d - Allgemeine und theoretische Elektrotechnik

Theoretische Elektrotechnik TET 1
[Buch Seite 70-87]
2. Stationäre elektrische
Felder in Leitern
• Die elektrische Stromdichte
• Grundgleichungen des stationären Strömungsfeldes
• Widerstand und Leitwert
• Grenzbedingungen
• Energie und Leistungsumsatz
Theoretische Elektrotechnik TET 1
Üblicherweise wird dieses Kapitel eher wie folgt überschrieben!
[Buch Seite 70-87]
2. Das stationäre elektrische
Strömungsfeld
• Die elektrische Stromdichte
• Grundgleichungen des stationären Strömungsfeldes
• Widerstand und Leitwert
• Grenzbedingungen
• Energie und Leistungsumsatz
-235-
-236-
1

Stationäres elektrisches Feld im Leiter
Zur Bedeutung von «stationär»
(1) Metallischer Leiter im elektrischen Feld:
u
u
J
i
+
E
–
i
i
+ +
+ +
vD +
+
i
+
–
E
E
E
+
feldfrei
–
E
Stationäres
elektrisches
Feld im Leiter?
Kurzzeitiges Ungleichgewicht (< 10 fs),
d.h. Ladunsgträger wandern schnell
an die Oberfläche. Im nachfolgenden
Gleichgewicht ist Inneres feldfrei!
Langandauerndes Ungleichgewicht:
Quelle hält Potentialdifferenz aufrecht,
Ladungsträger wandern ständig, d.h.
stationär; Inneres ist nicht feldfrei.
Stationäres elektrisches Feld im Leiter
Zur Bedeutung von «stationär»
(2) Das elektrische Strömungsfeld:
«Nachschub»
Erster Hinweis auf
die Elektrodynamik.
• Wird die Potentialdifferenz (Spannung u) mit Hilfe
einer (starren) Urspannungsquelle aufrecht erhalten,
dann herrscht auch im Innern des Metalls
ein elektrisches Feld vor.
• Ladungen wandern stetig (Geschwindigkeit vD ) entsprechend
der im Innern wirkenden Coulombkraft.
• Es findet ein dauernder, d.h stationärer Ausgleichsvorgang
der Ladungen statt.
• Dieser kann nur aufrecht erhalten werden, wenn
die Spannungsquelle Ladungen «nachliefert», was
der Aufrecherhaltung der Spannung entspricht.
• Die Gesamtheit der stetig wandernden Ladungen
wird mit dem stationären Strömungsfeld J umschrieben
(wird oft auch mit S oder G bezeichnet).
-237-
-238-
2

Elektrische Stromdichte I
Ladungsträgerbewegung
(1) Strom als «Ladungszufuhr» von positiven Ladungsträger:
Elektrode (El) A
u
J
D = D n n
i
+
vD + s +
+
i
D
E
totales Differenzial : d = t dt + s ds
Stationärer Fall:
i = dQ
dt
di = d e
d
dt
d e
dt
di
dt
Q =
d e
dt
El /
D ndA
=
= d
dt
d F
Dd F
( )
ds
= + = + v
t dt s t s
= D
t
Elektrische Stromdichte II
Ladungsträgerbewegung
(2) Ladungsträgerstrom
Elektrode (El) A
u
J
i
+
vD + s +
+
i
D
E
d F + v n
Dn A
d
s A
F
Q
= 0 vD V =
di = d e
dt = D
t d F + v D d F
di = vD d F = J d F
J = vD
Integrationshülle ohne
di = J ndA = J n dA d F = ndA
J n = di
dA
A
D de
ndA
d F
D-Feld ist auch
ortsabhängig.
Stromdichte des Strömungsfeldes
-239-
Vom Typ «Stromdichte» und heisst
Verschiebungsstromdichte (später).
Im stationären Fall 0.
(im stationären Fall)
Stromdichte als Flächendichte des
elektrischen Stromes.
Merke: Beim Strömungsfeld der bewegten Ladungsträger handelt es sich um einen sogenannten
Konvektionsstrom. Im Leiter wird der Konvektionsstrom zum Leitungsstrom.
-240-
3

Elektrische Stromdichte III
Ladungsträgerbewegung
(3) Stromdichte und elektrische Stromstärke:
A
i
J
n
i
i
di = J ndA
i = di =
A
A
J ndA
(4) Bezugspfeil der Stromstärke:
Elektrischer Strom:
i =
A
J ndA
(A) Der Vektor der Stromdichte J wird physikalisch vorgegeben
(durch die Ladungsträgerbewegung).
(B) Der Bezugspeil der Stromstärke i (kein Vektor!) ist
gleichsinnig zu wählen, wie der willkürlich nach
oben/unten orientierte Flächennormalenvektor.
(C) Die Stromstärke ist positiv bei n und J gleichgerichtet
und negativ wenn entgegengesetzt gerichtet.
Elektrische Stromdichte IV
Ladungsträgerbewegung
(5) Das Gesamtbild:
J = v
> 0
J = v
< 0
J = v
> 0
J = v
< 0
d F
-241-
-242-
4

Elektrische Stromdichte V
Ladungsträgerbewegung
(6) Strömungsfeld aus unterschiedlichen Ladungsträgern:
J = ( + ) v ( + )+ ( )
v( )=
J ( + ) + J( )
mit : ( + )+ ( )=
0 ( Neutralitätsbedingung)
J = +
( ( ) )
( ) v ( + ) v
Zur Orientierung von J( siehe
)
auch Folie 242.
Zur Neutralitätsbedingung vergleiche
auch Folien 11 (abgeschlossene
Systeme) 12 (starke Kräfte) und
113 (Realstatus Potential in QED).
Elektrische Stromdichte VI
Ladungserhaltung
(1) Bilanz der Stromstärke für eine geschlossene Hüllfläche:
J
J
i
d F
V
• Positive und negative Ladungsträger:
bipolarer Stromtransport.
• Aus historischen Gründe entspricht
die technische Stromrichtung
der «Fliessrichtung»
der positiven Ladungsträge.
• Alternative Szenarien des
Ladungstransportes wie z.B.
(a) die Ladungsbewegung im
Vakuum (Elektronenstrahl),
(b) die Ladungsbewegung im
Elektrolyten,
(c) die Ladungsbewegung im
Halbleiter,
werden in GET1 diskutiert.
• Ladungserhaltung: Bilanz des Ladungstransports durch die
Hüllfläche ist ausgeglichen, d.h. Ein- und Ausfuhr von Ladung
heben sich auf. Die Zuleitung (cf. Folie 240) ist nun endlich
dick und kann in V mitberücksichtigt werden. Es ergibt sich
für die Bilanz der externen Stromstärken des Leiters Null:
i =
D
t +
J
d
F =
V
=
Dd
t
F + J d
V
F =
V
=
div
t
D dV
+ J d F := 0
V
V
-243-
-244-
5

Elektrische Stromdichte VII
Ladungserhaltung
(2) Die Kontinuitätsgleichung:
J
J
J
i
d F
V
d F
V
t
V
dV +
V
J d F
= 0
Ladungserhaltung
• Die Rate der Ladungsänderung im Volumen V entspricht
gerade den ein- und austretenden elektrischen Strömungsfeldern.
• Wird das Volumen V als Knoten interpretiert, dann gilt:
dQ
= 0
dt + i
Elektrische Stromdichte VIII
Ladungserhaltung
(2) Die Kontinuitätsgleichung:
t
V
dV +
V
J d F
= 0
Grundgesetz des stationären
Strömungsfeldes. Dies ist
eine Verallgemeinerung des
Knotensatzes.
stationärer
i Fall = 0
stationärer
Fall
V
Kirchhoffscher
Knotensatz !
V
J d F
= 0
J ndA
= 0
t + div V
J
dV = 0
t + div J = 0
stationärer
Fall div J = 0
d F
Integral-Form
Kontinuitätsgleichung Differential-Form
-245-
-246-
6

Elektrische Stromdichte IX
Zur Mikrophysik des Ladungstransportes
(1) Kopplung zwischen elektrischer Feldstärke und Ladungsträgerbewegung:
• zylindrischer Leiter
• Es sei: T > 0
q > 0
a)
q
Nur statistisch ungeordnete
Temperaturbewegung: Im Zeitmittel
kein Ladungstransport.
b)
s result.
Elektrische Stromdichte X
q
E
q
Ungeordnete Temperaturbewegung wird durch
eine feldinduzierte Driftbewegung überlagert:
Im Zeitmittel findet ein Ladungstransport statt.
Zur Mikrophysik des Ladungstransportes
U
x
(Quellen -
spannung)
(1) Kopplung zwischen elektrischer Feldstärke und Ladungsträgerbewegung:
q
s result.
4
3
v thermisch
q
1
E
sresult E
x
(detailiertere Herleitungen
finden sich in
GET1 ab Folie 124).
2
• Resultierende mittlere Geschwindigkeit (Driftgeschwindigkeit):
v =
sresult i
= b E =: vD Stösse i
b: Beweglichkeit der
Ladungsträger q
im gegebenen
Leitermaterial.
i : mittlere Laufzeit.
• Kopplung der elektrischen Feldstärke zur Stromdichte (Folie 240):
J = v D = b E = E J = E
Im stationären Fall ist die Stromdichte
J proportional zum E-Feld, mit der
elektrischen Leitfähigkeit als Proportionalität
(weiteres Grundgesetz).
[ ]= Sm 1
: elektrische
Leitfähigkeit.
-247-
-248-
7

Elektrische Stromdichte XI
Zur Mikrophysik des Ladungstransportes
(2) Fazit:
J = E
[Sm/mm 2 ]
Ag 62.5
Cu 58.8
Au 43.5
Al 35.7
Querschnitt: mm2 Länge:
oder:
m
Ag = 62.5·10 6 S/m
• Als Ursache elektrischer Strömungsfelder und Stromstärken
müssen elektrische Felder vorhanden sein.
• Dies ist eine allgemeine Darstellung des Ohmschen Gesetzes.
• Die Beweglichkeit b ist für negative Ladungsträger auch
negativ. Somit ist die Leitfähigkeit stets eine positive Grösse.
• Die Leitfähigkeit widerspiegelt die «Reibung» der Ladungsträger
am Ionengitter des Leitermaterials.
• Das Ohmsche Gesetz gilt nicht immer: Es gibt auch kompliziertere
Zusammenhänge zwischen J und E (z.B. wenn das
Magnetfeld die Leitfähigkeit beeinflusst).
• Selbst bei kleinen Strömen bewegen sich bereits erhebliche
Ladungsmengen durch das Ionengitter, fast unbemerkt von
aussen: (a) Der Leiter ist neutral, (b) Trägerstrom und feste
Ionenbilden temporäre Di- bzw. Multi-Pole mit entsprechend
lokal abklingenden Feldern (siehe Folie 63).
Elektrische Stromdichte XII
Beispiel: «Ladungsträgerrelaxation»
(1) Das instationäre zeitliche Verhalten des Ladungsausgleichs:
() I
t + div J = 0
t + div ( E)=
t + div D
() II
J = E
( III)
div D =
Beschreibt das
Zeitverhalten im
Innern des Leiters.
• Das Innere des
Leiters ist feldfrei,
d.h. es ist auch
ladungsfrei, bzw.
neutral.
t
=
t +
+ = 0
-249-
-250-
8

Elektrische Stromdichte XIII
Beispiel: «Ladungsträgerrelaxation»
(1) Das instationäre zeitliche Verhalten des Ladungsausgleichs:
+
t = 0 Ansatz : ( r,t ):= 0
T
t
+ T = 0 T t
( r,t )= 0 ( r )Ce
(2) Mit Zahlen für Silber:
= 0 = 8.854 10 12 F
m
= 62.5 10 6 S
m
()= Ce t
t
R = 0
( r )e
( r )T t
t
R = Ce
t
()
R R =
R = 1.42 10 19 s Relaxationszeitkonstante
Elektrische Stromdichte XIV
Beispiel: «Ladungsträgerrelaxation»
(2) Relaxation der Raumladungsdichte
im metallischen Leiter:
Fragen: Driftet die Ladung wegen
R = 1.42·10 –19 s mit Überlichtgeschwindigkeit
auseinander?
Gilt das Driftmodel der
Ladungsträgerbewegung noch?
-251-
-252-
9

Der elektrische Stromkreis I
Beschreibung der Spannungsquelle
(1) Elektromotorische Kraft und Ladungstrennung:
• Elektromotorische Kraft: In der Spannungsquelle gibt
es eine nichtelektrische, antreibende Kraft (z.B.
chemisch), welche die Ladungstrennung vornimmt.
• Dieser Kraftwirkung kann in der Quelle ein «fiktives»
elektrisches Feld Eemk zwischen b-a zugrunde gelegt
werden. Eine solche «elektrostatische Repräsentation»
der elektromotorischen Kraft heisst auch
eingeprägte Feldstärke Eemk .
• Durch die Ladungstrennung entsteht ein Quellenfeld
EQ , welches in der Quelle, d.h. zwischen b-a das
«antreibende» Feld Eemk kompensiert: EQ +
• Konsequenz: Mit elektrostatischen Feldern können
keine Ladungen getrennt werden, was wiederum auf
die «nichtelektrische Natur» von (statischen) elektrischen
Quellen hinweist.
Eemk = 0
Der elektrische Stromkreis II
Beschreibung der Spannungsquelle
(2) Zwei Zugänge zur
Urspannung:
(a) Urspannung über das externe Feld E Q (Quellenfeld),
mit E = 0 entlang von b-a:
Ed l
=
{ }
/ ba
EQ d l =
EQ d l = uQ (b) Eingepägte Spannung über das interne Feld E emk
(«Stromantrieb») mit E emk = 0 ausserhalb von b-a:
Ed l
=
Eemk + ( EQ )d
l
Das externe Feld E Q hat
Ladungen als Ursache:
=
( a)
( b)
Eemk d l = uemk
E Q d l
= 0
-253-
-254-
10

Der elektrische Stromkreis III
Beschreibung der Spannungsquelle
(2) Zwei Zugänge zur Urspannung:
u emk =
( a)
( b)
Eemk d l =
= ( Eemk )d l =
=
EQ d l = uQ Mit Klemmen - als
Bezugspfeilrichtung:
Eemk d l =
u Q = u emk
Der elektrische Stromkreis IV
Quelle und Strömungsfeld
(1) Der Stromkreis:
Äquipotentiale,
Äquipotential-
Flächen.
Ed l
=
( a)
Eemk d l +
Quelleninterne
Deutung der
Urspannung:
Antrieb innerhalb
der Quelle
u emk = u ba
Quellenexterne
Deutung der
Urspannung:
Antrieb über
die Klemmen
u Q = u 12
Umlaufintegral bezüglich E Q ist Null.
J
d l
( b)
J
= uemk +
(A)
d
l =
J
= uQ +
d
l = 0
(B)
Mit:
(A): Umlaufintegral (physikalisch motiviert)
(B): Maschensatz (netzwerktheoretisch)
=
-255-
-256-
11

Der elektrische Stromkreis V
Quelle und Strömungsfeld
(2) Der elektrische Widerstand:
u 12 = 0 N =
i =
A
J ndA
=
d F
R 12 = u 12
i =
Ed l =
A
J d F
J
d
l
0
J
dF Der elektrische Stromkreis VI
Quelle und Strömungsfeld
(2) Der elektrische Widerstand:
A
0
J
d l
allgemein
(A) Konstante Stromdichte (d.h. konstanter
Querschnitt) und konstante Leitfähigkeit:
R 12 = u 12
i =
J
d
ndx
l
0
J =
ndA
A
0 R12 =
dA
A
dx
d
F
=
A
0
A
J n
dx
J n dA
-257-
-258-
12

Der elektrische Stromkreis VII
Quelle und Strömungsfeld
(2) Der elektrische Widerstand:
(B) Zylindrische Anordnung mit variablem
Querschnitt und variabler Leitfähigkeit
(Variationen nur in x-Richtung):
R 12 = u 12
i =
R 12 =
0
0
A
J n
dx
i
A dx
=
i
=
Jn dA
Der elektrische Stromkreis VIII
Quelle und Strömungsfeld
(3) Spannungs- und Stromverhältnisse:
u Q
A 1
J 1
J 2
A 2
i
i
u 1
0
1
u2 1 + 2
x
u 2
2
u Q
u 1
1
0
u 1
u 2
x
0
E x1
0
i
A dx
A
i
A dA
dx
x
( )A x
( )
E-Feld (Spannung) ist Ursache
(links) und Wirkung (rechts) des
Strömungsfeldes J (Strom) !
E x
E x2
1
J1 A1 1
J 2 A2 -259-
-260-
13

Der elektrische Stromkreis IX
Zusammenhang zwischen Widerstand und Kapazität
(1) Widerstandsbehafteter Kondensator:
R C =
= R
u = Ed l
Merke:
Widerstand
und Kapazität
hängen
nur von der
Geometrie
und dem
Material ab!
Gibt es eine
Verwandtschaft?
i =
V
R = u
i =
C = Q
u =
Die Grenzbedingungen I
J d F
Mit «Stromdurchführung»
V
Q =
V
Ed l
J =
dF
Dd F
Ohne «Stromdurchführung»
Ed l
V
Ed F
Dd
F Ed
V
Ed =
l
F
V
Ed
l
Grenzbedingung der elektrischen Stromdichte
J 1
1
Eingeschlossene
Ladung A
2
J 2
Stationärer Fall
(1) Grundgesetz des elektrischen Strömungsfeldes
(Folie 246):
t
V
dV +
t + div J = 0
V
J d F
= 0
Integral-Form mit
«Integrationsbox» V
Differential-Form
(2) Wir verwenden an der Grenzschicht für den
Operator «div» die Flächendivergenz (Folie
96 ff.) und an Stelle von die Dichte .
n12 J2 ( J1)= 0
t + n12 J2 ( J1)= 0
t + Div J = 0
-261-
-262-
14

Die Grenzbedingungen II
Grenzbedingung des elektrischen Potentials
1
n12 P 0
2
1 2
2
n 1
2
P
Flächenladungsdichte
1
n
t
t
Grenzbedingungen bezüglich der Ableitung
des Potentials:
Div J = n12 J2 ( J1)=
t
J =
E E = grad
(Folie 262)
Div J = n12 ( 2 grad 2 1grad1 )=
t
grad n =
n
= 0
Die Grenzbedingungen III
(2) Fallunterscheidungen:
() I 2 : 1 = 0
() II 2 0 : 1 =
2
1 endlich
J 2
n = n 12
Div J = 2 2 n + 1 1 n
(Folie 41)
=
t
Brechungsgesetz der elektrischen Stromdichte
J1 1 1 2
n12 2
(1) Kombination der Grenzbedingungen:
J1 n12 = J2 n12 1 E1 n12 = 2 E2 n12
E1 t = E2 t
1 E1 cos( 1)=2 E2 cos 2
E1 sin( 1)= E2 sin( 2 )
( )
()
untere Gleichung 2
obere Gleichung 1
( )
( )
( ) = 1 tan 1
tan 2
Dieses Brechungsgesetz gilt für den
stationären Fall.
2
(1)
(2)
-263-
-264-
15

Die Grenzbedingungen IV
Beispiel: «Stromlinien»
J 1
1
n 12
2 = 0
J n1 = J 1 n 12 = 0
1
n
= 0
Die Grenzbedingungen V
J 1
1
1 , 1
2 , 2
n12 t
2
J 2
1
J 1
J n1 = J 1 n 12 = 1
1
n = J n1
1
.
n 12
2
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»
(A) Nichtstationäres Strömungsfeld:
1
n
(1) Nichtstationäre Grenzbedingungen bei vorhandener Flächenladungsdichte:
( )
tan 1
( ) = E1t E1n E2t E2n tan 2
= E 2n
E 1n
t + n12 J2 ( J1)=
t + J2n J1n = 0
t + 2E2n 1E1n = 0
E 2n = 1
2
E 1 t = E 2 t
E 2t = E 1t
E1n 1
2
t
Tangentialkomponenten.
Normalkomponenten.
-265-
-266-
16

Die Grenzbedingungen VI
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»
(1) Nichtstationäre Grenzbedingungen bei vorhandener Flächenladungsdichte:
(A) Nichtstationäres Strömungsfeld:
tan( 1) tan( 2 ) = E
2n
E1n
D 1
1
1
= 1
2
1
2 E1n
t
t
2
n12 2
D 2
(B) Elektrische Flussdichte:
n12 D2 ( D1 )= Dn2 Dn1 =
2 E2n 1 E1n =
E 2n = 1
2
tan 1 tan 2
E1n + E 2t = E1t
( )
( ) = E2n Die Grenzbedingungen VII
E 1n
= 1
2
+
2E 1n
Gibt es zwei verschiedene Brechungsgesetze?
Siehe Normalkomponenten!
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»
(1) Nichtstationäre Grenzbedingungen bei vorhandener Flächenladungsdichte:
( )
( ) = 1 tan 1
tan 2
2
+
2 E 1n
= ! 1
2
1
2 E1n
t
• Da beide Brechungsgesetze auf dem Verhältnis der
gleichen elektrischen Feldkomponenten beruhen,
müssen beide Brechungsgesetze gelten, bzw. die
obenstehende Gleichung muss zwingend erfüllt sein.
• Die Flächenladungsdichte hat hier die Funktion, das
Brechungsgesetz der elektrischen Flüsse mit demjenigen
der elektrischen Stromdichten zu verbinden.
• Welche Zeitentwicklung der Flächenladungsdichte
(t) ist zwingend notwendig, damit das (nichtstationäre)
Brechungsgesetz gilt?
-267-
-268-
17

Die Grenzbedingungen VIII
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»
(2) Zeitentwicklung der Flächenladungsdichte:
1
2
+
2 E 1n
= ! 1
2
1
2 E1n
t 2
2
t + = 2E1n 1
2
Mit den Relaxationszeitkonstanten:
R1 = 1
1
R2 = 2
2
2 2
t + = 2
1
J1n 1
2
1
2
1
2
R2
t + = J1n R2 ( R1)
t +
R2
Die Grenzbedingungen IX
= J1n 1 R1
R2
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»
(3) Lösung der Differentialgleichung für die Flächenladungsdichte:
t +
R2
RB ( ) 0
= J1n 1 R1
R2
( ):= 0
+ Inhomogene Lösung:
= H + P ( RB)
()= t J1n ( R2 R1)1e
t
R 2
Homogene Lösung:
t +
R2
Partikuläre Lösung:
t +
R2
t
R 2
= 0 H = 0 e
= J1n 1 R1
R2
= const.
P
= J1n 1
R2
R1
R2
( )
P = J 1n R2 R1
-269-
-270-
18

Die Grenzbedingungen X
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»
(3) Lösung der Differentialgleichung für die Flächenladungsdichte:
J1n ( R2 R1)
R2
Dielektrische Absorption I
()= t J1n ( R2 R1)1e
t
t
R 2
• Für R1 = R2 bildet sich keine Flächenladung
auf der Grenzschicht.
• Diese Zeitentwicklung gilt für die vorgegebene
Stromdichte J1n und nur bezüglich
des Brechnungsgesetzes aus Folie 268.
Strömungsfeld in nichthomogenen Medien
(1) Die Kontinuitätsgleichung «revisited»:
t + div J = 0
J = E
D = E
t
+
+
t R
J =
D
div J = div
D
=
div
D + Dgrad
+ +
t J grad
= 0
J grad
= 0 grad
=
grad
J
= grad( R ) R =
R
2
-271-
-272-
19

Dielektrische Absorption II
Strömungsfeld in nichthomogenen Medien
(2) Diskussion:
+
t R
=
J
R
( )
( )
R ( r )= r
r
Stationärer Fall:
( )
= J grad R
grad( R )
Dielektrische Absorption III
Beispiel: «Grenzfläche»
J 1n
J 1
1
1
.
J2
J2n 2
2
• Brechungsgesetz aus Folie 264 gilt.
• Es tritt eine inhomogene, gemäss
Jn verteilte Flächenadung auf.
• Ist im Fall 2 die Grenzschicht
keine Äquipotentialfläche mehr?
J 1n = J 2n = J n
• Fliesst ein stationäres Strömungsfeld durch
ein inhomogenes Medium, d.h. inhomogen in
und, so bildet sich eine feste Raumladung
an dieser Stelle: dielektrische Absorption.
• Die Kontaktklemmen des Stromkreises sind
z.B. solche Inhomogenitäten.
• Das zum stationären Strömungsfeld assoziierte,
stationäre elektrische Feld kann auch
aus diesen festen Raumladungen alleine bestimmt
werden, unter vollständiger Vernachlässigung
des Strömungsfeldes.
• Ladungen sind Ursache von E- und J-Feld.
• Die obige Gleichung korrespondiert einerseits
mit Folie 251 und andererseits mit Folie 269.
• Entladene Kondensatoren haben Restladung!
= J grad( R )
identisch mit
Folie 270 !
n n
= J
ngrad
( R ) n
= Jn 2
2
1
1
J n
2
R
n
= Jn R
n Jn R2 R1
n
n Jn ( R2 R1)
= J n 1
1
-273-
-274-
20

Zu den Grundgleichungen I
Vergleich der Elektrostatik mit dem Strömungsfeld
(1) Zur Wirbelfreiheit im stationären Fall:
J
Konstante Leitfähigkeit
entlang des Stromkreises.
rot E = 0
J d l = 0
J 0
Ed l
• Es ist nur die triviale Lösung ist möglich.
= 0
J
d
l = 0
• Stromkreis braucht eine Quelle, d.h.eine
eingeprägte Feldstärke. Dann gilt (Folie 254):
Ed l
Zu den Grundgleichungen II
=
E emk d l
0
Vergleich der Elektrostatik mit dem Strömungsfeld
(1) Zur Divergenzfreiheit im stationären Fall:
divJ = 0 J d F = 0
V
Ed F = 0
Widerspruch ?
V
Ed F = dV
V
Merke: Der Integrand unterscheidet
sich lediglich
in der Konstante !
V
Gilt
immer !
R
J
a ( )
d F
V
R2
R1
J 2
b ( )
J 1
d F
V
-275-
-276-
(a) Homogen: Bei homogenem R = / impliziert
die Gegenüberstellung in Ladungsfreiheit.
(b) Inhomogen: Bei inhomogenem / muss
noch gelten; es gibt Ladungen in (Folie 273).
21

Eine formale Analogie I
Dualität zwischen Stromdichte und Flussdichte
ladungsfrei
D = E = grad
div D = 0
n12 D2 ( D1 )= 0
Ei = Di i ( )
( ) = 1 tan 1
tan 2
2
D J
E = grad
= 0
n12 E2 ( E1)= 0
Eine formale Analogie II
stationär
J = E = grad
div J = 0
n12 J2 ( J1)= 0
tan 1
E i = J i
i
( )
( ) = 1 tan 2
Dualität zwischen Stromdichte und Flussdichte
(1) Feldbilder der Punktladung bzw. des «Punktstromes»:
Elektrostatik Stationäres
Strömungsfeld
(2) Satz von Gauss in der Elektrostatik
bzw. «Satz von Gauss» beim
stationären Strömungsfeld:
Q =
A
D d F
A
A1
J d F
J d F
=
A1 = I
J d F
2
Siehe Folien 239,
244 und 261
+ J d I
F = 0
AA1
A 2
J d F
= I
-277-
-278-
22

Die Spiegelungsmethode I
Anwendung auf das stationäre Strömungsfeld
Elektrostatik:
Ladungen
über unendlich
gut
leitenden
Grenzflächen
Ansätze:
Mehr hierzu
wird in den
Folien 210
bis 216
dargelegt.
Stationäres
Strömungsfeld:
Ströme über
unendlich gut
leitenden
Grenzflächen
Überlegung:
Ladungsbewegung
der
Spiegelladungen
ergibt das
gespiegelte
Strömungsfeld.
Die Spiegelungsmethode II
Anwendung auf das stationäre Strömungsfeld
Stationäres
Strömungsfeld:
0
Ströme in endlich gut
leitenden Materialien
mit einer Grenzschicht
zum nichtleitenden
Material.
Anwendung:
Tiefenerder
Überlegung:
Superpositionsprinzip
-279-
-280-
23

Leistungsdichte im Strömungsfeld I
Ladungstransport im Leiter
(1) Vom elektrischen Feld verrichtete Arbeit:
1 = + d
du J +
2 =
+
p = dP
dV = E J
l
di
n
+
+
di
dA
E
d l
Vom E-Feld
abgegebene
Leistungsdichte
W 12 =
( 2)
() 1
Fd l = Q
( 2)
() 1
Ed l = Qu12 P 12 = dW 12
dt = u 12 dQ
dt = u 12 i
du = 1 2 = +d = Ed l = E ndl
di = J ndA
Feld leistet Arbeit, d.h.
positive Ladungsträger
werden angetrieben.
dP = dudi = E ndl J ndA=
= E J dldA = E J dV
Leistungsdichte im Strömungsfeld II
Ladungstransport im Leiter
(2) Verlustleistung:
u
J
i
i
(3) Das Joulesche
Gesetz:
E
p = dP
dV = E J P =
V
E J dV
Das vom E-Feld für den Ladungstransport geleistete Arbeit wird
ans Leitersystem abgegeben, d.h. zur Überwindung der «Reibungsverluste»
der Ladungsträger am Metallgitter aufgewendet.
Das Metallgitter gerät dadurch in Schwingung, bzw. erwärmt sich.
Die vom Feld geleistete Arbeit wird demnach in Wärme umgewandelt
und somit dem elektrischen System entzogen. Man
nennt die beim Transport umgesetzte Arbeit Verlustleistung.
p = E J = 1
J 2
= E 2
Der «Reibungswiderstand»
wird anhand
von charakterisiert.
-281-
-282-
24

Leistungsdichte im Strömungsfeld III
Ladungstransport im Leiter
(4) Alternativer Zugang zur Verlustleistung:
1 > 2
2
u
J
i
P = J d F
V
i
E
d F
V
P =
V
J EdV
=
V
J grad dV
div s ( v)=
s div v + v grad s
P = J grad dV =
V
= div ( J )dV + div
J dV
V
= J d F
V
P = J d F =
V
= 1 J d F 2 J d F =
A 1
= 1
= 1 i
J d F
A 2
2
A1 A2 ( )2i = 1 2 V
J d F
( )
> 0
=
=0
Vektor-
Identität
Leistungsdichte im Strömungsfeld IV
Ladungstransport im Leiter
(4) Alternativer Zugang zur Verlustleistung:
1 > 2
2
u
A 1
J
A 2
i
i
E
d F
V
= ui > 0
i =
Im gewählten Bezugspfeilsystem ist die
Verlustleistung eine positive Grösse.
-283-
-284-
25

Leistungsdichte im Strömungsfeld V
Allgemeinere Definition des elektrischen Widerstands
Ströme sind besser zu bestimmen als Spannungen:
P = E J dV =
V
J d F
V
P = u i = i 2 R
R = P 1
= E 2 2
i i i
d
J
E
i
J dV
1 > 2
F
2 V
R V
Das Randwertproblem I
+ grad
grad = 0
Bei der Definition der Leistung P = u·i ist die Spannung
u in realen Systemen oft schwierig zu bestimmen, also:
V
= 1
i 2 J d F
V
Feldgleichungen des stationären Strömungsfeldes
(1) Potentialfeld und Strömungsfeld:
Ziel: Es ist eine partielle Differentialgleichung zu finden, welche
alle Grundgleichungen des stationären Strömungsfeldes erfüllt.
div J = div ( E)=
div grad
( [ ] )
( )
= grad grad div grad
= grad grad = 0
= const.
= 0
Zur Äquipotentiallinie
siehe Folie
274 und 305.
R V
• Kontinuitätsgl.
• Gesetz von Ohm
• stationär/statisch
Es gibt hier
nur eine
Laplace-
Gleichung.
-285-
-286-
Analogie: Vergleiche
auch
Folie 277 und
Folie 178.
Vektoranalysis:
Vergleiche
Folie 283.
26

Das Randwertproblem II
Formulierung für das Strömungsfeld
(2) Die «Stromformulierung» des Problems (rein Neumannsches RW-Problem):
= 0
= 0
n
n = Jn2
n = Jn3
i
=
A2 i
= +
A3 r G
r G 1
r G 2
r G 3
Merke: Das negative Vorzeichen der Stromdichten an beiden Stromtoren wird durch die Bezugsrichtung
des Stromes und den Gradient des zugehörigen Potentials «geregelt».
Das Randwertproblem III
Formulierung für das Strömungsfeld
(3) Die «Spannungsformulierung» des Problems (gemischtes RW-Problem): ()
(4) Lösungsansätze:
Das stationäre Problem des
Strömungsfeldes J löst man
über das statische Potentialfeld ()
= 0
= 0
n
= 2 = 3
u = 1 2
r G
r G 1
r G 2
r G 3
J = grad
() Merke:
Gemischte Randwertprobleme
sind oft nur mit
erheblichem Aufwand
und selten
eindeutig zu lösen !
E = grad
J = E
-287-
-288-
27

Das Randwertproblem IV
Beispiel: «Kontaktschiene»
(1) Die Problemstellung:
y
b
i
2s
c
2s
d
i
Das Randwertproblem V
Beispiel: «Kontaktschiene»
(1) Die Problemstellung:
y
b
i
2s
c
2s
d
i
a
a
x
e y = n
y = n
x
-289-
• Relativ ausführliches Anschauungsbeispiel.
• Zweidimesnionale (2D) Rechnung,
d.h. die Struktur ist in z-Richtung
unendlich ausgedehnt.
• Daher: Strombelag i / an Stelle der
Stromstärke.
• Die Zuleitungen seien unendlich leitfähig:
Grenzfläche wird somit zur
Äquipotentialfläche, was das Problem
sehr vereinfacht.
• Gesucht: Das Strömungsfeld im endlich
leitfähigen Material.
• Wird über das Potentialfeld gelöst.
= 0 r ] 0,a[]
0,b[
x x=0
y[ 0, b]
x x=a
y[ 0, b]
y y=0
x[ 0, a]
y y=b
x[ 0, a]
= 0
= 0
= i
= i
2 s
x d < s
0 sonst
2 s
x c < s
0 sonst
-290-
28

Das Randwertproblem VI
Beispiel: «Kontaktschiene»
(2) Ansetzen der Potentialfunktion:
ky
( )
= p0 + p1y+ a1 cos( kx)+b1sin(
kx)
c1e ky + d1e
= a1k sin( k0 )+b1kcos k 0
x x=0
y[ 0, b]
b1 = 0
= a1k sin ka
x x=a
y[ 0, b]
k = k n = n
a
( )
( )
( )= 0
c1e ky ky
+ d1e Das Randwertproblem VII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(2) Ansetzen der Potentialfunktion:
y y=0
x 0, a
[ ]
y y=b
x 0, a
[ ]
= p1 + a1 cos( knx)knc1e kn 0
d1e kn 0
( )= 0
c1e ky ky
+ d1e i
( )=
= p1 + a1 cos( knx)knc1e kn b
d1e kn b
2 s
i
( )=
Die Randbedingungen können nur mit Hilfe aller Eigenwerte/Eigenlösungen
erfüllt werden: es muss eine Reihenentwicklung angesetzt werden.
Siehe Folien
181 und 183
(H-1)+(H-2).
x d < s
0 sonst
2 s
x c < s
0 sonst
= p0 + p1 y + cos( knx)Cne kn y
+ Dne k
n y
( )
n=1
C n := an cn
Dn := an dn -291-
-292-
29

Das Randwertproblem VIII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(3) Die Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten mittels Momentenmethode:
( )
n =
G
n fn x
n=1
= !
( RB)
x[ a,b ]
Frage: Wie testet man die «Gleichheit» von Funktionen?
(A) Direkter Vergleich: (B) Projektionsmethode:
( x)
n
( )
= g x
Aufwendig, da eigentlich
für jedes x auf Gleichheit
getestet werden muss, was
«sehr viele» Bestimmungsgleichungen
für ergibt.
Erzwingen der (Neumannschen)
Randbedingung.
( x)
n ,t m ( x)
= g( x),tm(
x)
:= dx tn ,t m = c nm =
G
Das Randwertproblem IX
Beispiel: «Kontaktschiene»
c
n = m
0
n m
Die Projektion auf eine Testfunktion t m ermöglicht den
Vergleich zwischen wenigen Integralen (sprich: Zahlen).
(3) Die Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten mittels Momentenmethode:
( )
n =
G
n fn x
n=1
Erzwingen der Randbedingung (RB)
b
b
= !
( RB)
x[ a,b ]
n fn ( x)
tm ( x)dx
= RB
a n=1
b
a
( ) x a,b
( RB)
x a,b
( )
[ ] m t m x
m=0
Bekannte (stückweise) Approximation
[ ] t m x
( ) dx
n fn ( x)tm(
x)dx
= ( RB)
x[ a,b ] tm ( x)dx
n=1 a
a
n M nm = m n
n=1
b
m
Gleichungssystem
• tm heisst Basisfunktion
oder oft auch
Testfunktion.
• tm sollte «problemspezifisch»
gewählt
werden (z.B. oben).
• Naheliegend wäre:
t := f
(Galerkin-Methode)
-293-
-294-
30

Das Randwertproblem X
Beispiel: «Kontaktschiene»
(3) Die Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten mittels Momentenmethode:
• Fazit: Die Entwicklungskoeffizienten n der Feldentwicklung werden mit Hilfe einer
Testfunktion t m (geeignete Basis ) bestimmt. Die Matrixelemente M nm des hierfür
«konstruierten» Gleichungssystems sind die Momente f n I t m .
• Galerkin-Methode: Werden die Testfunktionen gleich den Entwicklungsfunktionen angesetzt,
dann ergibt sich wegen der Orthogonalität der Basen für die Matrix aus M nm eine
Diagonal- oder gar Einheitsmatrix und das Gleichungssystem gerät zum reinen Koeffizientenvergleich
(siehe Folien 191 und 192; und sind beides Fourier-Reihen).
m=0
m y
( )
( ) cos k m x
y y=0
x[ 0, a]
G = i
2 s
m = 0:
( )
t m x
=
i
i
2 s
x d < s; y = 0
0 sonst
2 s
x c < s; y = b
0 sonst
Das Randwertproblem XI
Beispiel: «Kontaktschiene»
(4) Momentenmethode angesetzt auf die Randbedingung :
cos k m x
a
( )
= p1 + cos( knx)knCne kn 0
Dne k
n 0
n=1
( )= 1
( )= cos m
a x
d+s
( )
p1 dx = G dx p1 a = 2s G
0
ds
p1 = G 2s
a
= i
a
Testfunktion für m = 0
= G x d < s
Galerkin-Methode:
t m(.) = cos(.)
anwenden zur
Erzwingung der
Randbedingungen
und aus
Folie 292.
0 sonst
Merke: Der Summenterm
wird wegen n = 1 bei m = 0
durch die Orhogonalitätsrelation
(cf. Folie 297)
ausgeblendet!
-295-
-296-
31

Das Randwertproblem XII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(4) Momentenmethode angesetzt auf die Randbedingung :
m 0:
a
cos( knx)kn( Cn Dn )cos( kmx )dx = ( G)cos(
kmx )dx
0 n=1
ds
a
( A):
cos knx m 0:
0 n=1
( B):
G
( A)
( )kn( Cn Dn )cos kmx cos n
a x m
( )cos a x
a
0
d+s
( )cos kmx
ds
( )dx
d+s
( )dx
a
2 n = m
( )dx =
0 n m
Das Randwertproblem XIII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(4) Momentenmethode angesetzt auf die Randbedingung :
= G
km = G
km = G
km ( A)+
( B):
Cm Dm =
( )
sin kmx ( B)
= km ( Cm Dm ) a
2
d+s
ds
sin km d + s
4 G
Orthogonalitätsrelation
der Kosinusfunkttion.
( [ ] )sin( km [ d s]
)
2 cos( kmd )sin kms 2
ak m
cos kmd ( )
( )sin k ms
( )
-297-
-298-
32

Das Randwertproblem XIV
Beispiel: «Kontaktschiene»
(4) Momentenmethode angesetzt auf die Randbedingung :
m 0:
a
( )cos k m x
cos( knx)knCne knb Dne k
nb ( )dx = G cos( kmx )dx
0 n=1
cs ( A)+
B
Gleichungssystem
für die
unbekannten
Entwicklungskoeffizienten
C m und D m.
( A)
( ): C m e k m b Dm e k m b = 4G
Q m =
C m D m
=
c+s
( B)
2
ak m
cos kmc ( )sin kms ( )
4 G
2 cos( k ak md )sin( kms) m
Cm e km b
Dm e km b 4 G
= 2 cos( k ak mc)sin kms m
Das Randwertproblem XV
Beispiel: «Kontaktschiene»
(5) Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten:
C m D m
= Q m cos k m d
( ) ( )
4 G
2 sin( k ak ms)=
m 2i 1
a k m sin kms kms ( )cos kmd ( )ek mb
Dm = Qm cos kmc 2sinh kmb ( )
( )cos kmd ( )e kmb Cm = Qm cos kmc 2sinh kmb ( )
( )
( )
C m e k m b Dm e k m b = Qm cos k m c
lösen
• geeignete
Substitution
( )
·e –k m·b –
+
• Zudem gilt für den
Sinus Hyperbolicus:
sinh( kmb)= = 1
2 ek mb kmb e
( )
-299-
-300-
33

Das Randwertproblem XVI
Beispiel: «Kontaktschiene»
(6) Zusammensetzen der Potentialfunktion (Rücksubstitution):
( x, y)=
p0 + p1 y + cos knx C n e k n y =
D n e k n y =
Q n
2sinh k n b
C ne k n y + Dne k n y =
n=1
( ) cos k n c
Q n
2sinh k n b
Q n
2 sinh k n b
( )
( ) C ne k n y + Dne k n y
( )ek n y
cos( knd )e kn [ yb]
{ }
( ) cos k n c
( )
m n
( )e kn y
cos( knd )e kn [ yb]
{ }
cos( knc)2cosh( kny)
cos knd Das Randwertproblem XVII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(6) Zusammensetzen der Potentialfunktion (Rücksubstitution):
Mit den Substitutionen:
p 1 = i
a
Potentialfunktion (Lösung):
( )
Qn = 2i 1
a kn sin kns
kns
( x, y)=
p0 i 2i
y
a a
1
kns sin k
ns
n=1 kns cos( knc)cosh( kny)cos knd (Folie 294)
( [ ] )
( ) 2 cosh k n y b
( )
k n = n
a
( )
( )
cos knx sinh knb { ( )cosh( kn [ yb ] ) }
Merke: Die Grösse p 0 bleibt unbestimmt, d.h. das Potential kann lediglich bis auf eine
Konstante bestimmt werden.
-301-
-302-
34

Das Randwertproblem XVIII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(7) Kompaktere Darstellung der Potentialfunktion:
( x, y)
= p0 i
y +
a
n=1
( )
( )
cos n
a x
sinh n
a b
A n = 2i
n
B n =+ 2i
n
An cosh n
a y ( )+
+Bn cosh n
a yb
( [ ] )
Merke: Die Grösse p 0 bleibt unbestimmt.
Das Randwertproblem XIX
Beispiel: «Kontaktschiene»
(8) Die elektrische Feldstärke:
E = grad E = E
x x
Ey
=
E x =
x =
E y =
y
n=1
n
a
= i
a
( )
( )
sin n
a x
n=1
sinh n
a b
n
a
y
( )
n cos a c
n sin a s
( )n a s
n cos a d
n sin( a s)
( )n a s
An cosh n
a y ( )+
+Bn cosh n
( a [ yb ] )
n sin( a x)
sinh n ( a b)
An sinh n
a y ( )+
+Bn sinh n
a yb
( An, Bn ):
( [ ] )
Die Berechnung erfolgt gleich
wie beim Potential (Folie 303).
-303-
-304-
35

Das Randwertproblem XX
Beispiel: «Kontaktschiene»
(9) Darstellung des Potential- und des Strömungsfeldes:
J x, y
( )
( x, y)
Das Randwertproblem XXI
Beispiel: «Kontaktschiene»
(10) Diskussion zum Potential:
n = const.
• Die Feldlinien
des Strömungsfeldes
sind die
Orthogonaltrajektorien
der
Äquipotentiallinien.
• Klar: Feldlinien
des Strömungsfeldes
sind ja
auch die Feldlinien
des elektrischen
Feldes.
• Die Neumannsche Randbedingung
ist bei den unendlich
gut leitenden Zuleitungen
erfüllt.
• Beim Neumannschen
Randwertproblem scheint
der Rand keine Äquipotentiallinie
mehr zu sein
(siehe hierzu auch die
Folie 274).
• Die Bestimmung der
Spannung wird daher
problematisch und damit
auch die Berechnung des
elektrischen Widerstands.
-305-
-306-
36

Das Randwertproblem XXII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(11) Berechnung der elektrischen Leistung:
(A) Verlustleistung gemäss Folien 282, 283:
P = E J dV = J d F =
V
= J ndl;
P
P
V
=
n dl
V
=
n
Das Randwertproblem XXIII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(11) Berechnung der elektrischen Leistung:
(B) Approximative Annahme eines konstanten Potentials:
P
d+s
= ( x,0)dx
n
ds
=
y y=0
+
n
cs
d+s
ds
dl
( x,b)dx
c+s
d+s
( x,0)dx
+
ds
d+s
y y=b
( )
V
J n =
n V
+
n
n V = const.
cs
c+s
c+s
( x,b)dx
cs
i
=
2 s
( x,0)dx
+ i
2 s
( x,b)dx
ds
i
2 s
( d,0)2s
+ i
2 s
( c,b)2s
c+s
cs
dl
-307-
-308-
37

Das Randwertproblem XXIV
Beispiel: «Kontaktschiene»
(11) Berechnung der elektrischen Leistung:
(C) Resultat und Diskussion:
P
i
2 s
( d,0)2s
+ i
2 s
( c,b)2s
=
i i i
( d,0)
( c,b)
= ( d,0)(
c,b)
Es wurde hier die realistische Annahme eines über die Zuleitungen nur schwach variierenden
Potentials gemacht, wodurch die Integration über sehr einfach ausfällt (siehe unten). Bei
einer exakten Berechnung der Leistung müsste die Integration ausgeführt werden. Als Alter-
c+s
cs
R =
( x,b)dx
( )
( c,b)2s
Das Randwertproblem XXV
Beispiel: «Kontaktschiene»
native gibt es zudem noch die erheblich
schwierigere Volumenintegration der
Leistungsdichte z.B. gemäss den Folien 282
bzw. 307.
(12) Berechnung des elektrischen Widerstandsbelags bezüglich der Dicke :
1 P
2
i
= 2 i
2 ( d,0)(
c,b)
i
= u
i
R = b
a +
An = An i
( )
n=1
(
(
)
)
(
(
)
)
cos n
a d
sinh n
a b
n cos a c
sinh n
a b
Bn = Bn i
( )
Merke: Der Widerstandsbelag R' ist hier als Widerstand bezüglich der
Querschnittsabmessung in z-Richtung definiert (nicht pro Länge) !
An + B n
n cosh a b
( )
A n
n cosh a b ( )+ B
n
Für die Potentialfunktion und
deren Entwicklungskoeffizienten
A n und B n siehe Folie 303.
-309-
-310-
38

Das Randwertproblem XXVI
Beispiel: «Kontaktschiene»
(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandsbelag R' :
Verifikation am vollständig kontaktierten Widerstandsgebiet: (c = d = s = a / 2)
R = b
a +
An = An i
( )
Bn = Bn i
( )
n=1
= 2
n
=+ 2
n
(
(
)
)
(
(
)
)
cos n
2
sinh n
a b
cos n
2
sinh n
a b
n cos( 2 )
n cos( 2 )
An + B n
n cosh a b
( )
A n
n cosh a b ( )+ B
R
n
n sin( 2 )
n
2
( )
sin n
2
n
2
= 0 n
= 0 n
Das Randwertproblem XXVII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandsbelag R' :
Verifikation am vollständig kontaktierten Widerstandsgebiet: (c = d = s = a / 2)
y
b
2s
i
2s
c = d a x
i
R = b
a
R = R
+ 0 {}
= b
a
n=1
= b
a
Merke: Der Widerstandsbelag R' ist
hier als Widerstand bezüglich der
Querschnittsabmessung in z-
Richtung definiert (nicht pro Länge) !
-311-
-312-
39

Das Randwertproblem XXVIII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandbelags R' :
R
R0 R 0 = b
a
a = 4
b = 2
2s = 0.4
Das Randwertproblem XXIX
Beispiel: «Kontaktschiene»
(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandbelags R' :
R
R0 2s = 0.4
2s
b
a = 4
b = 2
d
2s
a
-313-
-314-
40

Das Randwertproblem XXX
Beispiel: «Kontaktschiene»
(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandbelags R' :
R
R0 a = 4
b = 2
2s = 0.4
c,d
-316-
41