Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise - Campus ...

Burger: Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise 2
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g u
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Abbildung 1: Die Werte der diskreten Zufallsfolge g u (blau) geben die
Steigung der Rauschfunktion noise(x) an den ganzzahligen Positionen x =
u ∈ Z vor (die resultierenden Tangenten sind in magenta angezeigt). Diese
Positionen sind gleichzeitig Nullstellen der Funktion.
zwischen den Werten an den x umgebenden Rasterpunkten p = ⌊x⌋ und
p+1.
2.1 Gradienten-Noise
Perlin Noise ist eine Form von Gradient Noise, die Zufallswerte gu definieren
also den Anstieg (gradient) der Funktion noise(x) an den diskreten Punkten
x = u. Die diskreten Gradientenwerte werden von einer Funktion grad(u)
erzeugt, d. h.,
g u = grad(u) ∈ [−1,1].
Dabei istgrad(u) eine Abbildung der ganzen ZahlenZauf reellwertige Pseudo-
Zufallszahlen im Intervall [−1,1], die (so wird angenommen) annähernd
gleichverteilt sind. Diese Abbildung wird üblicherweise mithilfe einer Hash-
Funktion realisiert, wie in Abschn. 2.4 genauer beschrieben wird.
2.1.1 Stückweise, lokale Interpolation
Die Eigenschaften der Rauschfunktion werden maßgeblich von der gewählten
Interpolationsfunktion F bestimmt. Diese sollte nicht nur die oben genannten
Bedingungen erfüllen, sondern auch zu einem visuell guten Ergebnis
führen. In den folgenden Abschnitten geht es daher um die Definition der
Interpolationsfunktion F.
An den diskreten Positionen x = u sind nicht nur die Gradientenwerte
gu vorgegeben, sie sollen zudem auch Nullstellen der Rauschfunktion sein.
Für die Rauschfunktion noise(x) soll also zunächst gelten
noise(u) = 0 und noise ′ (u) = g u, (4)
für alle u ∈ Z. Für die lokale Interpolationsfunktion F (Gl. 3) muss daher
gelten:
F(p,gp,gp+1) = 0, F ′ (p,gp,gp+1) = gp,
F(p+1,gp,gp+1) = 0, F ′ (p+1,gp,gp+1) = gp+1.
u
(5)