 ° 

Holzmodell (Dreieck) 

C 

M 

13,856 cm 

60 ° 

13,856 cm 13,856 cm 

8 cm 

60 ° 

B


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

26 cm 

90 ° 

Schablone mit Bohrungen fürs Dreieck 

90 ° 

13 cm 

60 ° 

13,856 cm 

26 cm 

13,856 cm 

M 

60 ° 

26 cm 

Abstand der Linie vom Dreieck 1,0 mm 

8 cm 

60 ° 

Durchmesser der Bohrungen 2 mm 

90 ° 

90 ° 

26 cm


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

D 

90 ° 

Holzmodell (Quadrat) 

11,314 cm 

90 ° 

11,314 cm 

A B 

M 

11,314 cm 

90 ° 

8 cm 

11,314 cm 

C 

90 °


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

26 cm 

Schablone mit Bohrungen fürs Quadrat 

90 ° 

11,314 cm 

90 ° 

26 cm 

90 ° 90 ° 

13 cm 

90 ° 

Durchmesser der Bohrungen: 2 mm 

11,314 cm 

M 

11,314 cm 

26 cm 

90 ° 

8 cm 

11,314 cm 

90 ° 

Abstand der Linie vom Quadrat: 1 mm 

90 ° 

26 cm


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

E 

108 ° 

9,405 cm 

Holzmodell (Fünfeck) 

9,405 cm 

108 ° 

D 

108 ° 

M 

9,405 cm 

9,405 cm 

8 cm 

9,405 cm 

108 ° 

108 ° 

A B 

C


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

26 cm 

Schablone mit Bohrungen fürs Fünfeck 

90 ° 

90 ° 

108 ° 

13 cm 

108 ° 

26 cm 

Durchmesser der Bohrlöcher: 2 mm 

108 ° 

9,405 cm 

M 

9,405 cm 

26 cm 

8 cm 

108 ° 

Abstand der gestrichelten Linie 

vom Fünfe f ck: 1 mm 

108 ° 

90 ° 

90 ° 

26 cm


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

F 

120 ° 

E 

8 cm 

8 cm 

A 

Holzmodell (Sechseck) 

120 ° 

120 ° 

8 cm 

M 

8 cm 

8 cm 

120 ° 

D 

120 ° 

8 cm 

8 cm 

B 

120 ° 

C


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

Schablone mit Bohrungen fürs Sechseck 

90 ° 

8 cm 

8 8 cm 

26 cm 120 ° 13 cm 

120 ° 

26 cm 

M 

90 ° 

8 cm 

120 ° 

120 ° 

26 cm 

Durchmesser der Bohrlöcher: 2 mm 

8 cm 

8 cm 

26 cm 

120 ° 

120 ° 

8 cm 

Abstand der rot gestrichelten Linie 

vom Sechseck: 1 mm 

90 ° 

90 °


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

G 

H 

135 ° 

6,123 cm 

135 ° 

F 

6,123 cm 

6,123 cm 

Holzmodell (Achteck) 

135 ° 

135 ° 

6,123 cm 

M 

6,123 cm 

135 ° 

135 ° 

A B 

E 

6,123 cm 

8 cm 

6,123 cm 

6,123 cm 

135 ° 

135 ° 

D 

C


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

90 ° 

26 cm 

90 ° 

Schablone mit Bohrungen fürs Achteck 

13 cm 

135 ° 

6,123 cm 

6,123 cm 

135 ° 

6,123 cm 

6,123 cm 

135 ° 

135 ° 

135 ° 

26 cm 

Durchmesser der Bohrungen: 2 mm 

M 

6,123 cm 

6,123 cm 

8 cm 

135 ° 

6,123 cm 

Abstand der rot gestrichelten Linie 

vom Achteck: 1 mm 

26 cm 

135 ° 

6,123 cm 

135 ° 

90 ° 

26 cm 

90 °

Anhang E: Musterlösung der Arbeitsblätter 135 

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Anhang E: Musterlösung der Arbeitsblätter

136 Anhang E: Musterlösung der Arbeitsblätter 

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Herleitung der Sehnenlänge beim Kreis: 

M 

 

c 

b 

90 ° 

H 

P 

s 

Q 

x 

Um die Sehnenlänge allgemein herleiten zu 

können zeichne ich im Kreis die Radien zu den 

Endpunkten der Sehne ein. Der sich beim 

Mittelpunkt ergebende Winkel sei μ. Die Seiten 

des sich ergebenden Dreiecks werden wie in der 

Zeichnung beschriftet. Da ich mich in einem Kreis 

befinde gilt: b=c=:r (**). r bezeichnet den Kreis- 

radius. Nun benutze ich den Kosinussatz 

( µ ) 

2 2 2 

s = b + c − 2bc 

⋅ cos und setze hier (**) ein. 

Damit ergibt sich: 2 2 2 

= 2r 

− 2r 

⋅ cos( 

µ ) 

( 1− 

cos µ ) 

s bzw. 

2 2 2 

s = r 

Jetzt muss in diese Gleichung 

noch in Abhängigkeit von x dargestellt werden, was wie folgt geschieht: 2 π r 

x = = µ r 

2π 

µ 

x 

2 2 ⎛ x ⎞ 

⇒ µ = . Somit ergibt sich für a(x): s( x) 

= 2r 

⎜1− 

cos ⎟ 

r 

⎝ r ⎠ 

Nun löse ich nach s(x) auf. Als Endergebnis erhalte ich für unsere Sehnenlänge s(x) in 

Abhängigkeit von dem auf dem Kreisbogen zurückgelegten Weg x folgendes Ergebnis: 

2⎛ 

x ⎞ 

s( x) 

= 2r 

⎜1− 

cos ⎟ 

⎝ r ⎠ 

0 ≤ x ≤ 2π 

Alternativ könnte man für die Herleitung auch die Definition des Sinus benutzen. Hierzu 

betrachtet man das Dreieck PHM oder QHM. Diese Dreiecke sind rechtwinklig, so dass gilt: 

µ 

sin( ) = 

2 

Abbildung 41: Kreis für Formelherleitung 

s 

2 

µ 

. Löst man diesen Ausdruck nach s auf so bekommt man: s = 2r 

⋅sin( 

) . 

r 

2 

x 

Mit µ = folgt: s( x) 

= 2r 

⋅sin( 

) 

r 

2r 

x


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164 Anhang F: Screenshots der html-Umgebung der Applets 

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Anhang F: Screenshots der html-Umgebung der Applets

Anhang F: Screenshots der html-Umgebung der Applets 165 

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Abbildungsverzeichnis 173 

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Abbildungsverzeichnis: 

Abb. 1 Pfeildiagramm……………………………………………………..…………. 5 

Abb. 2 Leiterdiagramm…………………………………………………..…………... 5 

Abb. 3 Funktionsmaschine…………………………………………………..………. 5 

Abb. 4 Funktionsgraph…………………………………………………..…………... 6 

Abb. 5 Kreis mit Sehne…………………………………………………..…………... 23 

Abb. 6 Arbeitsblatt 1 (Kreis) - Vorderseite………………………………………….. 34 

Abb. 7 Arbeitsblatt 1 (Kreis) – Rückseite...…………………………………………. 35 

Abb. 8 Arbeitsblatt 2 (Kreis) – Vorderseite…………………………………………. 37 

Abb. 9 Arbeitsblatt 1 (Kreis) – Rückseite.……………………..……………………. 38 

Abb. 10 Holzmodell mit Schablone.……...………………………..…………………. 38 

Abb. 11 Gummibandmodell.………………………………………………………….. 39 

Abb. 12 Arbeitsblatt 3 (Kreis) - Vorderseite.…………………………………………. 41 

Abb. 13 Arbeitsblatt 3 (Kreis) – Rückseite.……………………………......…………. 41 

Abb. 14 Screenshot zu P3.…………………………………………………………….. 42 

Abb. 15 Formelherleitung am Kreis - Vorderseite……………………………………. 43 

Abb. 16 Formelherleitung am Kreis - Rückseite……………………………………… 44 

Abb. 17 Screenshot zu P10...………………………..………………………………… 50 

Abb. 18 Screenshot eines Applets.………………………………..…………………... 51 

Abb. 19 Screenshot (1) – Dreieck…………………………………………………...... 52 

Abb. 20 Screenshot (2) – Dreieck.…………………………………………..………... 53 

Abb. 21 Screenshot (3) – Dreieck.………………………………………..…………... 54 

Abb. 22 Screenshot (4) – Dreieck.………………………………………..…………... 55 

Abb. 23 Screenshot (5) – Dreieck.………………………………………..……........... 56 

Abb. 24 Multiplex Platte.......................………………………………………..……... 59 

Abb. 25 Holzmodelle.......................................………………………..………………. 60 

Abb. 26 Schablonen (1)………………………………………...……..………………. 60 

Abb. 27 Schablonen (2)……………………………………………..……………….... 61 

Abb. 28 Schablonen (3)…………………………………………..……….................... 61


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Abb. 29 Eingesetztes Modell…………...……………………………………..………. 61 

Abb. 30 Messpunkte in Form von Bohrungen……………………………………..…. 62 

Abb. 31 Maßband………………………………………..……………………..……... 62 

Abb. 32 Metallstift………………..…………………………….………………..……. 62 

Abb. 33 Testversion der Station………………………………………………………. 65 

Abb. 34 Schülerantworten auf Zusatzfragen...………………………..………………. 69 

Abb. 35 Kreis für Formelherleitung…………………………………..………………. 70 

Abb. 36 Dreieck für Kosinussatz…………………………………………………….... 70 

Abb. 37 Dreieck für Formelherleitung……………………………………………..…. 72 

Abb. 38 Quadrat für Formelherleitung………………………………………..………. 73 

Abb. 39 Fünfeck für Formelherleitung………………………………………..………. 74 

Abb. 40 Sechseck für Formelherleitung………………………………………..……... 76 

Abb. 41 Achteck für Formelherleitung…………………………………………..……. 78

Literaturverzeichnis 175 

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Literaturverzeichnis: 

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Behnke u. H.-G- Steiner (Hrsg.) Mathematischer Unterricht an 

deutschen Universitäten und Schulen, Göttingen, 1967, S.139 - 

171 

STEINER ET AL. (1983) Steiner, H.-G. / Artmann, B. / Kirsch, A.: Moderne 

Mathematik in elementarer Darstellung. - Vandenhoeck & 

Ruprecht–Verlag, 1983, S. 18 - 37 

STOYE (1986) Stoye, W.: Zur Herausbildung von Vorstellungen zum 

Funktionsbegriff. - In: Mathematik in der Schule, Juni 1986, 

Jahrgang 24, S. 434 - 441 

STRUNZ (1949) Strunz, K.: Das funktionale Denken in der Mathematik, 

Studium generale 2, 1949, S. 31 - 37 

TIMMANN (1993) Timmann, S.: Repetitorium der Analysis (Teil 1). - Binomi 

Verlag, Springe, 1993


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

TIETZE ET AL. (1997) Tietze, U.-P. / Klika, M. / Wolpers, H.: Mathematikunterricht 

in der Sekundarstufe II (Band 1: Fachdidaktische Grundfragen, 

Didaktik de Analysis). - Vieweg-Verlag, Braunschweig, 

Wiesbaden, 1997 

TIETZE ET AL. (1982) Tietze, U.-P. / Klika, M. / Wolpers, H.: Didaktik des 

Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe II. - Vieweg- 

Verlag, Braunschweig, Wiesbaden, 1982 

ULM (2005) Ulm, V.: Geometrie am Bildschirm – Selbstständiges Lernen 

mit dynamischer Mathematik. - In: Lernchancen, 2005, Jahr- 

gang 8, Heft 45, S. 16 - 21 

ULM (2003) Ulm, V.: Wechselspiele zwischen Figur und Zahl mit 

dynamischer Mathematik erleben. - In: Der Mathematik- 

unterricht, Dezember 2003, Jahrgang 49, Heft 6, S. 38 - 49 

VOLLRATH (1984) Vollrath, H.-J.: Methodik des Begriffslehrens im 

Mathematikunterricht, Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 1984, S. 19 

VOLLRATH (1989) Vollrath; H. - J.: Funktionales Denken. - In: Journal für 

Mathematik-Didaktik, 1989, Jahrgang 10, Heft 1, S. 3 - 37 

WEIGAND (1988) Weigand, H. - G.: Zur Bedeutung der Darstellungsform für das 

Entdecken von Funktionseigenschaften. - In: Journal für 

Mathematik-Didaktik, 1988, Jahrgang 9, Heft 4, S. 287 - 325 

WEIGAND/WETH (2002) Weigand, H. - G. / Weth, T.: Computer im Mathematik- 

unterricht – Neue Wege zu alten Zielen. - Spektrum 

Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, 2002


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WEIGAND (2007) Weigand, H. - G.: Didaktik der Algebra – Vorlesung über 

Didaktik der Algebra im Sommersemester 2007 an der 

Universität Würzburg 

WILLE (1991) Wille, D.: Repetitorium der Linearen Algebra (Teil 1). - Binomi 

Verlag, Springe, 1991


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Danksagung 

Der Anstoß zur vorliegenden Arbeit ging von Prof. Dr. H.-G. Weigand aus, der mich erst auf 

dieses Thema aufmerksam gemacht hat, dafür bin ich dankbar. 

Ebenso möchte ich mich bei J. Wörler bedanken, der im Rahmen des Aufbaus des „MATHE- 

MATIK-Labors“, für die Entwicklung und Programmierung der html-Seiten verantwortlich 

war. Dank seiner stets schnellen und bereitwilligen Hilfe konnten die auftretenden Software- 

probleme umgehend gelöst werden. Bedanken möchte ich mich auch bei der Schreinerei 

Fersch, die die Holzmodelle in so kurzer Zeit sorgfältig hergestellt hat. Weiter gilt mein Dank 

den Jugendlichen der „Gruppe Lukas“ aus der Pfarrei „Unsere Liebe Frau“ in Würzburg, die 

so bereitwillig die Kandidaten für die Testdurchläufe der Station gestellt haben. 

Mein ganz besonderer Dank gilt Dr. J. Roth der mir bei meiner Arbeit und bei technischen 

Fragen zur verwendeten Geometriesoftware und bei allen anderen Problemen immer und 

sofort mit Rat und Tat zur Seite stand. Für diese vorbildliche Betreuung bin ich ihm ebenfalls 

sehr dankbar! 

Die tatsächliche Betreuung und Durchführung der Station, des „Drei-Phasen-Lernlabors“, 

wird im Rahmen eines Seminars von einem Dozenten übernommen werden, da dies über den 

Rahmen dieser Zulassungsarbeit hinausgehen würde.

Erklärung 183 

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Erklärung 

Hiermit versichere ich, dass ich die Arbeit in allen Teilen 

selbstständig angefertigt und keine anderen als die in der Arbeit 

angegebenen Hilfsmittel benutzt habe. 

Die Zeichnungen, Kartenskizzen und bildlichen Darstellungen 

habe ich selbst gefertigt. 

Würzburg, den Unterschrift

Kurvenerzeugende Sehnen - Didaktik der Mathematik ...

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