Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise - Campus ...

Burger: Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise 6
(für beliebige x ∈ R, i ∈ Z) beschrieben.
Die Funktion F4(˙x,g0,g1) in Gl. 17 kann auch interpretiert werden als
Spline-Interpolation der zugehörigen Tangenten (mit den Steigungen g0 bzw.
g1) an den Endpunkten des aktuellen Intervalls. 4 Die Geradengleichungen der
Tangenten für die Punkte i = 0,1 ist nach Gl. 19
Durch Ersetzung der Ausdrücke
h0(x) = g0 ·x, bzw. (20)
h1(x) = g1 ·(x−1).
g0 · ˙x ← h0(˙x) und g1 ·(˙x−1) ← h1(˙x) (21)
in Gl. 17 ergibt sich die Interpolationsfunktion in der Form
F4(˙x,g0,g1) = h0(˙x)+ 3˙x 2 −2˙x 3 · h1(˙x)−h0(˙x)
mit der kubischen Überblendungsfunktion 5
(22)
= h0(˙x)+s(˙x)· h1(˙x)−h0(˙x) , (23)
s(x) = 3x 2 −2x 3
(siehe Abb. 4). Durch geringfügige Umformung erhalten wir aus Gl. 23
(24)
F4(˙x,g0,g1) = h0(˙x)+s(˙x)·h1(˙x)−s(˙x)·h0(˙x) (25)
= (1−s(˙x))·h0(˙x)+s(˙x)·h1(˙x). (26)
Dies ist analog zur klassischen Überblendung 6 zwischen zwei konstanten Werten
c0 und c1 mit einer S-förmigem (sigmoiden) Gewichtungsfunktion s(x)
in der Form
c(x) = (1−s(x))·c0 +s(x)·c1,
für x ∈ [0,1].
2.1.6 Modifizierte Perlin-Interpolation
Wie in Gl. 18 gezeigt, ist die zweite Ableitung (Krümmung) der ursprünglichen
Interpolationsfunktion von Perlin an den Randpunkten des Einheitsintervalls
ungleich null. In der modifizierten Formulierung [9] wird daher
4 Siehe http://www.mandelbrot-dazibao.com/Perlin/Perlin1.htm.
5 Die eingangs beschriebene Interpolation mit dem minimalen kubischen Polynom (Gl.
13) – lässt sich übrigens nicht in dieser Form, d.h. als Überblendung der Tangentialgeraden
darstellen.
6 In [9] wird s(x) auch als fade-Funktion bezeichnet.