Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise - Campus ...

Burger: Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise 3
F ′ (x,gp,gp+1) bezeichnet dabei die erste Ableitung der Funktion f in Bezug
auf deren Parameter x, d. h.
F ′ (x,gp,gp+1) = ∂F(x,gp,gp+1)
∂x
2.1.2 Interpolation im [0,1]-Intervall
. (6)
Da an jeder Stelle der Rauschfunktion das Interpolationsergebnis nur von
den benachbarten Rasterpunkten abhängig ist, muss für gegebene Randwerte
ga,gb zwischen jedem beliebigen Paar von benachbarten Rasterpunkten
dasselbe Ergebnis entstehen, d. h.,
F(x,ga,gb) = F(x+i,ga,gb), (7)
für beliebige i ∈ Z. Insbesondere gilt natürlich auch
F(x,ga,gb) = F(x−⌊x⌋,ga,gb), (8)
mit (x−⌊x⌋) ∈ [0,1]. Wir können daher die Interpolation ohne Einschränkung
der Allgemeinheit auf das Einheitsintervall [0,1] beschränken und ersetzen
dazu
F(˙x,g0,g1) = F(x−p,gp,gp+1), (9)
mit p = ⌊x⌋, ˙x = x−p, g0 = gp und g1 = gp+1. Da ˙x ∈ [0,1], interessiert uns
die Funktion f im Folgenden nur für Argumente im Intervall [0,1]. 2
2.1.3 Interpolation mit einer Polynomfunktion
Wenn wir – naheliegenderweise – als Interpolationsfunktion F(˙x,g0,g1) eine
Polynomfunktion verwenden, so benötigen wir dafür mindestens ein Polynom
dritten Grades, also eine Funktion der Form
F3(˙x,g0,g1) = a3 · ˙x 3 +a2 · ˙x 2 +a1 · ˙x+a0
(10)
mit den (noch zu bestimmenden) Koeffizienten a0,a1,a2,a3 ∈ R. In diesem
Fall ist die erste Ableitung (der Gradient) der Funktion
F ′ 3(˙x,g0,g1) = 3a3 · ˙x 2 +2a2 · ˙x+a1
und die zugehörige Lösung unter den Bedingungen in (5) ist
(11)
a3 = g0 +g1, a2 = −2g0 −g1, a1 = g0, a0 = 0, (12)
2 Zur Klarheit wird nachfolgend die Variable ˙x anstelle vonxverwendet, um anzuzeigen,
dass ˙x im Intervall [0,1] liegt.