d - Allgemeine und theoretische Elektrotechnik
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d - Allgemeine und theoretische Elektrotechnik
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Theoretische <strong>Elektrotechnik</strong> TET 1<br />
[Buch Seite 70-87]<br />
2. Stationäre elektrische<br />
Felder in Leitern<br />
• Die elektrische Stromdichte<br />
• Gr<strong>und</strong>gleichungen des stationären Strömungsfeldes<br />
• Widerstand <strong>und</strong> Leitwert<br />
• Grenzbedingungen<br />
• Energie <strong>und</strong> Leistungsumsatz<br />
Theoretische <strong>Elektrotechnik</strong> TET 1<br />
Üblicherweise wird dieses Kapitel eher wie folgt überschrieben!<br />
[Buch Seite 70-87]<br />
2. Das stationäre elektrische<br />
Strömungsfeld<br />
• Die elektrische Stromdichte<br />
• Gr<strong>und</strong>gleichungen des stationären Strömungsfeldes<br />
• Widerstand <strong>und</strong> Leitwert<br />
• Grenzbedingungen<br />
• Energie <strong>und</strong> Leistungsumsatz<br />
-235-<br />
-236-<br />
1
Stationäres elektrisches Feld im Leiter<br />
Zur Bedeutung von «stationär»<br />
(1) Metallischer Leiter im elektrischen Feld:<br />
u<br />
u<br />
<br />
J<br />
i<br />
+<br />
E<br />
–<br />
i<br />
<br />
i<br />
+ +<br />
+ +<br />
vD +<br />
+<br />
i<br />
+<br />
–<br />
<br />
E<br />
<br />
E<br />
<br />
E<br />
+<br />
feldfrei<br />
–<br />
E<br />
Stationäres<br />
elektrisches<br />
Feld im Leiter?<br />
Kurzzeitiges Ungleichgewicht (< 10 fs),<br />
d.h. Ladunsgträger wandern schnell<br />
an die Oberfläche. Im nachfolgenden<br />
Gleichgewicht ist Inneres feldfrei!<br />
Langandauerndes Ungleichgewicht:<br />
Quelle hält Potentialdifferenz aufrecht,<br />
Ladungsträger wandern ständig, d.h.<br />
stationär; Inneres ist nicht feldfrei.<br />
Stationäres elektrisches Feld im Leiter<br />
Zur Bedeutung von «stationär»<br />
(2) Das elektrische Strömungsfeld:<br />
«Nachschub»<br />
Erster Hinweis auf<br />
die Elektrodynamik.<br />
• Wird die Potentialdifferenz (Spannung u) mit Hilfe<br />
einer (starren) Urspannungsquelle aufrecht erhalten,<br />
dann herrscht auch im Innern des Metalls<br />
ein elektrisches Feld vor.<br />
• Ladungen wandern stetig (Geschwindigkeit vD ) entsprechend<br />
der im Innern wirkenden Coulombkraft.<br />
• Es findet ein dauernder, d.h stationärer Ausgleichsvorgang<br />
der Ladungen statt.<br />
• Dieser kann nur aufrecht erhalten werden, wenn<br />
die Spannungsquelle Ladungen «nachliefert», was<br />
der Aufrecherhaltung der Spannung entspricht.<br />
• Die Gesamtheit der stetig wandernden Ladungen<br />
wird mit dem stationären Strömungsfeld J umschrieben<br />
(wird oft auch mit S oder G bezeichnet).<br />
-237-<br />
-238-<br />
2
Elektrische Stromdichte I<br />
Ladungsträgerbewegung<br />
(1) Strom als «Ladungszufuhr» von positiven Ladungsträger:<br />
Elektrode (El) A<br />
u<br />
<br />
J<br />
<br />
D = D n n<br />
<br />
i<br />
+<br />
vD + s +<br />
+<br />
i<br />
<br />
<br />
D<br />
<br />
E<br />
<br />
totales Differenzial : d = t dt + s ds<br />
<br />
Stationärer Fall:<br />
i = dQ<br />
dt<br />
di = d e<br />
d<br />
dt<br />
d e<br />
dt<br />
<br />
di<br />
dt<br />
Q =<br />
d e<br />
dt<br />
<br />
El / <br />
<br />
D ndA<br />
=<br />
= d<br />
dt<br />
d F<br />
<br />
Dd F<br />
( )<br />
ds <br />
= + = + v<br />
t dt s t s<br />
= D<br />
t<br />
<br />
Elektrische Stromdichte II<br />
Ladungsträgerbewegung<br />
(2) Ladungsträgerstrom<br />
Elektrode (El) A<br />
u<br />
<br />
J<br />
<br />
i<br />
+<br />
vD + s +<br />
+<br />
i<br />
<br />
<br />
D<br />
<br />
E<br />
<br />
d F + v n <br />
<br />
Dn A<br />
d<br />
s A<br />
F<br />
Q<br />
= 0 vD V = <br />
di = d e<br />
dt = D<br />
t d F + v D d F<br />
di = vD d F = J d F<br />
<br />
J = vD <br />
Integrationshülle ohne <br />
di = J ndA = J n dA d F = ndA<br />
J n = di<br />
dA<br />
A<br />
<br />
D de <br />
ndA<br />
<br />
d F<br />
D-Feld ist auch<br />
ortsabhängig.<br />
Stromdichte des Strömungsfeldes<br />
-239-<br />
Vom Typ «Stromdichte» <strong>und</strong> heisst<br />
Verschiebungsstromdichte (später).<br />
Im stationären Fall 0.<br />
(im stationären Fall)<br />
Stromdichte als Flächendichte des<br />
elektrischen Stromes.<br />
Merke: Beim Strömungsfeld der bewegten Ladungsträger handelt es sich um einen sogenannten<br />
Konvektionsstrom. Im Leiter wird der Konvektionsstrom zum Leitungsstrom.<br />
-240-<br />
3
Elektrische Stromdichte III<br />
Ladungsträgerbewegung<br />
(3) Stromdichte <strong>und</strong> elektrische Stromstärke:<br />
A<br />
i<br />
<br />
J<br />
<br />
n<br />
i<br />
i<br />
di = J ndA<br />
i = di =<br />
A<br />
<br />
A<br />
<br />
J ndA<br />
(4) Bezugspfeil der Stromstärke:<br />
Elektrischer Strom:<br />
i =<br />
<br />
A<br />
<br />
J ndA<br />
<br />
(A) Der Vektor der Stromdichte J wird physikalisch vorgegeben<br />
(durch die Ladungsträgerbewegung).<br />
(B) Der Bezugspeil der Stromstärke i (kein Vektor!) ist<br />
gleichsinnig zu wählen, wie der willkürlich nach<br />
oben/unten orientierte Flächennormalenvektor.<br />
<br />
(C) Die Stromstärke ist positiv bei n <strong>und</strong> J gleichgerichtet<br />
<strong>und</strong> negativ wenn entgegengesetzt gerichtet.<br />
Elektrische Stromdichte IV<br />
Ladungsträgerbewegung<br />
(5) Das Gesamtbild:<br />
<br />
J = v<br />
> 0<br />
<br />
J = v<br />
< 0<br />
<br />
J = v<br />
> 0<br />
<br />
J = v<br />
< 0<br />
d F<br />
-241-<br />
-242-<br />
4
Elektrische Stromdichte V<br />
Ladungsträgerbewegung<br />
(6) Strömungsfeld aus unterschiedlichen Ladungsträgern:<br />
<br />
J = ( + ) v ( + )+ ( )<br />
v( )=<br />
J ( + ) + J( )<br />
mit : ( + )+ ( )=<br />
0 ( Neutralitätsbedingung)<br />
<br />
J = +<br />
( ( ) )<br />
( ) v ( + ) v <br />
<br />
Zur Orientierung von J( siehe<br />
)<br />
auch Folie 242.<br />
Zur Neutralitätsbedingung vergleiche<br />
auch Folien 11 (abgeschlossene<br />
Systeme) 12 (starke Kräfte) <strong>und</strong><br />
113 (Realstatus Potential in QED).<br />
Elektrische Stromdichte VI<br />
Ladungserhaltung<br />
(1) Bilanz der Stromstärke für eine geschlossene Hüllfläche:<br />
<br />
J<br />
<br />
J<br />
i<br />
d F<br />
V<br />
• Positive <strong>und</strong> negative Ladungsträger:<br />
bipolarer Stromtransport.<br />
• Aus historischen Gründe entspricht<br />
die technische Stromrichtung<br />
der «Fliessrichtung»<br />
der positiven Ladungsträge.<br />
• Alternative Szenarien des<br />
Ladungstransportes wie z.B.<br />
(a) die Ladungsbewegung im<br />
Vakuum (Elektronenstrahl),<br />
(b) die Ladungsbewegung im<br />
Elektrolyten,<br />
(c) die Ladungsbewegung im<br />
Halbleiter,<br />
werden in GET1 diskutiert.<br />
• Ladungserhaltung: Bilanz des Ladungstransports durch die<br />
Hüllfläche ist ausgeglichen, d.h. Ein- <strong>und</strong> Ausfuhr von Ladung<br />
heben sich auf. Die Zuleitung (cf. Folie 240) ist nun endlich<br />
dick <strong>und</strong> kann in V mitberücksichtigt werden. Es ergibt sich<br />
für die Bilanz der externen Stromstärken des Leiters Null:<br />
<br />
i =<br />
D<br />
t + <br />
J<br />
<br />
<br />
<br />
d <br />
F =<br />
V<br />
= <br />
Dd<br />
t<br />
<br />
F + J d<br />
V<br />
F =<br />
V<br />
= <br />
div<br />
t<br />
<br />
D dV<br />
<br />
+ J d F := 0<br />
V<br />
<br />
<br />
V<br />
-243-<br />
-244-<br />
5
Elektrische Stromdichte VII<br />
Ladungserhaltung<br />
(2) Die Kontinuitätsgleichung:<br />
<br />
J<br />
<br />
J<br />
<br />
J<br />
i<br />
d F<br />
V<br />
d F<br />
V<br />
<br />
t<br />
<br />
V<br />
dV +<br />
<br />
V<br />
<br />
J d F<br />
= 0<br />
Ladungserhaltung<br />
• Die Rate der Ladungsänderung im Volumen V entspricht<br />
gerade den ein- <strong>und</strong> austretenden elektrischen Strömungsfeldern.<br />
• Wird das Volumen V als Knoten interpretiert, dann gilt:<br />
dQ<br />
= 0<br />
dt + i <br />
<br />
Elektrische Stromdichte VIII<br />
Ladungserhaltung<br />
(2) Die Kontinuitätsgleichung:<br />
<br />
t<br />
<br />
V<br />
dV +<br />
<br />
V<br />
<br />
J d F<br />
= 0<br />
Gr<strong>und</strong>gesetz des stationären<br />
Strömungsfeldes. Dies ist<br />
eine Verallgemeinerung des<br />
Knotensatzes.<br />
stationärer<br />
i Fall = 0<br />
stationärer<br />
Fall<br />
<br />
V<br />
<br />
Kirchhoffscher<br />
Knotensatz !<br />
<br />
V<br />
<br />
J d F<br />
= 0<br />
<br />
J ndA<br />
<br />
= 0<br />
<br />
t + div V<br />
<br />
J<br />
<br />
<br />
<br />
dV = 0<br />
<br />
t + div J = 0<br />
stationärer<br />
Fall div J = 0<br />
<br />
d F<br />
Integral-Form<br />
Kontinuitätsgleichung Differential-Form<br />
-245-<br />
-246-<br />
6
Elektrische Stromdichte IX<br />
Zur Mikrophysik des Ladungstransportes<br />
(1) Kopplung zwischen elektrischer Feldstärke <strong>und</strong> Ladungsträgerbewegung:<br />
• zylindrischer Leiter<br />
• Es sei: T > 0<br />
q > 0<br />
a)<br />
q<br />
Nur statistisch ungeordnete<br />
Temperaturbewegung: Im Zeitmittel<br />
kein Ladungstransport.<br />
b)<br />
<br />
s result.<br />
Elektrische Stromdichte X<br />
q<br />
E <br />
q<br />
Ungeordnete Temperaturbewegung wird durch<br />
eine feldinduzierte Driftbewegung überlagert:<br />
Im Zeitmittel findet ein Ladungstransport statt.<br />
Zur Mikrophysik des Ladungstransportes<br />
U<br />
x<br />
(Quellen -<br />
spannung)<br />
(1) Kopplung zwischen elektrischer Feldstärke <strong>und</strong> Ladungsträgerbewegung:<br />
q<br />
<br />
s result.<br />
4<br />
3<br />
<br />
v thermisch<br />
q<br />
1<br />
E <br />
<br />
sresult E<br />
x<br />
(detailiertere Herleitungen<br />
finden sich in<br />
GET1 ab Folie 124).<br />
2<br />
• Resultierende mittlere Geschwindigkeit (Driftgeschwindigkeit):<br />
<br />
v =<br />
<br />
sresult i<br />
= b E =: vD Stösse i<br />
b: Beweglichkeit der<br />
Ladungsträger q<br />
im gegebenen<br />
Leitermaterial.<br />
i : mittlere Laufzeit.<br />
• Kopplung der elektrischen Feldstärke zur Stromdichte (Folie 240):<br />
<br />
J = v D = b E = E J = E<br />
Im stationären Fall ist die Stromdichte<br />
J proportional zum E-Feld, mit der<br />
elektrischen Leitfähigkeit als Proportionalität<br />
(weiteres Gr<strong>und</strong>gesetz).<br />
[ ]= Sm 1<br />
: elektrische<br />
Leitfähigkeit.<br />
-247-<br />
-248-<br />
7
Elektrische Stromdichte XI<br />
Zur Mikrophysik des Ladungstransportes<br />
(2) Fazit:<br />
<br />
J = E<br />
[Sm/mm 2 ]<br />
Ag 62.5<br />
Cu 58.8<br />
Au 43.5<br />
Al 35.7<br />
Querschnitt: mm2 Länge:<br />
oder:<br />
m<br />
Ag = 62.5·10 6 S/m<br />
• Als Ursache elektrischer Strömungsfelder <strong>und</strong> Stromstärken<br />
müssen elektrische Felder vorhanden sein.<br />
• Dies ist eine allgemeine Darstellung des Ohmschen Gesetzes.<br />
• Die Beweglichkeit b ist für negative Ladungsträger auch<br />
negativ. Somit ist die Leitfähigkeit stets eine positive Grösse.<br />
• Die Leitfähigkeit widerspiegelt die «Reibung» der Ladungsträger<br />
am Ionengitter des Leitermaterials.<br />
• Das Ohmsche Gesetz gilt nicht immer: Es gibt auch kompliziertere<br />
Zusammenhänge zwischen J <strong>und</strong> E (z.B. wenn das<br />
Magnetfeld die Leitfähigkeit beeinflusst).<br />
• Selbst bei kleinen Strömen bewegen sich bereits erhebliche<br />
Ladungsmengen durch das Ionengitter, fast unbemerkt von<br />
aussen: (a) Der Leiter ist neutral, (b) Trägerstrom <strong>und</strong> feste<br />
Ionenbilden temporäre Di- bzw. Multi-Pole mit entsprechend<br />
lokal abklingenden Feldern (siehe Folie 63).<br />
Elektrische Stromdichte XII<br />
Beispiel: «Ladungsträgerrelaxation»<br />
(1) Das instationäre zeitliche Verhalten des Ladungsausgleichs:<br />
() I<br />
<br />
t + div J = 0 <br />
t + div ( E)=<br />
<br />
t + div D<br />
<br />
<br />
<br />
() II<br />
J = E<br />
( III)<br />
div D = <br />
Beschreibt das<br />
Zeitverhalten im<br />
Innern des Leiters.<br />
• Das Innere des<br />
Leiters ist feldfrei,<br />
d.h. es ist auch<br />
ladungsfrei, bzw.<br />
neutral.<br />
<br />
t<br />
= <br />
t +<br />
<br />
<br />
+ = 0<br />
<br />
-249-<br />
-250-<br />
8
Elektrische Stromdichte XIII<br />
Beispiel: «Ladungsträgerrelaxation»<br />
(1) Das instationäre zeitliche Verhalten des Ladungsausgleichs:<br />
<br />
+<br />
t = 0 Ansatz : ( r,t ):= 0<br />
T<br />
t<br />
<br />
+ T = 0 T t<br />
<br />
<br />
( r,t )= 0 ( r )Ce<br />
(2) Mit Zahlen für Silber:<br />
= 0 = 8.854 10 12 F<br />
m<br />
= 62.5 10 6 S<br />
m<br />
<br />
()= Ce t<br />
t<br />
<br />
R = 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
( r )e<br />
<br />
( r )T t<br />
t<br />
<br />
R = Ce<br />
t<br />
()<br />
R R = <br />
<br />
R = 1.42 10 19 s Relaxationszeitkonstante<br />
Elektrische Stromdichte XIV<br />
Beispiel: «Ladungsträgerrelaxation»<br />
(2) Relaxation der Raumladungsdichte <br />
im metallischen Leiter:<br />
Fragen: Driftet die Ladung wegen<br />
R = 1.42·10 –19 s mit Überlichtgeschwindigkeit<br />
auseinander?<br />
Gilt das Driftmodel der<br />
Ladungsträgerbewegung noch?<br />
-251-<br />
-252-<br />
9
Der elektrische Stromkreis I<br />
Beschreibung der Spannungsquelle<br />
(1) Elektromotorische Kraft <strong>und</strong> Ladungstrennung:<br />
• Elektromotorische Kraft: In der Spannungsquelle gibt<br />
es eine nichtelektrische, antreibende Kraft (z.B.<br />
chemisch), welche die Ladungstrennung vornimmt.<br />
• Dieser Kraftwirkung kann in der Quelle ein «fiktives»<br />
elektrisches Feld Eemk zwischen b-a zugr<strong>und</strong>e gelegt<br />
werden. Eine solche «elektrostatische Repräsentation»<br />
der elektromotorischen Kraft heisst auch<br />
eingeprägte Feldstärke Eemk .<br />
• Durch die Ladungstrennung entsteht ein Quellenfeld<br />
EQ , welches in der Quelle, d.h. zwischen b-a das<br />
«antreibende» Feld Eemk kompensiert: EQ +<br />
• Konsequenz: Mit elektrostatischen Feldern können<br />
keine Ladungen getrennt werden, was wiederum auf<br />
die «nichtelektrische Natur» von (statischen) elektrischen<br />
Quellen hinweist.<br />
Eemk = 0<br />
Der elektrische Stromkreis II<br />
Beschreibung der Spannungsquelle<br />
(2) Zwei Zugänge zur<br />
Urspannung:<br />
<br />
<br />
(a) Urspannung über das externe Feld E Q (Quellenfeld),<br />
mit E = 0 entlang von b-a:<br />
<br />
<br />
<br />
Ed l<br />
=<br />
<br />
{ }<br />
/ ba<br />
<br />
EQ d l =<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
EQ d l = uQ (b) Eingepägte Spannung über das interne Feld E emk<br />
(«Stromantrieb») mit E emk = 0 ausserhalb von b-a:<br />
<br />
Ed l<br />
=<br />
<br />
Eemk + ( EQ )d <br />
l<br />
<br />
Das externe Feld E Q hat<br />
Ladungen als Ursache:<br />
=<br />
( a)<br />
<br />
( b)<br />
<br />
Eemk d l = uemk <br />
E Q d l<br />
= 0<br />
-253-<br />
-254-<br />
10
Der elektrische Stromkreis III<br />
Beschreibung der Spannungsquelle<br />
(2) Zwei Zugänge zur Urspannung:<br />
u emk =<br />
( a)<br />
<br />
( b)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Eemk d l =<br />
<br />
<br />
<br />
= ( Eemk )d l =<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
EQ d l = uQ Mit Klemmen - als<br />
Bezugspfeilrichtung:<br />
<br />
Eemk d l = <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
u Q = u emk<br />
Der elektrische Stromkreis IV<br />
Quelle <strong>und</strong> Strömungsfeld<br />
(1) Der Stromkreis:<br />
Äquipotentiale,<br />
Äquipotential-<br />
Flächen.<br />
<br />
<br />
<br />
Ed l<br />
=<br />
( a)<br />
<br />
<br />
Eemk d l +<br />
<br />
<br />
Quelleninterne<br />
Deutung der<br />
Urspannung:<br />
Antrieb innerhalb<br />
der Quelle<br />
u emk = u ba<br />
Quellenexterne<br />
Deutung der<br />
Urspannung:<br />
Antrieb über<br />
die Klemmen<br />
u Q = u 12<br />
Umlaufintegral bezüglich E Q ist Null.<br />
<br />
J<br />
d l<br />
( b)<br />
<br />
<br />
J<br />
= uemk +<br />
(A)<br />
d <br />
<br />
l = <br />
<br />
<br />
J<br />
= uQ +<br />
d <br />
l = 0<br />
<br />
(B)<br />
<br />
Mit:<br />
(A): Umlaufintegral (physikalisch motiviert)<br />
(B): Maschensatz (netzwerktheoretisch)<br />
=<br />
-255-<br />
-256-<br />
11
Der elektrische Stromkreis V<br />
Quelle <strong>und</strong> Strömungsfeld<br />
(2) Der elektrische Widerstand:<br />
u 12 = 0 N =<br />
i =<br />
<br />
A<br />
<br />
J ndA<br />
<br />
=<br />
d F<br />
R 12 = u 12<br />
i =<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Ed l =<br />
<br />
A<br />
<br />
J d F<br />
<br />
J<br />
d <br />
l<br />
0<br />
J <br />
dF Der elektrische Stromkreis VI<br />
Quelle <strong>und</strong> Strömungsfeld<br />
(2) Der elektrische Widerstand:<br />
<br />
A<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
J<br />
d l<br />
allgemein<br />
(A) Konstante Stromdichte (d.h. konstanter<br />
Querschnitt) <strong>und</strong> konstante Leitfähigkeit:<br />
R 12 = u 12<br />
i =<br />
<br />
J<br />
d<br />
ndx<br />
l<br />
<br />
0<br />
J =<br />
ndA <br />
A<br />
0 R12 =<br />
dA<br />
<br />
<br />
<br />
A<br />
dx<br />
d <br />
F<br />
= <br />
A<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
A<br />
J n<br />
dx<br />
J n dA<br />
-257-<br />
-258-<br />
12
Der elektrische Stromkreis VII<br />
Quelle <strong>und</strong> Strömungsfeld<br />
(2) Der elektrische Widerstand:<br />
(B) Zylindrische Anordnung mit variablem<br />
Querschnitt <strong>und</strong> variabler Leitfähigkeit<br />
(Variationen nur in x-Richtung):<br />
R 12 = u 12<br />
i =<br />
R 12 =<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
A<br />
J n<br />
dx<br />
i<br />
A dx<br />
=<br />
i<br />
=<br />
Jn dA<br />
Der elektrische Stromkreis VIII<br />
Quelle <strong>und</strong> Strömungsfeld<br />
(3) Spannungs- <strong>und</strong> Stromverhältnisse:<br />
<br />
u Q<br />
<br />
A 1<br />
<br />
J 1<br />
<br />
J 2<br />
A 2<br />
<br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
i<br />
u 1<br />
0<br />
1<br />
u2 1 + 2<br />
x<br />
u 2<br />
2<br />
u Q<br />
u 1<br />
1<br />
0<br />
<br />
u 1<br />
u 2<br />
x<br />
<br />
<br />
0<br />
E x1<br />
<br />
<br />
0<br />
i<br />
A dx<br />
<br />
A<br />
i<br />
A dA<br />
dx<br />
x<br />
( )A x<br />
( )<br />
E-Feld (Spannung) ist Ursache<br />
(links) <strong>und</strong> Wirkung (rechts) des<br />
Strömungsfeldes J (Strom) !<br />
E x<br />
E x2<br />
1<br />
J1 A1 1<br />
J 2 A2 -259-<br />
-260-<br />
13
Der elektrische Stromkreis IX<br />
Zusammenhang zwischen Widerstand <strong>und</strong> Kapazität<br />
(1) Widerstandsbehafteter Kondensator:<br />
R C = <br />
= R<br />
<br />
u = Ed l<br />
<br />
Merke:<br />
Widerstand<br />
<strong>und</strong> Kapazität<br />
hängen<br />
nur von der<br />
Geometrie<br />
<strong>und</strong> dem<br />
Material ab!<br />
Gibt es eine<br />
Verwandtschaft?<br />
i =<br />
<br />
V<br />
R = u<br />
i =<br />
C = Q<br />
u =<br />
Die Grenzbedingungen I<br />
<br />
J d F<br />
Mit «Stromdurchführung»<br />
<br />
V<br />
Q =<br />
<br />
V<br />
<br />
Ed l<br />
<br />
J =<br />
dF <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Dd F<br />
Ohne «Stromdurchführung»<br />
<br />
Ed l<br />
<br />
V<br />
<br />
Ed F<br />
<br />
Dd <br />
F Ed<br />
V<br />
Ed =<br />
l<br />
F<br />
V<br />
Ed <br />
l<br />
Grenzbedingung der elektrischen Stromdichte<br />
<br />
J 1<br />
1<br />
Eingeschlossene<br />
Ladung A <br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
J 2<br />
Stationärer Fall<br />
(1) Gr<strong>und</strong>gesetz des elektrischen Strömungsfeldes<br />
(Folie 246):<br />
<br />
t<br />
<br />
V<br />
dV +<br />
<br />
t + div J = 0<br />
<br />
V<br />
<br />
J d F<br />
<br />
<br />
= 0<br />
Integral-Form mit<br />
«Integrationsbox» V<br />
Differential-Form<br />
(2) Wir verwenden an der Grenzschicht für den<br />
Operator «div» die Flächendivergenz (Folie<br />
96 ff.) <strong>und</strong> an Stelle von die Dichte .<br />
<br />
n12 J2 ( J1)= 0 <br />
t + n12 J2 ( J1)= 0 <br />
t + Div J = 0<br />
-261-<br />
-262-<br />
14
Die Grenzbedingungen II<br />
Grenzbedingung des elektrischen Potentials<br />
1 <br />
n12 P 0<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
1 2<br />
2<br />
n 1<br />
2<br />
P<br />
Flächenladungsdichte<br />
1<br />
n<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
Grenzbedingungen bezüglich der Ableitung<br />
des Potentials:<br />
Div J = n12 J2 ( J1)= <br />
t<br />
<br />
J = <br />
E E = grad<br />
(Folie 262)<br />
Div J = n12 ( 2 grad 2 1grad1 )= <br />
t<br />
grad n = <br />
n<br />
= 0<br />
Die Grenzbedingungen III<br />
(2) Fallunterscheidungen:<br />
() I 2 : 1 = 0<br />
() II 2 0 : 1 = <br />
2<br />
1 endlich<br />
<br />
J 2<br />
n = n 12<br />
Div J = 2 2 n + 1 1 n<br />
(Folie 41)<br />
= <br />
t<br />
Brechungsgesetz der elektrischen Stromdichte<br />
<br />
J1 1 1 2<br />
<br />
n12 2<br />
(1) Kombination der Grenzbedingungen:<br />
<br />
J1 n12 = J2 n12 1 E1 n12 = 2 E2 n12 <br />
E1 t = E2 t<br />
1 E1 cos( 1)=2 E2 cos 2<br />
<br />
E1 sin( 1)= E2 sin( 2 )<br />
( )<br />
()<br />
untere Gleichung 2<br />
obere Gleichung 1<br />
( )<br />
( )<br />
( ) = 1 tan 1<br />
tan 2<br />
Dieses Brechungsgesetz gilt für den<br />
stationären Fall.<br />
2<br />
(1)<br />
(2)<br />
-263-<br />
-264-<br />
15
Die Grenzbedingungen IV<br />
Beispiel: «Stromlinien»<br />
<br />
J 1<br />
1<br />
<br />
n 12<br />
2 = 0<br />
J n1 = J 1 n 12 = 0<br />
1<br />
n<br />
= 0<br />
Die Grenzbedingungen V<br />
<br />
J 1<br />
1<br />
1 , 1<br />
2 , 2<br />
<br />
n12 t<br />
2<br />
<br />
<br />
J 2<br />
1<br />
<br />
J 1<br />
J n1 = J 1 n 12 = 1<br />
1<br />
n = J n1<br />
1<br />
.<br />
<br />
n 12<br />
2 <br />
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»<br />
(A) Nichtstationäres Strömungsfeld:<br />
1<br />
n<br />
(1) Nichtstationäre Grenzbedingungen bei vorhandener Flächenladungsdichte:<br />
( )<br />
tan 1<br />
( ) = E1t E1n E2t E2n tan 2<br />
<br />
= E 2n<br />
E 1n<br />
<br />
t + n12 J2 ( J1)= <br />
t + J2n J1n = 0<br />
<br />
t + 2E2n 1E1n = 0<br />
E 2n = 1<br />
2<br />
<br />
E 1 t = E 2 t<br />
E 2t = E 1t<br />
E1n 1<br />
<br />
2<br />
<br />
t<br />
Tangentialkomponenten.<br />
Normalkomponenten.<br />
-265-<br />
-266-<br />
16
Die Grenzbedingungen VI<br />
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»<br />
(1) Nichtstationäre Grenzbedingungen bei vorhandener Flächenladungsdichte:<br />
(A) Nichtstationäres Strömungsfeld:<br />
tan( 1) tan( 2 ) = E <br />
2n<br />
E1n <br />
D 1<br />
1<br />
1<br />
= 1 <br />
2<br />
1<br />
<br />
2 E1n <br />
t<br />
t<br />
2 <br />
n12 2<br />
<br />
<br />
D 2<br />
(B) Elektrische Flussdichte:<br />
<br />
n12 D2 ( D1 )= Dn2 Dn1 = <br />
2 E2n 1 E1n = <br />
E 2n = 1<br />
2<br />
tan 1 tan 2<br />
E1n + E 2t = E1t <br />
( )<br />
( ) = E2n Die Grenzbedingungen VII<br />
E 1n<br />
<br />
= 1<br />
2<br />
+ <br />
2E 1n<br />
Gibt es zwei verschiedene Brechungsgesetze?<br />
Siehe Normalkomponenten!<br />
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»<br />
(1) Nichtstationäre Grenzbedingungen bei vorhandener Flächenladungsdichte:<br />
( )<br />
( ) = 1 tan 1<br />
tan 2<br />
2<br />
+ <br />
2 E 1n<br />
= ! 1 <br />
2<br />
1<br />
<br />
2 E1n <br />
t<br />
• Da beide Brechungsgesetze auf dem Verhältnis der<br />
gleichen elektrischen Feldkomponenten beruhen,<br />
müssen beide Brechungsgesetze gelten, bzw. die<br />
obenstehende Gleichung muss zwingend erfüllt sein.<br />
• Die Flächenladungsdichte hat hier die Funktion, das<br />
Brechungsgesetz der elektrischen Flüsse mit demjenigen<br />
der elektrischen Stromdichten zu verbinden.<br />
• Welche Zeitentwicklung der Flächenladungsdichte<br />
(t) ist zwingend notwendig, damit das (nichtstationäre)<br />
Brechungsgesetz gilt?<br />
-267-<br />
-268-<br />
17
Die Grenzbedingungen VIII<br />
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»<br />
(2) Zeitentwicklung der Flächenladungsdichte:<br />
1<br />
2<br />
+ <br />
2 E 1n<br />
= ! 1 <br />
2<br />
1<br />
<br />
2 E1n <br />
t 2 <br />
2<br />
<br />
t + = 2E1n 1<br />
<br />
2<br />
Mit den Relaxationszeitkonstanten:<br />
R1 = 1<br />
1<br />
R2 = 2<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
t + = 2<br />
1<br />
J1n 1<br />
<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
R2 <br />
t + = J1n R2 ( R1)<br />
<br />
t + <br />
R2<br />
Die Grenzbedingungen IX<br />
= J1n 1 R1<br />
<br />
R2 <br />
<br />
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»<br />
(3) Lösung der Differentialgleichung für die Flächenladungsdichte:<br />
<br />
t + <br />
R2<br />
RB ( ) 0<br />
= J1n 1 R1<br />
<br />
R2 <br />
<br />
( ):= 0<br />
+ Inhomogene Lösung:<br />
= H + P ( RB)<br />
<br />
()= t J1n ( R2 R1)1e<br />
<br />
t<br />
R 2<br />
Homogene Lösung:<br />
<br />
t + <br />
R2<br />
Partikuläre Lösung:<br />
<br />
t + <br />
R2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
<br />
R 2<br />
= 0 H = 0 e<br />
= J1n 1 R1<br />
<br />
R2 <br />
<br />
= const.<br />
P<br />
= J1n 1<br />
R2<br />
R1<br />
<br />
R2 <br />
<br />
( )<br />
P = J 1n R2 R1<br />
-269-<br />
-270-<br />
18
Die Grenzbedingungen X<br />
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»<br />
(3) Lösung der Differentialgleichung für die Flächenladungsdichte:<br />
<br />
J1n ( R2 R1)<br />
R2<br />
Dielektrische Absorption I<br />
<br />
()= t J1n ( R2 R1)1e<br />
<br />
t<br />
t<br />
R 2<br />
<br />
<br />
<br />
• Für R1 = R2 bildet sich keine Flächenladung<br />
auf der Grenzschicht.<br />
• Diese Zeitentwicklung gilt für die vorgegebene<br />
Stromdichte J1n <strong>und</strong> nur bezüglich<br />
des Brechnungsgesetzes aus Folie 268.<br />
Strömungsfeld in nichthomogenen Medien<br />
(1) Die Kontinuitätsgleichung «revisited»:<br />
<br />
t + div J = 0<br />
<br />
J = E<br />
<br />
D = E<br />
<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
+ <br />
<br />
<br />
+<br />
t R<br />
<br />
J = <br />
D<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
div J = div <br />
<br />
D<br />
<br />
<br />
<br />
= <br />
div <br />
D + Dgrad <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
+ +<br />
t J grad <br />
<br />
<br />
<br />
= 0<br />
J grad <br />
<br />
<br />
<br />
= 0 grad <br />
<br />
<br />
<br />
= <br />
<br />
<br />
<br />
grad <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
J<br />
= grad( R ) R =<br />
R<br />
<br />
<br />
2<br />
-271-<br />
-272-<br />
19
Dielektrische Absorption II<br />
Strömungsfeld in nichthomogenen Medien<br />
(2) Diskussion:<br />
<br />
+<br />
t R<br />
=<br />
<br />
J<br />
R<br />
( )<br />
( )<br />
<br />
R ( r )= r<br />
r<br />
Stationärer Fall:<br />
( )<br />
= J grad R<br />
grad( R )<br />
Dielektrische Absorption III<br />
Beispiel: «Grenzfläche»<br />
<br />
J 1n<br />
<br />
J 1<br />
1<br />
1<br />
.<br />
<br />
J2 <br />
J2n 2<br />
2<br />
• Brechungsgesetz aus Folie 264 gilt.<br />
• Es tritt eine inhomogene, gemäss<br />
Jn verteilte Flächenadung auf.<br />
• Ist im Fall 2 die Grenzschicht<br />
keine Äquipotentialfläche mehr?<br />
<br />
J 1n = J 2n = J n<br />
• Fliesst ein stationäres Strömungsfeld durch<br />
ein inhomogenes Medium, d.h. inhomogen in<br />
<strong>und</strong>, so bildet sich eine feste Raumladung<br />
an dieser Stelle: dielektrische Absorption.<br />
• Die Kontaktklemmen des Stromkreises sind<br />
z.B. solche Inhomogenitäten.<br />
• Das zum stationären Strömungsfeld assoziierte,<br />
stationäre elektrische Feld kann auch<br />
aus diesen festen Raumladungen alleine bestimmt<br />
werden, unter vollständiger Vernachlässigung<br />
des Strömungsfeldes.<br />
• Ladungen sind Ursache von E- <strong>und</strong> J-Feld.<br />
• Die obige Gleichung korrespondiert einerseits<br />
mit Folie 251 <strong>und</strong> andererseits mit Folie 269.<br />
• Entladene Kondensatoren haben Restladung!<br />
= J grad( R )<br />
identisch mit<br />
Folie 270 !<br />
n n<br />
= J <br />
ngrad<br />
( R ) n<br />
= Jn 2 <br />
2<br />
1<br />
<br />
1 <br />
<br />
<br />
J n<br />
2 <br />
R<br />
n<br />
= Jn R<br />
n Jn R2 R1<br />
n<br />
n Jn ( R2 R1)<br />
= J n 1<br />
1<br />
-273-<br />
-274-<br />
20
Zu den Gr<strong>und</strong>gleichungen I<br />
Vergleich der Elektrostatik mit dem Strömungsfeld<br />
(1) Zur Wirbelfreiheit im stationären Fall:<br />
<br />
J<br />
<br />
<br />
Konstante Leitfähigkeit<br />
entlang des Stromkreises.<br />
rot E = 0 <br />
<br />
J d l = 0 <br />
<br />
J 0<br />
<br />
<br />
<br />
Ed l<br />
• Es ist nur die triviale Lösung ist möglich.<br />
= 0<br />
<br />
J<br />
d<br />
<br />
l = 0<br />
• Stromkreis braucht eine Quelle, d.h.eine<br />
eingeprägte Feldstärke. Dann gilt (Folie 254):<br />
<br />
<br />
<br />
Ed l<br />
Zu den Gr<strong>und</strong>gleichungen II<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
E emk d l<br />
<br />
0<br />
Vergleich der Elektrostatik mit dem Strömungsfeld<br />
(1) Zur Divergenzfreiheit im stationären Fall:<br />
divJ = 0 J d F = 0<br />
<br />
V<br />
Ed F = 0<br />
<br />
Widerspruch ?<br />
V<br />
Ed F = dV<br />
V<br />
Merke: Der Integrand unterscheidet<br />
sich lediglich<br />
in der Konstante !<br />
V<br />
<br />
Gilt<br />
immer !<br />
<br />
R<br />
<br />
J<br />
a ( )<br />
d F<br />
V<br />
R2<br />
R1<br />
<br />
J 2<br />
b ( )<br />
<br />
J 1<br />
d F<br />
V<br />
-275-<br />
-276-<br />
(a) Homogen: Bei homogenem R = / impliziert<br />
die Gegenüberstellung in Ladungsfreiheit.<br />
(b) Inhomogen: Bei inhomogenem / muss <br />
noch gelten; es gibt Ladungen in (Folie 273).<br />
21
Eine formale Analogie I<br />
Dualität zwischen Stromdichte <strong>und</strong> Flussdichte<br />
ladungsfrei<br />
<br />
D = E = grad<br />
div D = 0<br />
<br />
n12 D2 ( D1 )= 0<br />
<br />
Ei = Di i ( )<br />
( ) = 1 tan 1<br />
tan 2<br />
2<br />
<br />
D J<br />
<br />
<br />
E = grad<br />
= 0<br />
<br />
n12 E2 ( E1)= 0<br />
Eine formale Analogie II<br />
stationär<br />
<br />
J = E = grad<br />
div J = 0<br />
<br />
n12 J2 ( J1)= 0<br />
tan 1<br />
<br />
E i = J i<br />
i<br />
( )<br />
( ) = 1 tan 2<br />
Dualität zwischen Stromdichte <strong>und</strong> Flussdichte<br />
(1) Feldbilder der Punktladung bzw. des «Punktstromes»:<br />
Elektrostatik Stationäres<br />
Strömungsfeld<br />
(2) Satz von Gauss in der Elektrostatik<br />
bzw. «Satz von Gauss» beim<br />
stationären Strömungsfeld:<br />
Q =<br />
<br />
A<br />
<br />
D d F<br />
<br />
A<br />
<br />
A1 <br />
J d F<br />
<br />
J d F<br />
=<br />
<br />
A1 = I <br />
<br />
J d F<br />
2<br />
Siehe Folien 239,<br />
244 <strong>und</strong> 261<br />
<br />
+ J d I<br />
<br />
F = 0<br />
<br />
AA1 <br />
A 2<br />
<br />
J d F<br />
= I<br />
-277-<br />
-278-<br />
22
Die Spiegelungsmethode I<br />
Anwendung auf das stationäre Strömungsfeld<br />
Elektrostatik:<br />
Ladungen<br />
über unendlich<br />
gut<br />
leitenden<br />
Grenzflächen<br />
Ansätze:<br />
Mehr hierzu<br />
wird in den<br />
Folien 210<br />
bis 216<br />
dargelegt.<br />
Stationäres<br />
Strömungsfeld:<br />
Ströme über<br />
unendlich gut<br />
leitenden<br />
Grenzflächen<br />
Überlegung:<br />
Ladungsbewegung<br />
der<br />
Spiegelladungen<br />
ergibt das<br />
gespiegelte<br />
Strömungsfeld.<br />
Die Spiegelungsmethode II<br />
Anwendung auf das stationäre Strömungsfeld<br />
Stationäres<br />
Strömungsfeld:<br />
0<br />
Ströme in endlich gut<br />
leitenden Materialien<br />
mit einer Grenzschicht<br />
zum nichtleitenden<br />
Material.<br />
Anwendung:<br />
Tiefenerder<br />
Überlegung:<br />
Superpositionsprinzip<br />
-279-<br />
-280-<br />
23
Leistungsdichte im Strömungsfeld I<br />
Ladungstransport im Leiter<br />
(1) Vom elektrischen Feld verrichtete Arbeit:<br />
1 = + d<br />
<br />
du J +<br />
2 = <br />
<br />
+<br />
<br />
p = dP<br />
dV = E J<br />
l<br />
di<br />
n <br />
+<br />
+<br />
di<br />
dA<br />
<br />
E<br />
d l<br />
Vom E-Feld<br />
abgegebene<br />
Leistungsdichte<br />
W 12 =<br />
( 2)<br />
<br />
() 1<br />
<br />
Fd l = Q<br />
( 2)<br />
<br />
() 1<br />
<br />
Ed l = Qu12 P 12 = dW 12<br />
dt = u 12 dQ<br />
dt = u 12 i<br />
du = 1 2 = +d = Ed l = E ndl<br />
di = J ndA<br />
Feld leistet Arbeit, d.h.<br />
positive Ladungsträger<br />
werden angetrieben.<br />
dP = dudi = E ndl J ndA=<br />
= E J dldA = E J dV<br />
Leistungsdichte im Strömungsfeld II<br />
Ladungstransport im Leiter<br />
(2) Verlustleistung:<br />
u<br />
<br />
<br />
J<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
(3) Das Joulesche<br />
Gesetz:<br />
<br />
E<br />
p = dP<br />
dV = E J P =<br />
<br />
V<br />
<br />
E J dV<br />
Das vom E-Feld für den Ladungstransport geleistete Arbeit wird<br />
ans Leitersystem abgegeben, d.h. zur Überwindung der «Reibungsverluste»<br />
der Ladungsträger am Metallgitter aufgewendet.<br />
Das Metallgitter gerät dadurch in Schwingung, bzw. erwärmt sich.<br />
Die vom Feld geleistete Arbeit wird demnach in Wärme umgewandelt<br />
<strong>und</strong> somit dem elektrischen System entzogen. Man<br />
nennt die beim Transport umgesetzte Arbeit Verlustleistung.<br />
p = E J = 1<br />
J 2<br />
= E 2<br />
Der «Reibungswiderstand»<br />
wird anhand<br />
von charakterisiert.<br />
-281-<br />
-282-<br />
24
Leistungsdichte im Strömungsfeld III<br />
Ladungstransport im Leiter<br />
(4) Alternativer Zugang zur Verlustleistung:<br />
1 > 2<br />
2<br />
u<br />
<br />
<br />
<br />
J<br />
<br />
i<br />
<br />
P = J d F<br />
V<br />
i<br />
<br />
E<br />
d F<br />
V<br />
P =<br />
<br />
V<br />
<br />
J EdV<br />
= <br />
<br />
V<br />
<br />
J grad dV<br />
div s ( v)=<br />
s div v + v grad s<br />
<br />
P = J grad dV =<br />
<br />
V<br />
= div ( J )dV + div <br />
J dV <br />
V<br />
<br />
= J d F<br />
V<br />
<br />
P = J d F =<br />
V<br />
= 1 J d F 2 J d F =<br />
A 1<br />
= 1 <br />
<br />
= 1 i<br />
<br />
J d F<br />
A 2<br />
2 <br />
<br />
A1 A2 ( )2i = 1 2 V<br />
<br />
J d F<br />
( )<br />
> 0<br />
=<br />
=0<br />
Vektor-<br />
Identität<br />
Leistungsdichte im Strömungsfeld IV<br />
Ladungstransport im Leiter<br />
(4) Alternativer Zugang zur Verlustleistung:<br />
1 > 2<br />
2<br />
u<br />
A 1<br />
<br />
J<br />
A 2<br />
i<br />
<br />
i<br />
<br />
E<br />
d F<br />
V<br />
= ui > 0<br />
i =<br />
<br />
Im gewählten Bezugspfeilsystem ist die<br />
Verlustleistung eine positive Grösse.<br />
-283-<br />
-284-<br />
25
Leistungsdichte im Strömungsfeld V<br />
<strong>Allgemeine</strong>re Definition des elektrischen Widerstands<br />
Ströme sind besser zu bestimmen als Spannungen:<br />
<br />
P = E J dV = <br />
V<br />
J d F<br />
V<br />
P = u i = i 2 R<br />
R = P 1 <br />
= E 2 2<br />
i i i<br />
d<br />
<br />
J<br />
<br />
E<br />
i<br />
J dV<br />
1 > 2<br />
F<br />
2 V<br />
R V<br />
Das Randwertproblem I<br />
+ grad<br />
<br />
grad = 0<br />
Bei der Definition der Leistung P = u·i ist die Spannung<br />
u in realen Systemen oft schwierig zu bestimmen, also:<br />
V<br />
= 1<br />
i 2 J d F<br />
V<br />
Feldgleichungen des stationären Strömungsfeldes<br />
(1) Potentialfeld <strong>und</strong> Strömungsfeld:<br />
Ziel: Es ist eine partielle Differentialgleichung zu finden, welche<br />
alle Gr<strong>und</strong>gleichungen des stationären Strömungsfeldes erfüllt.<br />
div J = div ( E)=<br />
div grad<br />
( [ ] )<br />
( )<br />
= grad grad div grad<br />
= grad grad = 0<br />
= const.<br />
= 0<br />
Zur Äquipotentiallinie<br />
siehe Folie<br />
274 <strong>und</strong> 305.<br />
R V<br />
• Kontinuitätsgl.<br />
• Gesetz von Ohm<br />
• stationär/statisch<br />
Es gibt hier<br />
nur eine<br />
Laplace-<br />
Gleichung.<br />
-285-<br />
-286-<br />
Analogie: Vergleiche<br />
auch<br />
Folie 277 <strong>und</strong><br />
Folie 178.<br />
Vektoranalysis:<br />
Vergleiche<br />
Folie 283.<br />
26
Das Randwertproblem II<br />
Formulierung für das Strömungsfeld<br />
(2) Die «Stromformulierung» des Problems (rein Neumannsches RW-Problem):<br />
= 0<br />
<br />
= 0<br />
n<br />
<br />
n = Jn2 <br />
<br />
n = Jn3 <br />
i<br />
= <br />
A2 i<br />
= +<br />
A3 r G<br />
r G 1<br />
r G 2<br />
r G 3<br />
Merke: Das negative Vorzeichen der Stromdichten an beiden Stromtoren wird durch die Bezugsrichtung<br />
des Stromes <strong>und</strong> den Gradient des zugehörigen Potentials «geregelt».<br />
Das Randwertproblem III<br />
Formulierung für das Strömungsfeld<br />
(3) Die «Spannungsformulierung» des Problems (gemischtes RW-Problem): ()<br />
(4) Lösungsansätze:<br />
Das stationäre Problem des<br />
Strömungsfeldes J löst man<br />
über das statische Potentialfeld ()<br />
= 0<br />
<br />
= 0<br />
n<br />
= 2 = 3<br />
u = 1 2<br />
r G<br />
r G 1<br />
r G 2<br />
r G 3<br />
<br />
J = grad <br />
() Merke:<br />
Gemischte Randwertprobleme<br />
sind oft nur mit<br />
erheblichem Aufwand<br />
<strong>und</strong> selten<br />
eindeutig zu lösen !<br />
<br />
E = grad<br />
<br />
J = E<br />
-287-<br />
-288-<br />
27
Das Randwertproblem IV<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(1) Die Problemstellung:<br />
y<br />
b<br />
i <br />
2s<br />
c<br />
<br />
<br />
2s<br />
<br />
d<br />
i <br />
Das Randwertproblem V<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(1) Die Problemstellung:<br />
y<br />
b<br />
i <br />
2s<br />
c<br />
<br />
<br />
2s<br />
<br />
d<br />
i <br />
a<br />
a<br />
x<br />
<br />
e y = n<br />
<br />
y = n<br />
x<br />
-289-<br />
• Relativ ausführliches Anschauungsbeispiel.<br />
• Zweidimesnionale (2D) Rechnung,<br />
d.h. die Struktur ist in z-Richtung<br />
unendlich ausgedehnt.<br />
• Daher: Strombelag i / an Stelle der<br />
Stromstärke.<br />
• Die Zuleitungen seien unendlich leitfähig:<br />
Grenzfläche wird somit zur<br />
Äquipotentialfläche, was das Problem<br />
sehr vereinfacht.<br />
• Gesucht: Das Strömungsfeld im endlich<br />
leitfähigen Material.<br />
• Wird über das Potentialfeld gelöst.<br />
= 0 r ] 0,a[]<br />
0,b[<br />
<br />
x x=0<br />
y[ 0, b]<br />
<br />
x x=a<br />
y[ 0, b]<br />
<br />
y y=0<br />
x[ 0, a]<br />
<br />
y y=b<br />
x[ 0, a]<br />
= 0<br />
= 0<br />
= i <br />
<br />
<br />
= i <br />
<br />
<br />
2 s<br />
x d < s<br />
0 sonst<br />
2 s<br />
x c < s<br />
0 sonst<br />
-290-<br />
28
Das Randwertproblem VI<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(2) Ansetzen der Potentialfunktion:<br />
ky<br />
( )<br />
= p0 + p1y+ a1 cos( kx)+b1sin(<br />
kx)<br />
c1e ky + d1e <br />
= a1k sin( k0 )+b1kcos k 0<br />
x x=0<br />
y[ 0, b]<br />
b1 = 0<br />
<br />
= a1k sin ka<br />
x x=a<br />
y[ 0, b]<br />
k = k n = n<br />
a<br />
( )<br />
( )<br />
( )= 0<br />
c1e ky ky<br />
+ d1e Das Randwertproblem VII<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(2) Ansetzen der Potentialfunktion:<br />
<br />
y y=0<br />
x 0, a<br />
[ ]<br />
<br />
y y=b<br />
x 0, a<br />
[ ]<br />
= p1 + a1 cos( knx)knc1e kn 0<br />
d1e kn 0<br />
( )= 0<br />
c1e ky ky<br />
+ d1e i <br />
( )= <br />
<br />
= p1 + a1 cos( knx)knc1e kn b<br />
d1e kn b<br />
2 s<br />
i <br />
( )= <br />
<br />
Die Randbedingungen können nur mit Hilfe aller Eigenwerte/Eigenlösungen<br />
erfüllt werden: es muss eine Reihenentwicklung angesetzt werden.<br />
Siehe Folien<br />
181 <strong>und</strong> 183<br />
(H-1)+(H-2).<br />
x d < s<br />
0 sonst<br />
2 s<br />
x c < s<br />
0 sonst<br />
= p0 + p1 y + cos( knx)Cne kn y<br />
+ Dne k <br />
n y<br />
( ) <br />
n=1<br />
C n := an cn <br />
Dn := an dn -291-<br />
-292-<br />
<br />
<br />
29
Das Randwertproblem VIII<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(3) Die Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten mittels Momentenmethode:<br />
<br />
<br />
( )<br />
<br />
n = <br />
G<br />
n fn x<br />
n=1<br />
= !<br />
( RB)<br />
x[ a,b ]<br />
Frage: Wie testet man die «Gleichheit» von Funktionen?<br />
(A) Direkter Vergleich: (B) Projektionsmethode:<br />
( x)<br />
n<br />
( )<br />
= g x<br />
Aufwendig, da eigentlich<br />
für jedes x auf Gleichheit<br />
getestet werden muss, was<br />
«sehr viele» Bestimmungsgleichungen<br />
für ergibt.<br />
Erzwingen der (Neumannschen)<br />
Randbedingung.<br />
( x)<br />
n ,t m ( x)<br />
= g( x),tm(<br />
x)<br />
:= dx tn ,t m = c nm =<br />
G<br />
Das Randwertproblem IX<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
c<br />
n = m<br />
<br />
0<br />
n m<br />
Die Projektion auf eine Testfunktion t m ermöglicht den<br />
Vergleich zwischen wenigen Integralen (sprich: Zahlen).<br />
(3) Die Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten mittels Momentenmethode:<br />
<br />
<br />
( )<br />
<br />
n = <br />
G<br />
n fn x<br />
n=1<br />
Erzwingen der Randbedingung (RB)<br />
b <br />
b<br />
= !<br />
( RB)<br />
x[ a,b ]<br />
n fn ( x)<br />
tm ( x)dx<br />
= RB<br />
a n=1<br />
<br />
b<br />
a<br />
( ) x a,b<br />
( RB)<br />
x a,b<br />
( )<br />
[ ] m t m x<br />
m=0<br />
Bekannte (stückweise) Approximation<br />
[ ] t m x<br />
( ) dx<br />
n fn ( x)tm(<br />
x)dx<br />
= ( RB)<br />
x[ a,b ] tm ( x)dx<br />
n=1 a<br />
a<br />
<br />
n M nm = m n<br />
n=1<br />
b<br />
m<br />
Gleichungssystem<br />
<br />
<br />
• tm heisst Basisfunktion<br />
oder oft auch<br />
Testfunktion.<br />
• tm sollte «problemspezifisch»<br />
gewählt<br />
werden (z.B. oben).<br />
• Naheliegend wäre:<br />
t := f<br />
(Galerkin-Methode)<br />
-293-<br />
-294-<br />
30
Das Randwertproblem X<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(3) Die Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten mittels Momentenmethode:<br />
• Fazit: Die Entwicklungskoeffizienten n der Feldentwicklung werden mit Hilfe einer<br />
Testfunktion t m (geeignete Basis ) bestimmt. Die Matrixelemente M nm des hierfür<br />
«konstruierten» Gleichungssystems sind die Momente f n I t m .<br />
• Galerkin-Methode: Werden die Testfunktionen gleich den Entwicklungsfunktionen angesetzt,<br />
dann ergibt sich wegen der Orthogonalität der Basen für die Matrix aus M nm eine<br />
Diagonal- oder gar Einheitsmatrix <strong>und</strong> das Gleichungssystem gerät zum reinen Koeffizientenvergleich<br />
(siehe Folien 191 <strong>und</strong> 192; <strong>und</strong> sind beides Fourier-Reihen).<br />
<br />
<br />
m=0<br />
m y<br />
( )<br />
( ) cos k m x<br />
<br />
y y=0<br />
x[ 0, a]<br />
G = i<br />
2 s<br />
m = 0:<br />
<br />
( )<br />
t m x<br />
<br />
=<br />
i <br />
<br />
<br />
i <br />
<br />
<br />
2 s<br />
x d < s; y = 0<br />
0 sonst<br />
2 s<br />
x c < s; y = b<br />
0 sonst<br />
Das Randwertproblem XI<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(4) Momentenmethode angesetzt auf die Randbedingung :<br />
cos k m x<br />
a<br />
<br />
( )<br />
= p1 + cos( knx)knCne kn 0<br />
Dne k <br />
n 0<br />
<br />
n=1<br />
( )= 1<br />
( )= cos m<br />
a x<br />
d+s<br />
( )<br />
p1 dx = G dx p1 a = 2s G<br />
0<br />
ds<br />
p1 = G 2s<br />
a<br />
= i<br />
a<br />
Testfunktion für m = 0<br />
= G x d < s<br />
<br />
<br />
<br />
Galerkin-Methode:<br />
t m(.) = cos(.)<br />
anwenden zur<br />
Erzwingung der<br />
Randbedingungen<br />
<strong>und</strong> aus<br />
Folie 292.<br />
0 sonst<br />
Merke: Der Summenterm<br />
wird wegen n = 1 bei m = 0<br />
durch die Orhogonalitätsrelation<br />
(cf. Folie 297)<br />
ausgeblendet!<br />
-295-<br />
-296-<br />
31
Das Randwertproblem XII<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(4) Momentenmethode angesetzt auf die Randbedingung :<br />
m 0:<br />
a<br />
<br />
<br />
cos( knx)kn( Cn Dn )cos( kmx )dx = ( G)cos(<br />
kmx )dx<br />
0 n=1<br />
ds<br />
a<br />
<br />
<br />
( A):<br />
cos knx m 0:<br />
0 n=1<br />
( B):<br />
G<br />
( A)<br />
( )kn( Cn Dn )cos kmx cos n<br />
a x m<br />
( )cos a x<br />
a<br />
<br />
0<br />
d+s<br />
( )cos kmx <br />
ds<br />
( )dx<br />
d+s<br />
( )dx<br />
a<br />
2 n = m<br />
( )dx = <br />
0 n m<br />
Das Randwertproblem XIII<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(4) Momentenmethode angesetzt auf die Randbedingung :<br />
= G<br />
km = G<br />
km = G<br />
km ( A)+<br />
( B):<br />
Cm Dm = <br />
( )<br />
sin kmx ( B)<br />
= km ( Cm Dm ) a<br />
2<br />
d+s<br />
ds<br />
sin km d + s<br />
<br />
4 G<br />
Orthogonalitätsrelation<br />
der Kosinusfunkttion.<br />
( [ ] )sin( km [ d s]<br />
)<br />
2 cos( kmd )sin kms 2<br />
ak m<br />
cos kmd ( )<br />
( )sin k ms<br />
( )<br />
<br />
<br />
-297-<br />
-298-<br />
32
Das Randwertproblem XIV<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(4) Momentenmethode angesetzt auf die Randbedingung :<br />
m 0:<br />
a<br />
<br />
( )cos k m x<br />
cos( knx)knCne knb Dne k <br />
nb ( )dx = G cos( kmx )dx<br />
0 n=1<br />
cs ( A)+<br />
B<br />
Gleichungssystem<br />
für die<br />
unbekannten<br />
Entwicklungskoeffizienten<br />
C m <strong>und</strong> D m.<br />
( A)<br />
( ): C m e k m b Dm e k m b = 4G<br />
Q m = <br />
C m D m<br />
= <br />
c+s<br />
( B)<br />
2<br />
ak m<br />
cos kmc ( )sin kms ( )<br />
4 G<br />
2 cos( k ak md )sin( kms) m<br />
Cm e km b<br />
Dm e km b 4 G<br />
= 2 cos( k ak mc)sin kms m<br />
Das Randwertproblem XV<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(5) Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten:<br />
<br />
<br />
<br />
C m D m<br />
= Q m cos k m d<br />
( ) ( )<br />
4 G<br />
2 sin( k ak ms)=<br />
<br />
m 2i 1<br />
a k m sin kms kms ( )cos kmd ( )ek mb<br />
Dm = Qm cos kmc 2sinh kmb ( )<br />
( )cos kmd ( )e kmb Cm = Qm cos kmc 2sinh kmb ( )<br />
( )<br />
( )<br />
C m e k m b Dm e k m b = Qm cos k m c<br />
lösen<br />
<br />
<br />
• geeignete<br />
Substitution<br />
( )<br />
·e –k m·b – <br />
+ <br />
• Zudem gilt für den<br />
Sinus Hyperbolicus:<br />
sinh( kmb)= = 1<br />
2 ek mb kmb e<br />
( )<br />
-299-<br />
-300-<br />
33
Das Randwertproblem XVI<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(6) Zusammensetzen der Potentialfunktion (Rücksubstitution):<br />
( x, y)=<br />
p0 + p1 y + cos knx C n e k n y =<br />
D n e k n y =<br />
Q n<br />
2sinh k n b<br />
C ne k n y + Dne k n y =<br />
<br />
<br />
n=1<br />
( ) cos k n c<br />
Q n<br />
2sinh k n b<br />
Q n<br />
2 sinh k n b<br />
( )<br />
( ) C ne k n y + Dne k n y<br />
( )ek n y<br />
cos( knd )e kn [ yb]<br />
{ }<br />
( ) cos k n c<br />
( ) <br />
m n<br />
( )e kn y<br />
cos( knd )e kn [ yb]<br />
{ }<br />
<br />
cos( knc)2cosh( kny) <br />
cos knd Das Randwertproblem XVII<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(6) Zusammensetzen der Potentialfunktion (Rücksubstitution):<br />
Mit den Substitutionen:<br />
p 1 = i<br />
a<br />
Potentialfunktion (Lösung):<br />
( )<br />
Qn = 2i 1<br />
<br />
a kn sin kns <br />
<br />
kns <br />
<br />
( x, y)=<br />
p0 i 2i<br />
y <br />
a a <br />
1<br />
kns sin k <br />
ns<br />
<br />
n=1 kns cos( knc)cosh( kny)cos knd (Folie 294)<br />
( [ ] )<br />
( ) 2 cosh k n y b<br />
( )<br />
k n = n<br />
a<br />
( )<br />
( ) <br />
cos knx sinh knb { ( )cosh( kn [ yb ] ) }<br />
Merke: Die Grösse p 0 bleibt unbestimmt, d.h. das Potential kann lediglich bis auf eine<br />
Konstante bestimmt werden.<br />
<br />
<br />
<br />
-301-<br />
-302-<br />
34
Das Randwertproblem XVIII<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(7) Kompaktere Darstellung der Potentialfunktion:<br />
( x, y)<br />
= p0 i<br />
y +<br />
a<br />
<br />
<br />
n=1<br />
( )<br />
( ) <br />
cos n<br />
a x<br />
sinh n<br />
a b<br />
A n = 2i<br />
n<br />
B n =+ 2i<br />
n<br />
An cosh n<br />
a y ( )+<br />
+Bn cosh n<br />
<br />
<br />
<br />
a yb<br />
( [ ] )<br />
Merke: Die Grösse p 0 bleibt unbestimmt.<br />
Das Randwertproblem XIX<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(8) Die elektrische Feldstärke:<br />
<br />
E = grad E = E <br />
x x<br />
<br />
Ey <br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
E x = <br />
x =<br />
E y = <br />
y<br />
<br />
<br />
n=1<br />
n<br />
a<br />
= i<br />
a <br />
( )<br />
( ) <br />
sin n<br />
a x<br />
<br />
<br />
n=1<br />
sinh n<br />
a b<br />
n<br />
a<br />
y<br />
<br />
<br />
<br />
( )<br />
n cos a c<br />
n sin a s<br />
( )n a s<br />
n cos a d<br />
n sin( a s)<br />
( )n a s<br />
An cosh n<br />
a y ( )+<br />
+Bn cosh n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
( a [ yb ] ) <br />
n sin( a x)<br />
<br />
sinh n ( a b)<br />
<br />
An sinh n<br />
a y ( )+<br />
+Bn sinh n<br />
<br />
<br />
<br />
a yb<br />
( An, Bn ):<br />
( [ ] )<br />
<br />
<br />
<br />
Die Berechnung erfolgt gleich<br />
wie beim Potential (Folie 303).<br />
-303-<br />
-304-<br />
35
Das Randwertproblem XX<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(9) Darstellung des Potential- <strong>und</strong> des Strömungsfeldes:<br />
<br />
J x, y<br />
( )<br />
( x, y)<br />
Das Randwertproblem XXI<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(10) Diskussion zum Potential:<br />
<br />
n = const.<br />
<br />
• Die Feldlinien<br />
des Strömungsfeldes<br />
sind die<br />
Orthogonaltrajektorien<br />
der<br />
Äquipotentiallinien.<br />
• Klar: Feldlinien<br />
des Strömungsfeldes<br />
sind ja<br />
auch die Feldlinien<br />
des elektrischen<br />
Feldes.<br />
• Die Neumannsche Randbedingung<br />
ist bei den unendlich<br />
gut leitenden Zuleitungen<br />
erfüllt.<br />
• Beim Neumannschen<br />
Randwertproblem scheint<br />
der Rand keine Äquipotentiallinie<br />
mehr zu sein<br />
(siehe hierzu auch die<br />
Folie 274).<br />
• Die Bestimmung der<br />
Spannung wird daher<br />
problematisch <strong>und</strong> damit<br />
auch die Berechnung des<br />
elektrischen Widerstands.<br />
-305-<br />
-306-<br />
36
Das Randwertproblem XXII<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(11) Berechnung der elektrischen Leistung:<br />
(A) Verlustleistung gemäss Folien 282, 283:<br />
<br />
P = E J dV = J d F =<br />
V<br />
<br />
= J ndl;<br />
P<br />
<br />
P<br />
<br />
V<br />
<br />
= <br />
n dl <br />
V<br />
= <br />
n<br />
Das Randwertproblem XXIII<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(11) Berechnung der elektrischen Leistung:<br />
(B) Approximative Annahme eines konstanten Potentials:<br />
P<br />
<br />
d+s<br />
<br />
= ( x,0)dx<br />
n <br />
ds<br />
= <br />
<br />
<br />
y y=0<br />
+ <br />
n<br />
cs<br />
d+s<br />
<br />
ds<br />
dl<br />
( x,b)dx<br />
<br />
c+s<br />
d+s<br />
( x,0)dx<br />
+ <br />
ds<br />
<br />
<br />
<br />
d+s<br />
y y=b<br />
( )<br />
V<br />
<br />
J n = <br />
n V<br />
+ <br />
n<br />
<br />
n V = const.<br />
cs<br />
<br />
c+s<br />
c+s<br />
( x,b)dx<br />
cs<br />
i <br />
= <br />
<br />
<br />
2 s<br />
( x,0)dx<br />
+ i <br />
<br />
<br />
2 s<br />
( x,b)dx<br />
ds<br />
i <br />
<br />
<br />
<br />
2 s<br />
( d,0)2s<br />
+ i <br />
<br />
<br />
2 s<br />
( c,b)2s<br />
c+s<br />
cs<br />
dl<br />
-307-<br />
-308-<br />
37
Das Randwertproblem XXIV<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(11) Berechnung der elektrischen Leistung:<br />
(C) Resultat <strong>und</strong> Diskussion:<br />
P<br />
<br />
i <br />
<br />
<br />
<br />
2 s<br />
( d,0)2s<br />
+ i <br />
<br />
<br />
2 s<br />
( c,b)2s<br />
=<br />
i i i<br />
( d,0)<br />
( c,b)<br />
= ( d,0)(<br />
c,b)<br />
<br />
<br />
Es wurde hier die realistische Annahme eines über die Zuleitungen nur schwach variierenden<br />
Potentials gemacht, wodurch die Integration über sehr einfach ausfällt (siehe unten). Bei<br />
einer exakten Berechnung der Leistung müsste die Integration ausgeführt werden. Als Alter-<br />
c+s<br />
<br />
cs<br />
R =<br />
( x,b)dx<br />
( )<br />
( c,b)2s<br />
Das Randwertproblem XXV<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
native gibt es zudem noch die erheblich<br />
schwierigere Volumenintegration der<br />
Leistungsdichte z.B. gemäss den Folien 282<br />
bzw. 307.<br />
(12) Berechnung des elektrischen Widerstandsbelags bezüglich der Dicke :<br />
1 P <br />
2 <br />
i <br />
<br />
<br />
= 2 i<br />
2 ( d,0)(<br />
c,b)<br />
i <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= u<br />
i <br />
R = b<br />
a +<br />
An = An i <br />
( )<br />
<br />
<br />
n=1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(<br />
(<br />
)<br />
)<br />
(<br />
(<br />
)<br />
)<br />
cos n<br />
a d<br />
sinh n<br />
a b<br />
n cos a c<br />
sinh n<br />
a b<br />
Bn = Bn i <br />
( )<br />
Merke: Der Widerstandsbelag R' ist hier als Widerstand bezüglich der<br />
Querschnittsabmessung in z-Richtung definiert (nicht pro Länge) !<br />
An + B n<br />
n cosh a b<br />
<br />
( ) <br />
A n<br />
n cosh a b ( )+ B <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
n <br />
<br />
<br />
<br />
Für die Potentialfunktion <strong>und</strong><br />
deren Entwicklungskoeffizienten<br />
A n <strong>und</strong> B n siehe Folie 303.<br />
-309-<br />
-310-<br />
38
Das Randwertproblem XXVI<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandsbelag R' :<br />
Verifikation am vollständig kontaktierten Widerstandsgebiet: (c = d = s = a / 2)<br />
R = b<br />
a +<br />
An = An i <br />
( )<br />
Bn = Bn i <br />
( )<br />
<br />
<br />
n=1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 2<br />
n<br />
=+ 2<br />
n<br />
(<br />
(<br />
)<br />
)<br />
(<br />
(<br />
)<br />
)<br />
cos n<br />
2<br />
sinh n<br />
a b<br />
cos n<br />
2<br />
sinh n<br />
a b<br />
n cos( 2 )<br />
n cos( 2 )<br />
An + B n<br />
n cosh a b<br />
<br />
( ) <br />
A n<br />
n cosh a b ( )+ B <br />
<br />
R<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
n <br />
<br />
<br />
<br />
n sin( 2 )<br />
n<br />
2<br />
( )<br />
sin n<br />
2<br />
n<br />
2<br />
= 0 n <br />
= 0 n <br />
Das Randwertproblem XXVII<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandsbelag R' :<br />
Verifikation am vollständig kontaktierten Widerstandsgebiet: (c = d = s = a / 2)<br />
y<br />
b<br />
2s<br />
i <br />
<br />
2s<br />
c = d a x<br />
i <br />
R = b<br />
a<br />
R = R<br />
<br />
+ 0 {}<br />
<br />
= b<br />
a<br />
n=1<br />
= b<br />
a<br />
Merke: Der Widerstandsbelag R' ist<br />
hier als Widerstand bezüglich der<br />
Querschnittsabmessung in z-<br />
Richtung definiert (nicht pro Länge) !<br />
-311-<br />
-312-<br />
39
Das Randwertproblem XXVIII<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandbelags R' :<br />
R<br />
R0 R 0 = b<br />
a<br />
a = 4<br />
b = 2<br />
2s = 0.4<br />
Das Randwertproblem XXIX<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandbelags R' :<br />
R<br />
R0 2s = 0.4<br />
2s<br />
<br />
b<br />
a = 4<br />
b = 2<br />
d<br />
2s<br />
a<br />
-313-<br />
-314-<br />
40
Das Randwertproblem XXX<br />
Beispiel: «Kontaktschiene»<br />
(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandbelags R' :<br />
R<br />
R0 a = 4<br />
b = 2<br />
2s = 0.4<br />
c,d<br />
-316-<br />
41