Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise - Campus ...

Burger: Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise 4
noise3(x)
1
1
1 2 3
Abbildung 2: Interpolation mit dem kleinstmöglichen (kubischen) Polynom
nach Gl. 13. Die blauen Balken zeigen die zufälligen Gradientenwerte g i
an den ganzzahligen Positionen, an denen gleichzeitig die Nullstellen der
Funktion liegen. Die entsprechenden Tangenten (deren Steigung durch die
Gradienten g i vorgegeben ist) sind ebenfalls dargestellt. Die interpolierte
Funktion ist C1-kontinuierlich, u.a. weil die erste Ableitung (der Anstieg) an
den Übergängen zwischen benachbarten Segmenten jeweils identisch ist. Die
Funktion ist nicht C2-kontinuierlich, da die zweite Ableitung (Krümmung)
der Funktion an den ganzzahligen Positionen im Allgemeinen nicht stetig ist.
und somit
F3(˙x,g0,g1) = (g0 +g1)· ˙x 3 −(2g0 +g1)· ˙x 2 +g0 · ˙x. (13)
In etwas anderer Form ausgedrückt ergibt das
F3(˙x,g0,g1) = g0 ·(˙x−1) 2 · ˙x+g1 ·(˙x−1)· ˙x 2 . (14)
Abb. 2 zeigt ein Beispiel für die stückweise Interpolation mit einem kubischen
Polynom nach Gl. 13 bzw. 14.
2.1.4 Original Perlin-Interpolation
In der Originalversion [7] seines Verfahrens verwendet Perlin zur Interpolation
statt des kubischen Polynoms (Gl. 10) allerdings ein Polynom vierter
Ordnung der Form
F(˙x,g0,g1) = a4 · ˙x 4 +a3 · ˙x 3 +a2 · ˙x 2 +a1 · ˙x+a0, (15)
das unter den Randbedingungen in Gl. 5 die Lösung
a4 = a2 +2g0 +g1, a3 = −2a2 −3g0 −g1, a1 = g0, a0 = 0,
x