Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise - Campus ...

Burger: Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise 5
noise4(x)
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Abbildung 3: Anwendung der ursprünglichen Perlin-Interpolationsfunktion
[7] nach Gl. 17 für die ersten vier Gradientenwerte aus Abb. 1. An den ganzzahligen
Positionen ist der Funktionswert jeweils null und der Anstieg der
Funktion enspricht dem Wert g i der Zufallsfolge in Abb. 1 (a). Der Graph in
(b) zeigt die selbe Funktion mit vergrößertem Maßstab in der y-Richtung.
aufweist, wobei a2 noch frei wählbar ist. Für a2 = −3g1 ergibt sich die
Funktion
F4(˙x,g0,g1) = 2(g0 −g1)· ˙x 4 −(3g0 −5g1)· ˙x 3 −3g1 · ˙x 2 +g0 · ˙x (16)
oder, in der von Perlin verwendeten Schreibweise,
F4(˙x,g0,g1) = g0 · ˙x+ 3˙x 2 −2˙x 3 · g1 ·(˙x−1)−g0 · ˙x . (17)
Abb. 3 zeigt ein Beispiel für die in dieser Form interpolierte Funktion unter
Verwendung der ersten vier Gradientenwerte aus Abb. 1. Die zweite Ableitung
(Krümmung) von F4() bezüglich ˙x beträgt an den Randstellen übrigens
F ′′
4(0,g0,g1) = −6g1 und F ′′
4(1,g0,g1) = 6g0, (18)
ist also im Allgemeinen ungleich null. 3 Dies ist nicht unproblematisch, da sich
dadurch an den Übergängen zwischen benachbarten Segmenten die Krümmung
der Funktion sprungartig ändern kann (s. Abschnitt 2.1.6).
2.1.5 Interpolation der Tangenten
Im eindimensionalen Fall spezifiziert jeder der vorgegebenen Gradientenwerte
g i eine Tangente im Punkt i, also eine Gerade mit der Steigung g i, die die
x-Achse an der Position i schneidet. Diese Tangentengerade wird durch die
lineare Funktion
hi(x) = g i·(x−i) (19)
3 Interessanterweise ist also die Krümmung der Funktion an den Randpunkten des [0,1]-
Intervalls nur vom jeweils gegenüber liegenden Gradientenwert abhängig.
x