Attribut-basierte Verschlüsselung: Modellierungen und ...

2 := (bd1+1, . . . , bd) ⊤ aus B ˆ M2
γ
gilt, dass b := (b1, . . . , bd) ⊤ Element von B ˆ M γ . Mit Hilfe
der Widerspruchsannahme b /∈ B ˆ M γ kann die Aussage bewiesen werden.
Aus der Annahme folgt mit Definition 24, dass für eine Zeile i des Vektors b gilt
Mit (4.1) oder (4.2) gilt für i ≤ d1
sonst gilt
bi = 0 und ρ(i) /∈ γ.
bi = 0 und ρ1(i) /∈ γ,
bi = 0 und ρ2(i − d1) /∈ γ.
Das bedeutet b1 /∈ B ˆ M1
γ oder b2 /∈ B ˆ M2
γ . Damit ist der Widerspruch gezeigt woraus folgt,
dass die Widerspruchsannahme falsch ist. Somit ist auch die Rückrichtung bewiesen.
Nun können wir zeigen, dass die Konstruktion ein gültiges MSP ˆ M für eine monotone
boolsche Formel f erzeugt. Dies bedeutet, dass sowohl ˆ M als auch f dieselbe Zugriffsstruktur
modellieren.
Beweis. Es wird der Satz 33 bewiesen, dazu muss (4.4) gezeigt werden.
Für die monotone boolsche Formel f = a folgt aus der Konstruktion trivial, dass der
Satz korrekt ist.
Für die Konstruktion der monotonen boolschen Formel, die eine Konjunktion oder
Disjunktion zweier boolscher Formeln f1, f2 darstellt, wird der Beweis jeweils in eine
Hin- und Rückrichtung unterteilt.
Beweis der Hinrichtung für die Konjunktion:
Wir zeigen, wenn eine Menge γ die Formel f erfüllt, dann erfüllt γ auch das konstruierte
MSP. Für die Matrix des MSP gilt
M1 0
M =
.
0 M2
Für die Bewertungsfunktion der boolschen Formel gilt nach Definition 14
I(γ, f) = I(γ, f1 ∧ f2) = I(γ, f1) ∧ I(γ, f2).
Daraus folgt mit I(γ, f) = true, dass I(γ, f1) = true und I(γ, f2) = true. Da die
MSP ˆ M1(M1, ρ1) und ˆ M2(M2, ρ2) bereits dieselben Zugriffsstrukturen modellieren wie
die boolschen Formeln f1 und f2, folgt
∃b1 ∈ B ˆ M1
γ , ∃b2 ∈ B ˆ M2
γ
Nach Lemma 34 gilt für den Vektor b =
: b1 ⊤ M1 = 1 ⊤ und b2 ⊤ M2 = 1 ⊤ .
b1
b2
, dass b ∈ B ˆ M γ . Weiter gilt
b1 ⊤ M1 + b2 ⊤ (0, 0, 0, . . .) = 1 ⊤ und b1 ⊤ (0, 0, 0, . . .) + b2 ⊤ M2 = 1 ⊤ .
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